第06講回歸方程與獨(dú)立性檢驗(yàn)內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材·學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型·強(qiáng)知識(shí)：核心題型舉一反三精準(zhǔn)練【題型01：相關(guān)關(guān)系的概念和判斷】【題型02：相關(guān)系數(shù)的比較和計(jì)算】【題型03：線性回歸方程與樣本中心】【題型04：求線性回歸方程】【題型05：殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用】【題型06：非線性回歸方程】【題型07：獨(dú)立性檢驗(yàn)的理解】【題型08：獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用】【題型09：獨(dú)立性檢驗(yàn)的最值】第二步：記串知識(shí)·識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)·穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1：相關(guān)關(guān)系1.變量的相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度正相關(guān)與負(fù)相關(guān)如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)線性相關(guān)如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)非線性相關(guān)如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)2.樣本相關(guān)系數(shù)①樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：.②樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)：當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)|r|越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；|r|越接近于0，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱.通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系知識(shí)點(diǎn)2：回歸模型1.一元線性回歸模型①最小二乘法：即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小．若變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，有n個(gè)樣本數(shù)據(jù)，則回歸方程中，.其中，稱為樣本點(diǎn)的中心．②線性回歸模型，其中稱為隨機(jī)誤差，自變量稱為解釋變量，因變量稱為預(yù)報(bào)變量2.判斷回歸模型的擬合效果方法決定系數(shù)法殘差圖殘差平方和公式稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，刻畫效果越接近于1，表示回歸的效果越好殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高.殘差平方和越小，模型的擬合效果越好知識(shí)點(diǎn)3：獨(dú)立性檢驗(yàn)1.2×2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個(gè)變量，它們的取值分別為和，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(列聯(lián)表)如下：總計(jì)aba＋bcdc＋d總計(jì)a＋cb＋d2．獨(dú)立性檢驗(yàn)①利用隨機(jī)變量(也可表示為)(其中為樣本容量)來判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)；②基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)時(shí)，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；【題型01：相關(guān)關(guān)系的概念和判斷】1．如圖是某調(diào)查小組收集的全國(guó)近十個(gè)月新能源汽車與燃油車銷量的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列說法錯(cuò)誤的是（

）nnA．新能源汽車銷量與月份呈現(xiàn)正相關(guān)B．可預(yù)測(cè)燃油車銷量仍呈下降趨勢(shì)C．新能源汽車銷量逐月增長(zhǎng)率大致相同D．燃油車銷量與月份的相關(guān)系數(shù)接近1【答案】D【詳解】對(duì)于A，新能源汽車銷量與月份呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，所以新能源汽車銷量與月份正相關(guān)，故A正確；對(duì)于B，燃油車銷量與月份呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，且比較均勻的分布在直線的兩側(cè)，可預(yù)測(cè)燃油車銷量仍呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，故B正確；對(duì)于C，新能源汽車銷量與月份呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，且比較均勻的分布在直線的兩側(cè)，所以新能源汽車銷量逐月增長(zhǎng)率大致相同，故C正確；對(duì)于D，燃油車銷量與月份呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，且比較均勻的分布在直線的兩側(cè)，所以燃油車銷量與月份的相關(guān)系數(shù)接近，故D錯(cuò)誤.故選：D.2．觀察下列散點(diǎn)圖，關(guān)于兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系推斷正確的是（

）A．（1）為正相關(guān)，（2）不相關(guān)，（3）負(fù)相關(guān)B．（1）為正相關(guān)，（2）負(fù)相關(guān)，（3）不相關(guān)C．（1）為負(fù)相關(guān)，（2）不相關(guān)，（3）正相關(guān)D．（1）為負(fù)相關(guān)，（2）正相關(guān)，（3）不相關(guān)【答案】A【詳解】第一個(gè)圖點(diǎn)的分布比較集中，且隨的增加，而增加，是正相關(guān)．第二個(gè)圖點(diǎn)的分布比較分散，不相關(guān)．第三個(gè)圖點(diǎn)的分布比較集中，且隨的增加，而減少，是負(fù)相關(guān)．故選：A．3．在一次試驗(yàn)中，測(cè)得的五組數(shù)據(jù)分別為，，，，，去掉一組數(shù)據(jù)后，下列說法正確的是（

）A．樣本數(shù)據(jù)由正相關(guān)變成負(fù)相關(guān) B．樣本的相關(guān)系數(shù)不變C．樣本的相關(guān)性變?nèi)?D．樣本的相關(guān)系數(shù)變大【答案】D【詳解】由題意，去掉離群點(diǎn)后，仍然為正相關(guān)，相關(guān)性變強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)變大，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.4．對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到如圖所示的散點(diǎn)圖，下列結(jié)論不正確的是（

