22/22函數(shù)的應(yīng)用（二）【第1課時(shí)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】1．理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．（易混點(diǎn)）2．會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)．（重點(diǎn)）3．掌握函數(shù)零點(diǎn)存在定理并會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（難點(diǎn)）1．借助零點(diǎn)的求法培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的素養(yǎng)．2．借助函數(shù)的零點(diǎn)同方程根的關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．【教學(xué)過程】一、新知初探1．函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)y＝f（x），把使f（x）＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)．思考1：函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)嗎？提示：不是．函數(shù)的零點(diǎn)不是個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)數(shù)，該數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．方程、函數(shù)、函數(shù)圖象之間的關(guān)系方程f（x）＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f（x）有零點(diǎn)．3．函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f（a）f（b）<0，那么，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，這個(gè)c也就是方程f（x）＝0的解．思考2：該定理具備哪些條件？提示：定理要求具備兩條：①函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f（a）·f（b）<0．二、初試身手1．下列各圖象表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是（）A B C D答案：D解析：結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義可知選項(xiàng)D沒有零點(diǎn)．2．函數(shù)y＝2x－1的零點(diǎn)是（）A．eq\f(1,2)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．2答案：A解析：由2x－1＝0得x＝eq\f(1,2)．3．函數(shù)f（x）＝3x－4的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A．（0，1）B．（－1，0）C．（2，3）D．（1，2）答案：D解析：由f（－1）＝－eq\f(11,3)<0，f（0）＝－3<0，f（1）＝－1<0，f（2）＝5>0，f（3）＝23>0，得f（x）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（1，2）．4．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，則函數(shù)有________個(gè)零點(diǎn)．答案：2解析：由Δ＝b2－4ac>0得二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c三、合作探究求函數(shù)的零點(diǎn)類型1例1：（1）求函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零點(diǎn)；（2）已知函數(shù)f（x）＝ax－b（a≠0）的零點(diǎn)為3，求函數(shù)g（x）＝bx2＋ax的零點(diǎn)．解：（1）當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當(dāng)x>0時(shí)，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2．所以函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x>0))的零點(diǎn)為－3和e2．（2）由已知得f（3）＝0即3a－b＝0，即b＝3故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）．令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，解得x＝0或x＝－eq\f(1,3)．所以函數(shù)g（x）的零點(diǎn)為0和－eq\f(1,3)．規(guī)律方法函數(shù)零點(diǎn)的求法1．代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根．2．幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程f（x）＝0，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來．圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1．判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出；否則，請(qǐng)說明理由．（1）f（x）＝x2＋7x＋6；（2）f（x）＝1－log2（x＋3）；（3）f（x）＝2x－1－3；（4）f（x）＝eq\f(x2＋4x－12,x－2)．解：（1）解方程f（x）＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函數(shù)的零點(diǎn)是－1，－6．（2）解方程f（x）＝1－log2（x＋3）＝0，得x＝－1，所以函數(shù)的零點(diǎn)是－1．（3）解方程f（x）＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函數(shù)的零點(diǎn)是log26．（4）解方程f（x）＝eq\f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，所以函數(shù)的零點(diǎn)為－6．判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間類型2例2：（1）函數(shù)f（x）＝ln（x＋1）－eq\f(2,x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）（2）根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex－x－3＝0的一個(gè)根所在區(qū)間是（）x－10123ex0.3712.727.3920.08x＋323456A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：（1）C（2）C解析：（1）因?yàn)閒（1）＝ln2－eq\f(2,1)<0，f（2）＝ln3－1>0，且函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（1，2）．