概率與數(shù)理考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個事件，且\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(AB)=0.3\)，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.0.6B.0.7C.0.8D.0.92.若隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)等于（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)隨機變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\leq0.5)\)等于（）A.0.25B.0.5C.0.75D.14.已知隨機變量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，方差\(D(X)=4\)，則\(E(X^{2})\)等于（）A.4B.6C.8D.105.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，且\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^{2}\)，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的期望\(E(\overline{X})\)為（）A.\(\mu\)B.\(\frac{\mu}{n}\)C.\(n\mu\)D.\(\mu^{2}\)6.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，\(S^{2}\)為樣本方差，則\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服從（）A.正態(tài)分布B.\(t\)分布C.\(\chi^{2}\)分布D.\(F\)分布7.設(shè)隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(2,9)\)，則\(Z=X-Y\)的期望\(E(Z)\)為（）A.-1B.1C.3D.58.已知\(P(A|B)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，則\(P(AB)\)等于（）A.0.2B.0.4C.0.5D.0.89.設(shè)隨機變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\x^{2},&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)，則\(X\)的概率密度\(f(x)\)為（）A.\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}x^{2},&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}1,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}0,&0\ltx\lt1\\1,&其他\end{cases}\)10.設(shè)總體\(X\)的概率密度為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta},&0\ltx\lt\theta\\0,&其他\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(\theta\)的矩估計量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(2\overline{X}\)C.\(\frac{\overline{X}}{2}\)D.\(\overline{X}^{2}\)答案：1.C2.B3.A4.C5.A6.C7.A8.A9.A10.B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下關(guān)于概率的性質(zhì)，正確的有（）A.\(0\leqP(A)\leq1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqP(B)\)2.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，則（）A.概率密度函數(shù)\(f(x)\)的圖像關(guān)于\(x=\mu\)對稱B.\(P(X\leq\mu)=0.5\)C.當(dāng)\(\sigma\)固定時，\(\mu\)越大，\(f(x)\)的圖像越向右移動D.當(dāng)\(\mu\)固定時，\(\sigma\)越小，\(f(x)\)的圖像越陡峭3.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，且\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，則（）A.\(X\)和\(Y\)相互獨立B.\(Cov(X,Y)=0\)C.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)D.\(X\)和\(Y\)不相關(guān)4.以下哪些是常見的離散型隨機變量分布（）A.二項分布B.泊松分布C.均勻分布D.正態(tài)分布5.設(shè)總體\(X\)的均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^{2}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則（）A.\(E(\overline{X})=\mu\)B.\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\)C.\(E(S^{2})=\sigma^{2}\)D.\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)6.關(guān)于假設(shè)檢驗，以下說法正確的是（）A.原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)是相互對立的B.第一類錯誤是指拒絕了正確的原假設(shè)C.第二類錯誤是指接受了錯誤的原假設(shè)D.顯著水平\(\alpha\)是控制第一類錯誤的概率7.設(shè)隨機變量\(X\)的概率分布為\(P(X=k)=C\frac{\lambda^{k}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，則（）A.\(C=e^{-\lambda}\)B.\(X\)服從泊松分布C.\(E(X)=\lambda\)D.\(D(X)=\lambda\)8.以下哪些是總體參數(shù)的優(yōu)良估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)（）A.無偏性B.有效性C.一致性D.準(zhǔn)確性9.設(shè)隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(X\)的概率密度為\(f_1(x)\)，\(Y\)的概率密度為\(f_2(y)\)，則\(Z=X+Y\)的概率密度\(f_Z(z)\)可以通過（）計算A.卷積公式\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(x)f_2(z-x)dx\)B.\(f_Z(z)=f_1(z)+f_2(z)\)C.\(f_Z(z)=f_1(z)f_2(z)\)D.當(dāng)\(X\)和\(Y\)都服從正態(tài)分布時，\(Z\)也服從正態(tài)分布10.對于樣本相關(guān)系數(shù)\(r\)，以下說法正確的是（）A.\(|r|\leq1\)B.\(r=1\)表示\(X\)和\(Y\)完全正相關(guān)C.\(r=-1\)表示\(X\)和\(Y\)完全負(fù)相關(guān)D.\(r=0\)表示\(X\)和\(Y\)不相關(guān)答案：1.ABCD2.ABCD3.BCD4.AB5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABC9.AD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(A\)和\(B\)是互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）2.隨機變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)是單調(diào)不減函數(shù)。（）3.期望\(E(X)\)反映了隨機變量\(X\)取值的平均水平。（）4.設(shè)\(X\)和\(Y\)相互獨立，則\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)。（）5.樣本方差\(S^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的無偏估計量。（）6.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像是關(guān)于\(y\)軸對稱的。（）7.若\(P(A|B)=P(A)\)，則\(A\)與\(B\)相互獨立。（）8.總體參數(shù)的矩估計量一定是唯一的。（）9.在假設(shè)檢驗中，當(dāng)原假設(shè)\(H_0\)為真時拒絕\(H_0\)，犯了第二類錯誤。（）10.兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)和\(Y\)相互獨立。（）答案：1.√2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.×四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述概率的公理化定義。答案：設(shè)\(E\)是隨機試驗，\(\Omega\)是樣本空間，對于\(E\)的每一事件\(A\)賦予一個實數(shù)，記為\(P(A)\)，若\(P(A)\)滿足：非負(fù)性\(P(A)\geq0\)；規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，對兩兩互斥事件\(A_1,A_2,\cdots\)，有\(zhòng)(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，則稱\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.簡述正態(tài)分布的性質(zhì)。答案：正態(tài)分布概率密度圖像關(guān)于\(x=\mu\)對稱；在\(x=\mu\)處取得最大值；\(P(X\leq\mu)=0.5\)；參數(shù)\(\mu\)決定對稱軸位置，\(\sigma\)決定圖像陡峭程度，\(\sigma\)越小圖像越陡峭，\(\sigma\)越大圖像越平坦。3.簡述矩估計法的步驟。答案：首先求總體的\(k\)階原點矩\(E(X^{k})\)，它是總體分布中參數(shù)的函數(shù)；然后用樣本\(k\)階原點矩\(A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^{k}\)代替總體\(k\)階原點矩\(E(X^{k})\)；最后解關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，得到參數(shù)的矩估計量。4.簡述假設(shè)檢驗的基本步驟。答案：提出原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)；選擇合適的檢驗統(tǒng)計量；給定顯著水平\(\alpha\)，確定拒絕域；根據(jù)樣本值計算檢驗統(tǒng)計量的值；將統(tǒng)計量的值與拒絕域比較，若在拒絕域內(nèi)，拒絕\(H_0\)，否則接受\(H_0\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.在實際生活中，哪些場景可以用概率知識來分析決策？請舉例說明。答案：如保險行業(yè)，通過計算不同風(fēng)險事件發(fā)生的概率，制定合理保費。再如抽獎活動，根據(jù)獎品設(shè)置和參與人數(shù)等計算中獎概率，消費者可據(jù)此決定是否參與。企業(yè)生產(chǎn)中，利用概率分析產(chǎn)品次品率，控制質(zhì)量，決定生產(chǎn)策略。2.為什么樣本方差\(S^{2}\)的分母是\(n-1\)而不是\(n\)？答案：若分母為\(n\)，得到的估計量是有偏的，會低估總體方差。而分母為\(n-1\)時，樣本方差\(S^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的無偏估計量，能更準(zhǔn)確地反映總體方差情況，在