）A．圖1、圖2兩組數(shù)據(jù)都具有線性相關(guān)關(guān)系B．圖1數(shù)據(jù)正相關(guān)，圖2數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)C．圖1相關(guān)系數(shù)小于圖2相關(guān)系數(shù)D．圖1相關(guān)系數(shù)和圖2相關(guān)系數(shù)之和小于0【答案】C【詳解】對(duì)A，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖都呈直線型，所以圖1、圖2兩組數(shù)據(jù)都具有線性相關(guān)關(guān)系，A正確；對(duì)B，圖1散點(diǎn)從左至右呈上升趨勢(shì)，所以數(shù)據(jù)正相關(guān)，圖2散點(diǎn)從左至右呈下降趨勢(shì)，所以數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，故B正確；對(duì)C，圖1正相關(guān)，圖2負(fù)相關(guān)，所以C不正確；對(duì)D，因?yàn)閳D2相關(guān)程度更強(qiáng)，所以D正確.故選：C.【題型02：相關(guān)系數(shù)的比較和計(jì)算】5．在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為．【答案】【詳解】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在直線上，所以，又樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，所以．故答案為：.6．某市環(huán)保部門研究近十年空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)，得到以下結(jié)論：結(jié)論一：PM2.5濃度與機(jī)動(dòng)車保有量的樣本相關(guān)系數(shù)；結(jié)論二：綠化覆蓋率與呼吸道疾病發(fā)病率的樣本相關(guān)系數(shù)；結(jié)論三：工業(yè)能耗與近地面臭氧濃度的樣本相關(guān)系數(shù)．下列說法正確的是（

）A．由結(jié)論一可知，機(jī)動(dòng)車保有量增加是PM2.5濃度升高的直接原因B．由結(jié)論二可知，綠化覆蓋率與呼吸道疾病發(fā)病率無關(guān)聯(lián)C．結(jié)論三表明工業(yè)能耗與近地面臭氧濃度呈正相關(guān)，且線性相關(guān)性比結(jié)論一更強(qiáng)D．結(jié)論一中接近1，說明PM2.5濃度與機(jī)動(dòng)車保有量存在極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系【答案】D【詳解】由，可知PM2.5濃度與機(jī)動(dòng)車保有量存在極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，但并不能說明機(jī)動(dòng)車保有量增加是PM2.5濃度升高的直接原因，故A錯(cuò)誤，D正確；由于，，則表明工業(yè)能耗與近地面臭氧濃度呈正相關(guān)，但線性相關(guān)性沒有結(jié)論一的強(qiáng)，故C錯(cuò)誤，由，可知綠化覆蓋率與呼吸道疾病發(fā)病率呈負(fù)相關(guān)，相關(guān)性不是很強(qiáng)，但不能說綠化覆蓋率與呼吸道疾病發(fā)病率無關(guān)聯(lián)，故B錯(cuò)誤，故選：D7．已知四組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，則線性相關(guān)程度最強(qiáng)的是（

）A．A組 B．B組 C．C組 D．D組【答案】A【詳解】由，即，所以線性相關(guān)程度最強(qiáng)的是組.故選：A8．以下是標(biāo)號(hào)分別為①、②、③、④的四幅散點(diǎn)圖，它們的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，那么相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為（按由小到大的順序排列）.【答案】【詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖可知，圖①③成正相關(guān)，圖②④成負(fù)相關(guān)，∴，又圖①②的散點(diǎn)圖近似在一條直線上，則圖①②兩變量的線性相關(guān)程度比較高，圖③④的散點(diǎn)圖比較分散，故圖③④兩變量的線性相關(guān)程度比較低，即與比較大，與比較小，∴，故答案為：.9．為了讓人民享受到更優(yōu)質(zhì)的教育服務(wù)，我國(guó)逐年加大對(duì)教育的投入．為了預(yù)測(cè)2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)，建立了招生數(shù)y(單位：萬人)與時(shí)間變量t的三個(gè)回歸模型．其中根據(jù)2001年至2019年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次取1，2，3，…，19)建立模型①：(決定系數(shù))和模型②：＝152.4＋16.3t(相關(guān)系數(shù)0.97，決定系數(shù))．根據(jù)2014年至2019年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次取1，2，3，…，6)建立模型③：＝372.8＋9.8t(相關(guān)系數(shù)0.99，決定系數(shù))．(1)可以根據(jù)模型①得到2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)的預(yù)測(cè)值為597.88萬人，請(qǐng)你分別利用模型②③，求2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？說明理由(寫出一個(gè)即可)．【答案】(1)利用模型②預(yù)測(cè)值為511(萬人)；利用模型③預(yù)測(cè)值為461(萬人)(2)利用模型③得到的預(yù)測(cè)值更可靠，理由見解析【分析】【詳解】（1）利用模型②得2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)的預(yù)測(cè)值為＝152.4＋16.3×22＝511(萬人)；利用模型③得2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)的預(yù)測(cè)值為＝372.8＋9.8×9＝461(萬人)．（2）利用模型③得到的預(yù)測(cè)值更可靠，理由如下(以下理由任選一個(gè)作答即可)．理由一：從計(jì)算結(jié)果可以看出，模型③的決定系數(shù)最大，說明其擬合效果最好，因此利用模型③得到的預(yù)測(cè)值更可靠．理由二：模型①的決定系數(shù)比模型②③小很多，說明其擬合效果最差．對(duì)于模型②③，模型③的相關(guān)系數(shù)0.99比模型②的相關(guān)系數(shù)0.97大，說明模型③的兩變量的線性相關(guān)性比模型②更強(qiáng)．因此利用模型③得到的預(yù)測(cè)值更可靠．10．科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如下表：x（年齡/歲）26563949615327584160y（脂肪含量/%）14.531.421.226.334.629.617.833.525.935.2根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)：(1)求和；(2)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷它們的相關(guān)關(guān)系及相關(guān)程度.參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，相關(guān)系數(shù)【答案】(1)，(2)，人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng)，理由見解析.【詳解】（1），（2）因?yàn)?，，所以，由樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng).【題型03：線性回歸方程與樣本中心】11．2025年11月，搭載“祖沖之三號(hào)”同款芯片的超導(dǎo)量子計(jì)算機(jī)“天衍-287”完成搭建，該量子計(jì)算系統(tǒng)具備“量子計(jì)算優(yōu)越性”能力.下表記錄了8個(gè)團(tuán)隊(duì)在特定年度的研發(fā)資金投入x(單位：億元)與芯片性能提升評(píng)估指數(shù)y，且研發(fā)資金投入x/億元210性能提升評(píng)估指數(shù)y212已知y與x具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，通過最小二乘估計(jì)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為如果去掉樣本點(diǎn)后，得到的新樣本的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為則（