故選C．（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）＝ex－x－3，由上表可得f（－1）＝0.37－2＝－1.63<0，f（0）＝1－3＝－2<0，f（1）＝2.72－4＝－1.28<0，f（2）＝7.39－5＝2.39>0，f（3）＝20.08－6＝14.08>0，f（1）·f（2）<0，所以方程的一個(gè)根所在區(qū)間為（1，2），故選C．]規(guī)律方法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟1．代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)的值．2．判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷．3．結(jié)論：若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2．若函數(shù)f（x）＝x＋eq\f(a,x)（a∈R）在區(qū)間（1，2）上有零點(diǎn)，則a的值可能是（）A．－2B．0C．1D．3答案：A解析：f（x）＝x＋eq\f(a,x)（a∈R）的圖象在（1，2）上是連續(xù)不斷的，逐個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證，當(dāng)a＝－2時(shí)，f（1）＝1－2＝－1<0，f（2）＝2－1＝1>0．故f（x）在區(qū)間（1，2）上有零點(diǎn)，同理，其他選項(xiàng)不符合，選A．]函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)類型3探究問題1．方程f（x）＝a的根的個(gè)數(shù)與函數(shù)y＝f（x）及y＝a的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)什么關(guān)系？提示：相等．2．若函數(shù)g（x）＝f（x）－a有零點(diǎn)，如何求實(shí)數(shù)a的范圍？提示：法一：g（x）＝f（x）－a有零點(diǎn)可知方程f（x）－a＝0有解，即a＝f（x）有解．故a的范圍為y＝f（x）的值域．法二：g（x）＝f（x）－a有零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y＝a與函數(shù)y＝f（x）的圖象有交點(diǎn)，故可在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩函數(shù)的圖象，觀察交點(diǎn)情況即可．例3：已知0<a<1，則函數(shù)y＝a|x|－|logax|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4思路點(diǎn)撥：eq\x(\A\AL(構(gòu)造函數(shù)f（x）＝a|x|0<a<1,與g（x）＝|logax|0<a<1))→eq\x(\A\AL(畫出f（x）與,g（x）的圖象))→eq\x(\A\AL(觀察圖象得,零點(diǎn)的個(gè)數(shù)))答案：B解析：函數(shù)y＝a|x|－|logax|（0<a<1）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程a|x|＝|logax|（0<a<1）的根的個(gè)數(shù)，也就是函數(shù)f（x）＝a|x|（0<a<1）與g（x）＝|logax|（0<a<1）的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．畫出函數(shù)f（x）＝a|x|（0<a<1）與g（x）＝|logax|（0<a<1）的圖象，如圖所示，觀察可得函數(shù)f（x）＝a|x|（0<a<1）與g（x）＝|logax|（0<a<1）的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，從而函數(shù)y＝a|x|－|logax|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．母題探究1．把本例函數(shù)“y＝a|x|－|logax|”改為“y＝2x|logax|－1”，再判斷其零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：由2x|logax|－1＝0得|logax|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x及y＝|logax|（0<a<1）的圖象如圖所示．由圖可知，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝2x|logax|－1有兩個(gè)零點(diǎn)．2．若把本例條件換成“函數(shù)f（x）＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解：由f（x）＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b．在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示．則當(dāng)0<b<2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f（x）＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)．四、課堂小結(jié)1．在函數(shù)零點(diǎn)存在定理中，要注意三點(diǎn)：（1）函數(shù)是連續(xù)的；（2）定理不可逆；（3）至少存在一個(gè)零點(diǎn)．2．方程f（x）＝g（x）的根是函數(shù)f（x）與g（x）的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是函數(shù)y＝f（x）－g（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3．函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，同樣，函數(shù)問題有時(shí)也可以轉(zhuǎn)化為方程問題，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)．五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．思考辨析（1）f（x）＝x2的零點(diǎn)是0．（）（2）若f（a）·f（b）>0，則f（x）在[a，b]內(nèi)無零點(diǎn)．（）（3）若f（x）在[a，b]上為單調(diào)函數(shù)，且f（a）·f（b）<0，則f（x）在（a，b）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．