山東省淄博市2026屆高三上學期期末摸底質量檢測數(shù)學試題一、單選題1．設全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標是，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．將5名志愿者分配到兩項公益活動，每名志愿者只分配到一項公益活動，每項公益活動至少分配2名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．10種 B．25種 C．20種 D．40種5．若隨機變量，且，則的最大值為（

）A．9 B． C．24 D．276．若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后關于點對稱，則的值為（

）A． B．1 C． D．27．已知且，則（

）A． B． C． D．8．設函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列命題正確的有（

）A．的展開式的各二項式系數(shù)的和為1B．已知隨機事件和，若，則和相互獨立C．若隨機變量，則D．數(shù)據(jù)11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位數(shù)是310．已知公差為的等差數(shù)列的前項和為，且滿足，令，數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的有（

）A．B．使得成立的的最小值為C．D．11．已知等腰，，取，中點，，將沿翻折至，使得為正三角形，若底面，則下列說法正確的是（

）A．四棱錐存在外接球 B．C． D．四棱錐的體積為三、填空題12．若曲線在點處的切線斜率為2，則點的坐標是．13．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是．14．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題15．已知的內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求角的大??；(2)若邊上的中線長為，求的面積．16．記為數(shù)列的前項和，已知．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．17．如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，點分別在線段與上（不含端點），且．

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若平面，求的最小值．18．由個小正方形構成的長方形網(wǎng)格有行和列，每次將一個小球放到一個小正方形內(nèi)，放滿為止．(1)第一行中的個小球顏色互不相同，其余行都由這個小球以不同的順序組成，如果要使任意兩行的順序都不相同，求的最大值；(2)長方形網(wǎng)格中只放白球或黑球，每個小正方形內(nèi)放白球的概率為，放黑球的概率為．（ⅰ）若，記在每列都有黑球的條件下，含白球的行數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；（ⅱ）設事件“不是每一列都有黑球”，求，并證明：．19．已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有個零點，且．（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：．

參考答案1．A【詳解】由題可知，，所以，故選：A．2．D【詳解】由題意可得，則.故選：D.3．B【詳解】因為向量，，則，若，則，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4．C【詳解】將名志愿者分為2組，每組的人數(shù)分別為和3，再將這2組志愿者分配到2項公益活動，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的分配方案種數(shù)為.故選：C5．A【詳解】由題意可得，則，所以，易知當時，的最大值為.故選：A.6．B【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移得到，將點代入得，所以，解得，又，所以，故選：B.7．B【詳解】因為，則①，又，則②，由①②得，即，又，所以，又，則，所以，解得，所以，故選：B.8．A【詳解】由題知，，函數(shù)恰有兩個零點，因為當時，，所以是函數(shù)的一個零點，又當時，由可得，所以當時，與的圖象必有一個交點，由于，當時，，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，則，當時，，當時，，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，有最小值為，所以，函數(shù)圖象如圖：由圖可知，若與，圖象必有一個交點，則，故選：A.9．BC【詳解】A.的展開式的各二項式系數(shù)的和為，故錯誤；B.已知隨機事件和，因為，滿足，所以和相互獨立，故正確；C.因為隨機變量，所以，故正確；D.數(shù)據(jù)11，13，5，6，8，1，3，9由小到大排序為：1，3，5，6，8，9，11，13，，因為為整數(shù)，所以其下四分位數(shù)第項和第項的平均值，即，故錯誤；故選：BC10．ACD【詳解】對于A，因為，則，所以A正確，對于B，由，得，由選項A知，所以公差為，又由，得，所以，，則使得成立的的最小值為，所以B錯誤，對于C，由可得，，，，則，得到，所以，故C正確，對于D，因為，則，所以，故D正確.，故選：ACD.11．ABD【詳解】由題意可知，，因為為正三角形，，所以，又底面，所以，則，故四棱錐的外接球球心為，故A正確；由于，則，所以在平面中，，則①，在中，由余弦定理得：②，在中，由余弦定理得：③，由①②③可得又，所以，，故B正確；由③可得，則為銳角，所以，所以，因為，則，故C錯誤；由可得，則四邊形的面積故四棱錐的體積為，故D正確.故選：ABD.12．【詳解】由得設，則，解得，又，所以點的坐標為，故答案為：.13．【詳解】當時，令，所以，當時，令，所以，綜上所述，時，的取值范圍是故答案為：．14．【詳解】，令，則，對稱軸為，所以，由且，可得或，由題可知，，當時，，此時有最大值，無最小值，當時，，此時有最大值，無最小值，當時，，此時有最大值，有最小值，當時，，此時有最大值，有最小值，當時，，此時有最大值，無最小值，當時，，此時有最大值，無最小值，當時，，此時有最大值，有最小值，綜上所述，，故答案為：．15．(1)(2)【詳解】（1）由以及正弦定理可得，，即，則由余弦定理可得，，因為，所以.（2）因為為線段的中點，所以，則，又，所以，即，因為，，所以，得，則的面積為.

16．(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）因為，①所以當時，，②①②得：，即，所以，所以，即，當時，由①得，則，所以數(shù)列是以公比為，首項為的等比數(shù)列.（2）由（1）數(shù)列是以公比為，首項為的等比數(shù)列，所以，所以，由，則，所以，所以，所以數(shù)列的前項和為：，③，④③減④得：，即，所以.17．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）以A為原點，分別以AD、AB、AM所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標系，已知平面，，

則各點的坐標：，，得F點坐標：，所以，平面的法向量：取,，平面為平面，法向量為，，所以，又因為平面，因此平面；（2）平面的法向量為：，設平面的法向量為：，則，令，則，即，設兩平面的夾角為，則，（3）由，得，,，又因為平面，故，，，則，（根據(jù)不等式可得）當且僅當時，等號成立，故的最小值為，18．(1)(2)（ⅰ）分布列見解析，；（ⅱ）證明見解析.【詳解】（1）將個顏色互不相同的小球全排列，共有種排法，故的最大值為.（2）（?。┑乃锌赡苋≈禐?，記“含白球的行數(shù)為”為事件，記“每列都有黑球”為事件，則，，故的分布列為數(shù)學期望為.（ⅱ）因為每一列都至少有一個黑球的概率為，則不是每一列都有黑球的概率為，記“每行都至少有一個白球”為事件，所以，因為，所以，即，故.19．(1)在上單調(diào)遞增；(2)（i）；（ii）證明見解析.【詳解】（1）當時，定義域為，，令，則，令，解得，當，所以在上遞減，在上遞增，所以即，所以在上單調(diào)遞增.（2）（i）函數(shù)有3個零點等價于有三個根等價于有三個根，等價于當與有三個交點，.，0200減0增減，，所以的取值