）A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7【答案】B【詳解】由及，得，則在新樣本中，，所以.故選：B12．某店日盈利（單位：百元）與當(dāng)天平均氣溫（單位：）之間有如下數(shù)據(jù)：-2-1012百元54221小明對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，，樣本中心點(diǎn)為，由樣本數(shù)據(jù)可知，隨著的增大而減小，所以符合條件.故選：B.13．某學(xué)校一同學(xué)研究溫差與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)y（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y17a252835已知數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合回歸直線方程，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．時(shí)，【答案】C【詳解】由題，所以，所以回歸直線方程，所以當(dāng)時(shí)，.故ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：C14．已知變量x，y線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)（，2，3，4，5），滿足，用最小二乘法得到的線性回歸方程是．現(xiàn)增加一個(gè)數(shù)據(jù)，重新計(jì)算得到的回歸直線斜率是，時(shí)，y的估計(jì)值是（

）A．3 B． C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，則，增加數(shù)據(jù)后，，且回歸直線為，所以，得，則，所以時(shí)，有故選：B.15．已知變量的一組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：123450325且關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A．B．C．當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)的值為7.4D．從這5組數(shù)據(jù)中任取2組，均滿足的情況有3種【答案】ACD【詳解】對(duì)于，由點(diǎn)在直線上，可得，故A正確；對(duì)于，由，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于，滿足的情況有3種，所以從這5組數(shù)據(jù)中任取2組，均滿足的情況有種，故D正確．故選：ACD.16．（多選）對(duì)于變量和變量，經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，，且，樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)大致分布在一條直線附近．利用最小二乘法求得線性回歸方程為，分析發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)遠(yuǎn)離回歸直線，將其剔除后得到新的線性回歸方程，則（