（）（4）若f（x）在（a，b）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f（a）·f（b）<0．（）答案：（1）√（2）×（3）×（4）×2．函數(shù)f（x）＝2x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）答案：B解析：∵f（1）＝2－3＝－1<0，f（2）＝4－3＝1>0，∴f（1）·f（2）<0，即f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（1，2）．3．對(duì)于函數(shù)f（x），若f（－1）·f（3）<0，則（）A．方程f（x）＝0一定有實(shí)數(shù)解B．方程f（x）＝0一定無實(shí)數(shù)解C．方程f（x）＝0一定有兩實(shí)根D．方程f（x）＝0可能無實(shí)數(shù)解答案：D解析：∵函數(shù)f（x）的圖象在（－1，3）上未必連續(xù)，故盡管f（－1）·f（3）<0，但方程f（x）＝0在（－1，3）上可能無實(shí)數(shù)解．4．已知函數(shù)f（x）＝x2－x－2a（1）若a＝1，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；（2）若f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x2－x－2．令f（x）＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2．即函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為－1和2．（2）要使f（x）有零點(diǎn)，則Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－eq\f(1,8)，所以a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，＋∞))．【第2課時(shí)】用二分法求方程的近似解【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】1．通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其使用條件．（重點(diǎn)）2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解．（難點(diǎn)）3．會(huì)用二分法求一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，從而求得方程的近似解．（易混點(diǎn)）借助二分法的操作步驟與思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模及邏輯推理素養(yǎng)．【教學(xué)過程】一、新知初探1．二分法的定義對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f（a）·f（b）<0的函數(shù)y＝f（x），通過不斷地把它的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．思考：若函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)有零點(diǎn)，該零點(diǎn)是否一定能用二分法求解？提示：二分法只適用于函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)（即函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)相反），因此函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)的零點(diǎn)不能用二分法求解，如f（x）＝（x－1）2的零點(diǎn)就不能用二分法求解．2．二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟（1）確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f（a）f（b）＜0．（2）求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)c．（3）計(jì)算f（c），并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：①若f（c）＝0（此時(shí)x0＝c），則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f（a）f（c）＜0（此時(shí)x0∈（a，c）），則令b＝c；③若f（c）f（b）＜0（此時(shí)x0∈（c，b）），則令a＝c．（4）判斷是否達(dá)到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a（或b）；否則重復(fù)步驟（2）～（4）．二、初試身手1．用二分法求函數(shù)f（x）＝x3＋5的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（）A．[－2，1]B．[－1，0]C．[0，1]D．[1，2]答案：A解析：∵f（－2）＝－3<0，f（1）＝6>0，f（－2）·f（1）<0，故可取[－2，1]作為初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算．2．用二分法求函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)，精確度為0.001，則結(jié)束計(jì)算的條件是（）A．|a－b|<0.1B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001D．|a－b|＝0.001答案：B解析：據(jù)二分法的步驟知當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度|b－a|小于精確度ε時(shí)，便可結(jié)束計(jì)算．3．已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，則不能利用二分法求解的零點(diǎn)是________．答案：x3解析：因?yàn)閤3左右兩側(cè)的函數(shù)值同號(hào)，故其不能用二分法求解．4．用二分法研究函數(shù)f（x）＝x3＋3x－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過計(jì)算得f（0）＜0，f（0．5）＞0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，第二次應(yīng)計(jì)算________．答案：（0，0．5）解析：f（0．25）[∵f（0）<0，f（0．5）>0，∴x0∈（0，0．5），故第二次應(yīng)計(jì)算f（0．25）．]三、合作探究二分法的概念類型1例1：已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與可以用二分法求解的個(gè)數(shù)分別為（）A．4，4B．3，4C．5，4D．