）A．變量與變量的樣本相關(guān)系數(shù)為1.8B．剔除后，變量與變量的樣本相關(guān)系數(shù)變大C．新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)D．若新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，則其方程為【答案】BD【詳解】對(duì)于A，樣本相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值的最大值為1，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，由剔除的是偏離直線較大的異常點(diǎn)，得剔除該點(diǎn)后，新樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度變強(qiáng)，即樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大，易知變量與變量正相關(guān)，所以剔除后，樣本相關(guān)系數(shù)變大，故B正確．對(duì)于C，原樣本中，，剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)后，新樣本中，，，因此剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，由新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，得新的回歸直線斜率為，設(shè)，將點(diǎn)代入，得，所以其方程為，故D正確．故選：BD.【題型04：求線性回歸方程】17．如圖是某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的某地區(qū)2016年至2022年生活垃圾無害化處理量y（單位：萬噸）的折線圖．注：年份代碼1-7分別對(duì)應(yīng)年份2016-2022．求y關(guān)于t的回歸直線方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測(cè)2024年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量．參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小乘估計(jì)公式分別為，．【答案】回歸方程為，預(yù)測(cè)2024年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量將約萬噸【詳解】，，，得，又，，y關(guān)于t的回歸方程為．，將2024對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得：，預(yù)測(cè)2024年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量將約萬噸．18．某種產(chǎn)品2014年到2018年的年投資金額（萬元）與年利潤(rùn)（萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下，由散點(diǎn)圖知，與之間的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合，已知5年利潤(rùn)的平均值是4.7．年份20142015201620172018年投資金額萬元12345年利潤(rùn)萬元2.42.76.47.9(1)求表中實(shí)數(shù)的值；(2)求關(guān)于的線性回歸方程．參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】(1)；(2)．【分析】【詳解】（1）由題意得，，解得（2）由題意得，,，，故，則，故所求線性回歸方程為．19．兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為，，…．其樣本中心點(diǎn)為，且由統(tǒng)計(jì)知，，樣本相關(guān)系數(shù)．(1)求；(2)根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)以及下面所附公式，建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．附：，，．【答案】(1)138(2)【分析】【詳解】（1），代入數(shù)據(jù)可得．（2）由已知得，，∵，∴，，∴關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．20．如圖是某采礦廠的污水排放量單位：噸與礦產(chǎn)品年產(chǎn)量單位：噸的折線圖：(1)依據(jù)折線圖計(jì)算相關(guān)系數(shù)精確到，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合(2)若可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)年產(chǎn)量為10噸時(shí)的污水排放量．相關(guān)公式：，參考數(shù)據(jù)：．回歸方程中，【答案】(1)相關(guān)系數(shù)，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系(2)，噸【分析】【詳解】（1）由折線圖得如下數(shù)據(jù)計(jì)算得：，，，所以相關(guān)系數(shù)，因?yàn)?，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（2），所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)年產(chǎn)量為10噸時(shí)的污水排放量為噸21．防疫抗疫，人人有責(zé)，隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢(shì)越來越嚴(yán)峻，防疫物資需求量急增.下表是某口罩廠今年的月份與訂單（單位：萬元）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：月份12345訂單20244352(1)求關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)6月份該廠的訂單數(shù)；(2)求相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），說明與之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系.參考數(shù)據(jù)：，，.，.參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸直線的方程是，其中.【答案】(1)，6月份該廠的訂單數(shù)為59.9萬元；(2)，與之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.【分析】【詳解】（1）解：由題可得：，，，關(guān)于的線性回歸方程為，2022年6月對(duì)應(yīng)的變量為6，將代入，得，估計(jì)6月份該廠的訂單數(shù)為59.9萬元．（2）相關(guān)系數(shù).與之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.22．下表是某公司從2014年至2020年某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值（單位：千元）年份2014201520162017201820192020年份代號(hào)x1234567該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用y59.364.168.874.082.190.099.1以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，若以為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)；若以為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)．（1）判斷與，哪一個(gè)更適合作為該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程，并說明理由；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程（系數(shù)精確到0.1）．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：．【答案】（1）更適合，理由見解析；（2）.【分析】【詳解】（1）更適合作為該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程．因?yàn)樵酱?，說明模型的擬合效果越好．（2）由表格中數(shù)據(jù)有，，則．【題型05：殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用】23．如果散點(diǎn)圖中所有的散點(diǎn)都落在一條斜率不為0的直線上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．解釋變量和響應(yīng)變量線性相關(guān) B．相關(guān)系數(shù)C．決定系數(shù) D．殘差平方和等于1【答案】D【詳解】直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為一次函數(shù)，故解釋變量和響應(yīng)變量是一次函數(shù)關(guān)系，故A正確.因?yàn)闃颖军c(diǎn)都落在直線上，所以樣本相關(guān)系數(shù)，所以，所以B正確。決定系數(shù)和殘差平方和都能反映模型的擬合程度，故決定系數(shù)，殘差平方和為0，故C正確，D錯(cuò)誤故選：D24．已知變量線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)，滿足，用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．若增加一個(gè)數(shù)據(jù)后，得到修正后的回歸直線的斜率為2.1，則數(shù)據(jù)的殘差為（

）A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1【答案】A【詳解】因，則，則，則新增數(shù)據(jù)后，，，因新的回歸直線過點(diǎn)，且修正后的回歸直線的斜率為2.1，則，則修正后的回歸直線為：，則的估計(jì)值為，則數(shù)據(jù)的殘差為.故選：A25．將收集到的6組數(shù)據(jù)對(duì)制作如圖所示的散點(diǎn)圖（點(diǎn)旁數(shù)據(jù)為該點(diǎn)坐標(biāo)），由最小二乘法計(jì)算得回歸直線方程：，相關(guān)系數(shù)為，相關(guān)指數(shù)為；殘差分析確定點(diǎn)對(duì)應(yīng)殘差過大，把它去掉后，再用剩下的5組數(shù)據(jù)計(jì)算得回歸直線方程：，相關(guān)系數(shù)為，相關(guān)指數(shù)為.則以下結(jié)論中，不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】從散點(diǎn)圖可以看出，兩個(gè)變量是正相關(guān)，故A正確；從散點(diǎn)圖可以看出，回歸直線的斜率是正數(shù)，且的斜率大于的斜率，故B和C正確；從散點(diǎn)圖可以看出，去掉“離群點(diǎn)”后，相關(guān)性更強(qiáng)，擬合的效果更好，值越大，模型的擬合效果越好，所以，故D錯(cuò)誤；故選：D.26．（多選）下列說法正確的有（

）A．在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)解釋變量x每增加1時(shí)，響應(yīng)變量y平均減少2.3B．在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，相對(duì)于樣本點(diǎn)的殘差為C．在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好D．若兩個(gè)變量的決定系數(shù)越大，表示殘差平方和越大，即擬合效果越好【答案】BC【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，?dāng)解釋變量x每增加1時(shí)，響應(yīng)變量y平均減少0.85，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以相?duì)于樣本點(diǎn)的殘差為，故B正確；對(duì)于C，在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好，故C正確；對(duì)于D，由決定系數(shù)的意義可知，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，故D錯(cuò)誤.故選：BC27．（多選）［多選］根據(jù)變量和的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型①，得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，對(duì)應(yīng)的殘差如圖1所示.根據(jù)變量和的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型②，得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，對(duì)應(yīng)的殘差如圖2所示，則（