4，3答案：D解析：圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；左右函數(shù)值異號(hào)的零點(diǎn)有3個(gè)，所以用二分法求解的個(gè)數(shù)為3，故選D．規(guī)律方法判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適合，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適合．跟蹤訓(xùn)練1．下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是（）A B C D答案：B解析：二分法的理論依據(jù)是零點(diǎn)存在定理，必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)才能求解．而選項(xiàng)B圖中零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號(hào)，即曲線經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)不變號(hào)，稱這樣的零點(diǎn)為不變號(hào)零點(diǎn)．另外，選項(xiàng)A，C，D零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，稱這樣的零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值類型2探究問題1．用二分法求方程的近似解，如何決定步驟的結(jié)束？提示：當(dāng)零點(diǎn)所在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值之差的絕對(duì)值小于精確度時(shí)，二分法步驟結(jié)束．2．用二分法求方程的近似解時(shí)，精確度不同對(duì)零點(diǎn)有影響嗎？提示：精確度決定步驟的始終，故精確度不同，零點(diǎn)可能會(huì)不同．例2：求函數(shù)f（x）＝x3－3x2－9x＋1的一個(gè)負(fù)零點(diǎn)（精確度0.01）．思路點(diǎn)撥：eq\x(確定初始區(qū)間)eq\o(――→,\s\up15(二分法))eq\x(定新的有解區(qū)間)eq\o(――――――→,\s\up15(檢驗(yàn)精確度ε))eq\x(得零點(diǎn)近似值)解：確定一個(gè)包含負(fù)數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間（m，n），且f（m）·f（n）<0．因?yàn)閒（－1）>0，f（－2）<0，所以可以取區(qū)間（－2，－1）作為計(jì)算的初始區(qū)間，當(dāng)然選取在較大的區(qū)間也可以．用二分法逐步計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)（中點(diǎn)）端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值取值區(qū)間f（－1）>0，f（－2）<0（－2，－1）x0＝eq\f(－1－2,2)＝－1.5f（x0）＝4.375>0（－2，－1.5）x1＝eq\f(－1.5－2,2)＝－1.75f（x1）≈2.203>0（－2，－1.75）x2＝eq\f(－1.75－2,2)＝－1.875f（x2）≈0.736>0（－2，－1.875）x3＝eq\f(－1.875－2,2)＝－1.9375f（x3）≈－0.0974<0（－1.9375，－1.875）x4＝eq\f(－1.875－1.9375,2)＝－1.90625f（x4）≈0.3280>0（－1.9375，－1.90625）x5＝eq\f(－1.9375－1.90625,2)＝－1.921875f（x5）≈0.1174>0（－1.9375，－1.921875）x6＝eq\f(－1.9375－1.921875,2)＝－1.9296875f（x6）≈0.0105>0（－1.9375，－1.9296875）由于|－1．9296875＋1．9375|＝0．0078125<0．01，所以函數(shù)的一個(gè)負(fù)零點(diǎn)近似值可取為－1．9296875．母題探究1．（變條件）求本例函數(shù)f（x）在區(qū)間[－2，－1]上精確度為0.1的一個(gè)零點(diǎn)近似值．解：因?yàn)閒（－1）>0，f（－2）<0，且函數(shù)f（x）＝x3－3x2－9x＋1的圖象是連續(xù)的曲線，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可知，它在區(qū)間[－2，－1]內(nèi)有零點(diǎn)，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)（中點(diǎn)）端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值取值區(qū)間f（－1）>0，f（－2）<0（－2，－1）x0＝eq\f(－1－2,2)＝－1.5f（x0）＝4.375>0（－2，－1.5）x1＝eq\f(－1.5－2,2)＝－1.75f（x1）≈2.203>0（－2，－1.75）x2＝eq\f(－1.75－2,2)＝－1.875f（x2）≈0.736>0（－2，－1.875）x3＝eq\f(－1.875－2,2)＝－1.9375f（x3）≈－0.0974<0（－1.9375，－1.875）由于|－1.875＋1.9375|＝0.0625<0.1，所以函數(shù)在區(qū)間[－2，－1]內(nèi)的一個(gè)近似零點(diǎn)可取為－1.9375．2．若將本例函數(shù)改為“f（x）＝x3＋2x2－3x－6”，如何求該函數(shù)的正數(shù)零點(diǎn)？（精確度0．1）解：確定一個(gè)包含正數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間（m，n），且f（m）·f（n）<0．因?yàn)閒（0）＝－6<0，f（1）＝－6<0，f（2）＝4>0，所以可以取區(qū)間（1，2）作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)（中點(diǎn)）端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值取值區(qū)間f（1）＝－6<0，f（2）＝4>0（1，2）x1＝eq\f(1＋2,2)＝1.5f（1.5）＝－2.625<0（1.5，2）x2＝eq\f(1.5＋2,2)＝1.75f（1.75）≈0.2344>0（1.5，1.75）x3＝eq\f(1.5＋1.75,2)＝1.625f（1.625）≈－1.3027<0（1.625，1.75）x4＝eq\f(1.625＋1.75,2)＝1.6875f（1.6875）≈－0.5618<0（1.6875，1.75）由于|1.75－1.6875|＝0.0625<0.1，所以函數(shù)的正數(shù)零點(diǎn)的近似值可取為1.6875．規(guī)律方法利用二分法求方程近似解的過程圖示四、課堂小結(jié)1．二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，直至找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)．