）

A．模型①的誤差滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，不滿足的假設(shè)B．模型①的誤差不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，滿足的假設(shè)C．模型②的誤差滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，不滿足的假設(shè)D．模型②的誤差滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，滿足的假設(shè)【答案】AD【詳解】對(duì)于模型①對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)，可以看出殘差大致繞著0值分布，沒有明顯的趨勢(shì)或系統(tǒng)偏差，因此隨機(jī)誤差滿足的假設(shè)，但是方差隨著的變化而變化，不滿足的假設(shè)；對(duì)于模型②對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)，均勻分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)誤差滿足的假設(shè)，方差不隨的變化而變化，滿足的假設(shè).故選：AD.28．某種產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)（單位：萬元）與銷售量（單位：萬件）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表.廣告支出x/萬元1.22.645.46.8銷售量y/萬件1.467.311.813.5根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，則以下說法中正確的是（

）A．第三個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差B．在該回歸模型對(duì)應(yīng)的殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在傾斜的帶狀區(qū)域中C．銷售量的變化有97%是由廣告支出費(fèi)引起的D．用該回歸方程可以比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)廣告支出費(fèi)為20萬元時(shí)的銷售量【答案】AC【詳解】，，將其代入回歸方程中得，得，故回歸直線方程為，所以，A正確；由于，所以該回歸模型擬合的效果比較好，故對(duì)應(yīng)的殘差圖中殘差點(diǎn)應(yīng)該比較均勻地分布在水平的帶狀區(qū)域中，B錯(cuò)誤；在線性回歸模型中，表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量的貢獻(xiàn)率，，則銷售量的變化有97%是由廣告支出費(fèi)引起的，C正確；由于樣本的取值范圍會(huì)影響回歸方程的使用范圍，而20萬元遠(yuǎn)大于表格中廣告支出費(fèi)的值，故用該回歸方程不能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)廣告支出費(fèi)為20萬元時(shí)的銷售量，故D錯(cuò)誤.故選：AC【題型06：非線性回歸方程】29．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：萬元）對(duì)年銷售量y（單位：噸）和年利潤(rùn)z（單位：萬元）的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.有下列5個(gè)曲線類型：①；②；③；④；⑤，則較適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤【答案】B【詳解】從散點(diǎn)圖知，樣本點(diǎn)分布在拋物線上或?qū)?shù)型曲線上，結(jié)合所給5個(gè)的曲線類型，所以或較適宜.故選：B30．下表為某外來生物物種入侵某河流生態(tài)后的前3個(gè)月繁殖數(shù)量（單位：百只）的數(shù)據(jù)，通過相關(guān)理論進(jìn)行分析，知可用回歸模型對(duì)與的關(guān)系進(jìn)行擬合，則根據(jù)該回歸模型，預(yù)測(cè)第7個(gè)月該物種的繁殖數(shù)量為（

）第個(gè)月123繁殖數(shù)量A．百只 B．百只 C．百只 D．百只【答案】B【詳解】由兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，則，即與呈線性相關(guān)關(guān)系，，，回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心，，解得，，則，當(dāng)時(shí)，．故選：B31．臺(tái)州是全國(guó)三大電動(dòng)車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的設(shè)計(jì)優(yōu)勢(shì)某電動(dòng)車公司為了搶占更多的市場(chǎng)份額，計(jì)劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費(fèi)（單位：百萬元）和年銷售量（單位：百萬輛）關(guān)系如圖所示：令，數(shù)據(jù)經(jīng)過初步處理得：，，，，，，.現(xiàn)有①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費(fèi)x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數(shù).(1)請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好?(2)根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)年廣告費(fèi)為6（百萬元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多少?附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】(1)模型②的擬合程度更好(2)13（百萬輛）【分析】【詳解】（1）設(shè)模型①和②的相關(guān)系數(shù)分別為，由題意可得：，，所以，由相關(guān)系數(shù)的意義可得，模型②的擬合程度更好.（2）因?yàn)椋钟?，，得，所以，即回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)年廣告費(fèi)為6（百萬元）時(shí)，產(chǎn)品的銷售量大概是13（百萬輛）.32．近期國(guó)內(nèi)疫情反復(fù)，對(duì)我們的學(xué)習(xí)生活以及對(duì)各個(gè)行業(yè)影響都比較大，某房地產(chǎn)開發(fā)公司為了回籠資金，提升銷售業(yè)績(jī)，讓公司旗下的某個(gè)樓盤統(tǒng)一推出了為期10天的優(yōu)惠活動(dòng)，負(fù)責(zé)人記錄了推出活動(dòng)以后售樓部到訪客戶的情況，根據(jù)記錄第一天到訪了12人次，第二天到訪了22人次，第三天到訪了42人次，第四天到訪了68人次，第五天到訪了132人次，第六天到訪了202人次，第七天到訪了392人次，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天來訪的人次，繪制了以下散點(diǎn)圖．

(1)請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，以下兩個(gè)函數(shù)模型與（c，d均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及下表中的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程（保留兩位有效數(shù)字），并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天售樓部來訪的人次，參考數(shù)據(jù)：其中，．線性回歸方程：，其中，．1.8458.556.9【答案】(1)選.(2)；690【分析】【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的分布規(guī)律，隨著的增大，的增長(zhǎng)速度越來越快，符合指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)特征，所以（均為大于零的常數(shù)）適宜作為人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類型.（2）因?yàn)楸硎净顒?dòng)推出的天數(shù)，，則..因?yàn)?，所?所以，所以.又，所以.所以.當(dāng)時(shí)，.所以預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天售樓部來訪的人次為690.33．為了適應(yīng)市場(chǎng)需求，同時(shí)兼顧企業(yè)盈利的預(yù)期，某科技公司決定增加一定數(shù)量的研發(fā)人員，經(jīng)過調(diào)研，得到年收益增量（單位：億元）與研發(fā)人員增量（人）的10組數(shù)據(jù)．現(xiàn)用模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到下表數(shù)據(jù)，其中.7.52.2582.504.5012.142.88(1)根據(jù)殘差圖，判斷應(yīng)選擇哪個(gè)模型；（無需說明理由）(2)根據(jù)（1）中所選模型，求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；并用該模型預(yù)測(cè)，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少多少人？（精確到1）【答案】(1)選擇模型②(2)；10人【分析】【詳解】（1）選擇模型②，理由如下：由于模型②殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②帶狀寬度窄，所以模型②的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)就會(huì)越高，所以選模型②比較合適；（2）根據(jù)模型②，令與可用線性回歸來擬合，有，則，所以，則關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，由題意，，解得，又為整數(shù)，所以，所以，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少為10人．34．近年來，我國(guó)眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤(rùn)穩(wěn)步提高．統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤(rùn)（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中2019年至2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，和哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)（2）的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，【答案】(1)適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型(2)(3)估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)為93.3億元【分析】【詳解】（1）由散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，知適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型；（2）由題意得：，，，，所以；（3）令，，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)為99.25億元．【題型07：獨(dú)立性檢驗(yàn)的理解】35．某公司男、女職工人數(shù)相等，該公司為了了解職工是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差，在男、女職工中各隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示男職工和女職工接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差的人數(shù)分別為40和20.下列結(jié)論正確的是（

）附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中.A．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別有關(guān)B．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別有關(guān)C．有的把握認(rèn)為是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別有關(guān)D．是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別無關(guān)【答案】B【詳解】由題意，列出列聯(lián)表：接受不接受合計(jì)男4060100女2080100合計(jì)60140200零假設(shè)為：是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別相互獨(dú)立，即是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別無關(guān)，所以，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.故選：B.36．通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：運(yùn)動(dòng)性別總計(jì)男女愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110下列結(jié)論正確的是（

）A．認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)用與性別有關(guān)”，犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01B．認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)用與性別無關(guān)”，犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01C．認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001D．認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”，犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001【答案】A【詳解】由公式，由可知，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01．故選：A37．某醫(yī)療研究機(jī)構(gòu)為了解打鼾與患心臟病的關(guān)系，運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算，則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān)系的把握約為（