2．并非所有函數(shù)都可以用二分法求其零點(diǎn)，只有滿足：（1）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷；（2）f（a）·f（b）<0，上述兩條的函數(shù)方可采用二分法求得零點(diǎn)的近似值．五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．思考辨析（1）二分法所求出的方程的解都是近似解．（）（2）函數(shù)f（x）＝|x|可以用二分法求零點(diǎn)．（）（3）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，每次等分區(qū)間后，零點(diǎn)必定在右側(cè)區(qū)間內(nèi)．（）答案：（1）×（2）×（3）×2．關(guān)于“二分法”求方程的近似解，說法正確的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可將y＝f（x）在[a，b]內(nèi)的所有零點(diǎn)得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y(tǒng)＝f（x）在[a，b]內(nèi)的零點(diǎn)C．應(yīng)用“二分法”求方程的近似解，y＝f（x）在[a，b]內(nèi)有可能無零點(diǎn)D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）＝0在[a，b]內(nèi)的精確解答案：D解析：二分法求零點(diǎn)，則一定有且能求出，故B，C不正確；零點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相同的零點(diǎn)不能用二分法得到，故A不正確，故選D．3．用二分法求函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[2，4]上零點(diǎn)的近似值，經(jīng)驗(yàn)證有f（2）·f（4）<0．取區(qū)間的中點(diǎn)x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，計(jì)算得f（2）·f（x1）<0，則此時(shí)零點(diǎn)x0∈________（填區(qū)間）．答案：（2，3）解析：因?yàn)閒（2）·f（3）<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間（2，3）內(nèi)．4．用二分法求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的根的近似值時(shí)，令f（x）＝ln（2x＋6）＋2－3x，并用計(jì)算器得到下表：x1.001.251.3751.50f（x）1.07940.1918－0.3604－0.9989由表中的數(shù)據(jù)，求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的一個(gè)近似解（精確度為0.1）．解：因?yàn)閒（1.25）·f（1.375）<0，故根據(jù)二分法的思想，知函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（1.25，1.375）內(nèi)，但區(qū)間（1.25，1.375）的長(zhǎng)度為0.125>0．1，因此需要?。?.25，1.375）的中點(diǎn)1.3125，兩個(gè)區(qū)間（1.25，1.3125）和（1.3125，1.375）中必有一個(gè)滿足區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相異，又區(qū)間的長(zhǎng)度為0.0625<0．1，因此1.3125是一個(gè)近似解．【第3課時(shí)】函數(shù)模型的應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】1．會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題．（重點(diǎn)）2．能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3．了解擬合函數(shù)模型并解決實(shí)際問題．（重點(diǎn)）通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)模型的作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．【教學(xué)過程】一、新知初探1．常用函數(shù)模型常用函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型y＝kx＋b（k，b為常數(shù)，k≠0）（2）二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）（3）指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c（a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1）（4）對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n（m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1）（5）冪函數(shù)模型y＝axn＋b（a，b為常數(shù)，a≠0）（6）分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx<m，,cx＋dx≥m))2．建立函數(shù)模型解決問題的基本過程思考：解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟是什么？提示：利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題時(shí)，一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：（一）審題；（二）建模；（三）求模；（四）還原．這些步驟用框圖表示如圖：二、初試身手1．如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型是（）x45678910y15171921232527A．一次函數(shù)模型B．二次函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型答案：A解析：自變量每增加1函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型．故選A．2．某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動(dòng)物，已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y（只）與引入時(shí)間x（年）的關(guān)系為y＝alog2（x＋1），若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到（）A．300只B．400只C．600只D．700只答案：A解析：將x＝1，y＝100代入y＝alog2（x＋1）得，100＝alog2（1＋1），解得a＝100．