）0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān)系．故選：B．38．某醫(yī)療研究機(jī)構(gòu)為了了解免疫與注射疫苗的關(guān)系，進(jìn)行一次抽樣調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如表.免疫不免疫合計(jì)注射疫苗101020未注射疫苗63440合計(jì)164460則下列說法中正確的是（）（多選）A．B．C．我們有99%以上的把握認(rèn)為免疫與注射疫苗有關(guān)系D．我們有99.9%以上的把握認(rèn)為免疫與注射疫苗有關(guān)系【答案】AC【詳解】A選項(xiàng)，由表中數(shù)據(jù)，得，故A正確；B選項(xiàng)，，，故B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，，所以有99%以上的把握認(rèn)為免疫與注射疫苗有關(guān)系，但沒有99.9%以上的把握認(rèn)為免疫與注射疫苗有關(guān)系，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC39．對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：手術(shù)心臟病合計(jì)又發(fā)作過未發(fā)作過心臟搭橋39157196血管清障29167196合計(jì)68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算，能否根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)作出這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有差別的結(jié)論（填“能”或“不能”）．【答案】1.779不能【詳解】零假設(shè)為：這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響無差別．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們沒有充分的證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)為這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響無差別．故答案為：1.779；不能40．在研究性別與吃零食這兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系時(shí)，下列說法中正確的是（填序號(hào)）．①若，則我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系，那么在100個(gè)吃零食的人中必有99人是女性；②由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系時(shí)，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性為99%；③由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系時(shí)，是指每進(jìn)行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯(cuò)誤．【答案】③【詳解】的觀測(cè)值是支持確定有多大把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量吃零食與性別有關(guān)系”的隨機(jī)變量值，所以由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系時(shí)，是指每進(jìn)行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯(cuò)誤，故填③．故答案為：③【題型08：獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用】41．某農(nóng)業(yè)科研團(tuán)隊(duì)為探究不同的施肥種植方式對(duì)作物產(chǎn)量的影響，在一片試驗(yàn)田里，對(duì)采用有機(jī)肥料種植的作物和化學(xué)肥料種植的作物進(jìn)行研究.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，試驗(yàn)田里采用有機(jī)肥料種植的作物有800株，采用化學(xué)肥料種植的作物有400株.現(xiàn)按分層隨機(jī)抽樣的方法，從兩類施肥種植的作物中一共抽取120株進(jìn)行產(chǎn)量檢測(cè)，以每株作物產(chǎn)量達(dá)到500克作為達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，得到以下部分列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬褐晔┓史N植方式產(chǎn)量達(dá)標(biāo)情況合計(jì)產(chǎn)量達(dá)標(biāo)產(chǎn)量不達(dá)標(biāo)有機(jī)肥料種植60化學(xué)肥料種植20合計(jì)120(1)請(qǐng)完成上述列聯(lián)表；(2)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為不同的施肥種植方式與作物產(chǎn)量達(dá)標(biāo)情況有關(guān)聯(lián)？附：，其中附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)能【分析】【詳解】（1）解:采用有機(jī)肥料種植的作物抽取株數(shù)為（株），因?yàn)槌槿〉挠袡C(jī)肥料種植的作物中產(chǎn)量達(dá)標(biāo)的有60株，所以產(chǎn)量不達(dá)標(biāo)的有20株.采用化學(xué)肥料種植的作物抽取株數(shù)為（株），因?yàn)槌槿〉幕瘜W(xué)肥料種植的作物中產(chǎn)量不達(dá)標(biāo)的有20株，所以產(chǎn)量達(dá)標(biāo)的有20株.完成后的列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬褐晔┓史N植方式產(chǎn)量達(dá)標(biāo)情況合計(jì)產(chǎn)量達(dá)標(biāo)產(chǎn)量不達(dá)標(biāo)有機(jī)肥料種植602080化學(xué)肥料種植202040合計(jì)8040120（2）解：零假設(shè)為：不同的施肥種植方式與作物產(chǎn)量達(dá)標(biāo)情況無關(guān)聯(lián).根據(jù)公式，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為不同的施肥種植方式與作物產(chǎn)量達(dá)標(biāo)情況有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.42．2025年7月15日，搭載天舟九號(hào)貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙十運(yùn)載火箭成功發(fā)射，標(biāo)志著我國(guó)航天事業(yè)又邁上了一個(gè)新臺(tái)階.某中學(xué)為了解學(xué)生對(duì)我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機(jī)地從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：性別關(guān)注情況高度關(guān)注非高度關(guān)注女學(xué)生30男學(xué)生90以頻率估計(jì)概率，若在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生高度關(guān)注我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展的概率為．(1)求的值；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該校學(xué)生對(duì)航天事業(yè)發(fā)展的高度關(guān)注是否與學(xué)生性別有關(guān)．參考公式：，其中．臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)(2)該校學(xué)生高度關(guān)注我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生性別有關(guān)，【分析】【詳解】（1）因?yàn)樵谶@200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生高度關(guān)注我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展的概率為，所以，解得．又，解得，所以（2）由（1）得，列聯(lián)表如下：性別關(guān)注情況合計(jì)高度關(guān)注非高度關(guān)注女學(xué)生7030100男學(xué)生9010100合計(jì)16040200零假設(shè)為；該校學(xué)生高度關(guān)注我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生性別無關(guān)．，因?yàn)橐罁?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生高度關(guān)注我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于．43．為研究中學(xué)生的專注力與閱讀時(shí)長(zhǎng)是否有關(guān)系，調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某城市部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（單位：人）：每日閱讀時(shí)長(zhǎng)≥30分鐘每日閱讀時(shí)長(zhǎng)＜30分鐘專注力達(dá)標(biāo)17080專注力不達(dá)標(biāo)100150(1)記“每日閱讀時(shí)長(zhǎng)≥30分鐘”為事件A，“專注力達(dá)標(biāo)”為事件B，求和；(2)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為中學(xué)生的專注力與閱讀時(shí)長(zhǎng)有關(guān)系？附：．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)，(2)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為中學(xué)生的專注力與閱讀時(shí)長(zhǎng)有關(guān)系【分析】【詳解】（1），，．（2）零假設(shè)：中學(xué)生的專注力與閱讀時(shí)長(zhǎng)沒有關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)可得，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為中學(xué)生的專注力與閱讀時(shí)長(zhǎng)有關(guān)系，所以，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為中學(xué)生的專注力與閱讀時(shí)長(zhǎng)有關(guān)系.44．某市為了研究學(xué)生身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，在某個(gè)區(qū)隨機(jī)調(diào)查了1000名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：課外體育鍛煉時(shí)間組別達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)身體素質(zhì)強(qiáng)86040900身體素質(zhì)弱4060100合計(jì)9001001000(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析課外體育鍛煉時(shí)間與身體素質(zhì)是否有關(guān)；(2)如果用該區(qū)學(xué)生達(dá)標(biāo)成績(jī)的情況來估計(jì)全市學(xué)生的達(dá)標(biāo)情況，現(xiàn)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，求恰有1人課外體育鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)的概率.附0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)有關(guān)(2)【分析】【詳解】（1）課外體育鍛煉時(shí)間與身體素質(zhì)無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為課外體育鍛煉時(shí)間與身體素質(zhì)有關(guān)；（2）由題意在某個(gè)區(qū)隨機(jī)調(diào)查了1000名學(xué)生，有900人達(dá)標(biāo)，達(dá)標(biāo)率為，利用頻率估計(jì)概率可知該區(qū)任抽一名學(xué)生，這名學(xué)生課外體育鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)的概率為.記“恰有1人課外體育鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)”為事件，則，所以恰有1人課外體育鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)的概率.45．某青少年跳水隊(duì)共有100人，在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后，教練組對(duì)他們進(jìn)行了成績(jī)測(cè)試，分別得到如圖1所示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前的成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；并求強(qiáng)化訓(xùn)練后的成績(jī)的60%分位數(shù).(2)規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”.強(qiáng)化訓(xùn)練是否優(yōu)秀合計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀強(qiáng)化訓(xùn)練前強(qiáng)化訓(xùn)練后合計(jì)將上面的表格補(bǔ)充完整，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān)？附：，.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】(1)平均數(shù)為，分位數(shù)為；(2)表格見解析，認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).【分析】【詳解】（1）因?yàn)閺?qiáng)化訓(xùn)練前的各組頻率分別為，，，，，；強(qiáng)化訓(xùn)練前的成績(jī)的平均數(shù)，強(qiáng)化訓(xùn)練后的各組頻率分別為，，，，，又因?yàn)榍叭M頻率之和為，前四組頻率之和為，可知分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)分位數(shù)為，則，解得，所以分位數(shù)約為；（2）零假設(shè)為：跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練無關(guān)，補(bǔ)充完整的表格為優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前4060100強(qiáng)化訓(xùn)練后6040100合計(jì)100100200則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，所以認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).【題型09：獨(dú)立性檢驗(yàn)的最值】46．某校對(duì)“學(xué)生性別和喜歡刷視頻是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：不喜歡刷視頻喜歡刷視頻總計(jì)男生女生總計(jì)若通過計(jì)算，可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為學(xué)生是否喜歡刷視頻與性別有關(guān)聯(lián)，則正整數(shù)的最小值為（