所以x＝7時(shí)，y＝100log2（7＋1）＝300．3．據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.8元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.5元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝0.3x＋800（0≤x≤2000）B．y＝0.3x＋1600（0≤x≤2000）C．y＝－0.3x＋800（0≤x≤2000）D．y＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）答案：D解析：由題意知，變速車存車數(shù)為（2000－x）輛次，則總收入y＝0.5x＋（2000－x）×0.8＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）．4．某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入運(yùn)營(yíng)．據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的利潤(rùn)y與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x（x∈N）為二次函數(shù)關(guān)系（如圖），則客車有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間不超過________年．答案：7解析：設(shè)二次函數(shù)y＝a（x－6）2＋11，又過點(diǎn)（4，7），所以a＝－1，即y＝－（x－6）2＋11．解y≥0，得6－eq\r(11)≤x≤6＋eq\r(11)，所以有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間為2eq\r(11)．又6<2eq\r(11)<7，所以有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間不超過7年．]三、合作探究利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題類型1例1：物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述，設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T，則T－Ta＝（T0－Ta）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(\f(t,h))，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期，現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要20min，那么降溫到32℃時(shí)，需要多長(zhǎng)時(shí)間？解：先設(shè)定半衰期h，由題意知40－24＝（88－24）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(20,h))，即eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(20,h))，解之，得h＝10，故原式可化簡(jiǎn)為T－24＝（88－24）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(t,10))，當(dāng)T＝32時(shí)，代入上式，得32－24＝（88－24）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(t,10))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(t,10))＝eq\f(8,64)＝eq\f(1,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，∴t＝30．因此，需要30min，可降溫到32℃．規(guī)律方法已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題，往往給出的函數(shù)解析式含有參數(shù)，需要將題中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型，求得函數(shù)模型中的參數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式求函數(shù)值或自變量的值．跟蹤訓(xùn)練1．某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P（元）和時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系為：P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋200<t<25，,－t＋10025≤t≤30.))（t∈N*）設(shè)該商品的日銷售量Q（件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系為Q＝40－t（0<t≤30，t∈N*），求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大是第幾天？解：設(shè)日銷售金額為y（元），則y＝PQ，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋8000<t<25，,t2－140t＋400025≤t≤30.))（t∈N*）①當(dāng)0<t<25且t∈N*時(shí)，y＝－（t－10）2＋900，所以當(dāng)t＝10時(shí)，ymax＝900（元）．②當(dāng)25≤t≤30且t∈N*時(shí)，y＝（t－70）2－900，所以當(dāng)t＝25時(shí)，ymax＝1125（元）．結(jié)合①②得ymax＝1125（元）．因此，這種商品日銷售額的最大值為1125元，且在第25天時(shí)日銷售金額達(dá)到最大．自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題類型2例2：牧場(chǎng)中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際畜養(yǎng)量不能達(dá)到最大畜養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知羊群的年增長(zhǎng)量y只和實(shí)際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k（k>0）．（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）求羊群年增長(zhǎng)量的最大值．思路點(diǎn)撥：eq\x(畜養(yǎng)率)―→eq\x(空閑率)―→eq\x(\A\AL(y與x之間,的函數(shù)關(guān)系))eq\o(――→,\s\up15(單調(diào)性))eq\x(求最值)解：（1）根據(jù)題意，由于最大畜養(yǎng)量為m只，實(shí)際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m)，故空閑率為1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))（0<x<m）．（2）對(duì)原二次函數(shù)配方，得y＝－eq\f(k,m)（x2－mx）＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(km,4)，即當(dāng)x＝eq\f(m,2)時(shí)，y取得最大值eq\f(km,4)．母題探究1．（變條件）若將本例“與空閑率的乘積成正比”改為“與空閑率的乘積成反比”又如何表示出y關(guān)于x的函數(shù)解析式？解：根據(jù)題意，由于最大畜養(yǎng)量為m只，實(shí)際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m)，故空閑率為1－eq\f(x,m)，因?yàn)檠蛉旱哪暝鲩L(zhǎng)量y只和實(shí)際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成反比，由此可得y＝eq\f(k,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m))))（0<x<m）．2．（變結(jié)論）若本例條件不變，求當(dāng)羊群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，k的取值范圍．解：由題意知為給羊群留有一定的生長(zhǎng)空間，則有實(shí)際畜養(yǎng)量與年增長(zhǎng)量的和小于最大畜養(yǎng)量，即0<x＋y<m．因?yàn)楫?dāng)x＝eq\f(m,2)時(shí)，ymax＝eq\f(km,4)，所以0<eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)<m，解得－2<k<2．又因?yàn)閗>0，所以0<k<2．規(guī)律方法自建模型時(shí)主要抓住四個(gè)關(guān)鍵：“求什么，設(shè)什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務(wù)．設(shè)什么就是弄清楚這個(gè)問題有哪些因素，誰是核心因素，通常設(shè)核心因素為自變量．列什么就是把問題已知條件用所設(shè)變量表示出來，可以是方程、函數(shù)、不等式等．限制什么主要是指自變量所應(yīng)滿足的限制條件，在實(shí)際問題中，除了要使函數(shù)式有意義外，還要考慮變量的實(shí)際含義，如人不能是半個(gè)等．?dāng)M合數(shù)據(jù)構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題類型3探究問題1．實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間一定有確定的函數(shù)關(guān)系嗎？提示：不一定．2．對(duì)于收集的一組樣本數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）我們常對(duì)其如何操作，以發(fā)現(xiàn)其所隱含的規(guī)律？提示：常先畫上述數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，再借助其變化趨勢(shì)，結(jié)合我們已學(xué)習(xí)的函數(shù)模型，對(duì)數(shù)據(jù)作出合理的分析，從中找出所隱含的規(guī)律．例3：某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，自2015年以來，每年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng)．已知2015年為第1年，前4年年產(chǎn)量f（x）（萬件）如下表所示：x1234f（x）4.005.587.008.44（1）畫出2015～2018年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點(diǎn)圖；（2）建立一個(gè)能基本反映（誤差小于0.1）這一時(shí)期該企業(yè)年產(chǎn)量變化的函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式；（3）2019年（即x＝5）因受到某國對(duì)我國該產(chǎn)品反傾銷的影響，年產(chǎn)量減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2019年的年產(chǎn)量為多少？思路點(diǎn)撥：eq\x(描點(diǎn))eq\o(――→,\s\up15(依散點(diǎn)圖))eq\x(選模)eq\o(――→,\s\up15(待定系數(shù)法))eq\x(求模)eq\o(――→,\s\up15(誤差))eq\x(驗(yàn)?zāi)?→eq\x(用模)解：（1）畫出散點(diǎn)圖，如圖所示．（2）由散點(diǎn)圖知，可選用一次函數(shù)模型．設(shè)f（x）＝ax＋b（a≠0）．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1.5，,b＝2.5，))∴f（x）＝1.5x＋2.5．檢驗(yàn)：f（2）＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f（4）＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1．∴一次函數(shù)模型f（x）＝1.5x＋2.5能基本反映年產(chǎn)量的變化．（3）根據(jù)所建的函數(shù)模型，預(yù)計(jì)2019年的年產(chǎn)量為f（5）＝1.5×5＋2.5＝10萬件，又年產(chǎn)量減少30%，即10×70%＝7萬件，即2019年的年產(chǎn)量為7萬件．規(guī)律方法函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟：1．根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖．2．通過考察散點(diǎn)圖，畫出擬合直線或擬合曲線．3．求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式．4．利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，為決策和管理提供依據(jù)．跟蹤訓(xùn)練2．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170體重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式；（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？解：（1）以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖．根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可考慮以y＝a·bx作為刻畫這個(gè)地區(qū)未