）附：，.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828A．80 B．100 C．120 D．150【答案】B【詳解】完成列聯(lián)表如下：不喜歡刷視頻喜歡刷視頻總計(jì)男生女生總計(jì)則，解得.又為正整數(shù)，且是5的倍數(shù)，可得的最小值為100.故選：B.47．2025年7月22日是二十四節(jié)氣中的第十二個(gè)節(jié)氣——大暑.受今年氣候等多因素的影響，全國(guó)各地高溫天氣持續(xù)不斷.某校以“預(yù)防中暑，防止脫水”為主題舉行活動(dòng).為了解男女同學(xué)對(duì)該活動(dòng)的興趣程度，對(duì)多位該校同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果整理成如下列聯(lián)表.性別興趣程度合計(jì)感興趣不感興趣男生女生合計(jì)(1)當(dāng)m足夠大時(shí)，估計(jì)從該校任選一名對(duì)該活動(dòng)不感興趣的學(xué)生是男生的概率；(2)若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為對(duì)該活動(dòng)是否感興趣與性別有關(guān)，求正整數(shù)m的最小值.附：，其中.0.10.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)(2)10【分析】【詳解】（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知當(dāng)m足夠大時(shí)，以頻率估計(jì)概率可知，從該校任選一名對(duì)該活動(dòng)不感興趣的學(xué)生是男生的概率為.（2）由題意可得，若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為對(duì)該活動(dòng)是否感興趣與性別有關(guān)，則，解得因?yàn)閙為正整數(shù)，所以m的最小值為10.48．為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了若干人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病未患該疾病合計(jì)(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為，求關(guān)系；(2)在（1）的條件下，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析得出超聲波檢查結(jié)果與患該疾病有關(guān).求的最小值.（保留整數(shù)）附，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)(2)【分析】【詳解】（1）因?yàn)槌暡z查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為，所以，解得；（2）將代入列聯(lián)表可得：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病未患該疾病合計(jì)則，因?yàn)楦鶕?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，所以，解得，因?yàn)?，所以n的最小值為45，所以，所以m的最小值為180一、單選題1．有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)數(shù)據(jù)中去掉后，下列說法正確的是（

）A．解釋變量與響應(yīng)變量的線性相關(guān)性變?nèi)?B．方差變大C．決定系數(shù)變小 D．殘差平方和變小【答案】D【詳解】從散點(diǎn)圖可分析出，若去掉點(diǎn)，則剩下的點(diǎn)更能集中在一條直線附近，所以解釋變量與響應(yīng)變量的線性相關(guān)性變強(qiáng)，數(shù)據(jù)的離散程度減小，所以方差變小，決定系數(shù)越接近1，會(huì)變大，因?yàn)閿M合效果越好，所以殘差平方和變小.故選：D2．為了研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響，某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取高二年級(jí)50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測(cè)試成績(jī)，并制成下面的2×2列聯(lián)表：使用手機(jī)情況成績(jī)合計(jì)及格不及格很少20525經(jīng)常101525合計(jì)302050參考公式：，其中.附表：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（

）A．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)無關(guān)”B．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)無關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”【答案】D【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得，，所以有99.5%的把握認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”.所以C錯(cuò)誤，D正確；因?yàn)?，所以依?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”，A錯(cuò)誤；因?yàn)椋砸罁?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)無關(guān)”，B錯(cuò)誤.故選：D3．AI模型正在改變著我們的工作和生活方法，某機(jī)構(gòu)為了了解對(duì)DeepSeek的使用情況與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了人，得到如下列聯(lián)表（單位：人）：性別使用情況合計(jì)經(jīng)常使用不經(jīng)常使用男性女性合計(jì)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為對(duì)DeepSeek的使用情況與性別有關(guān)系，則的最小值為（

）（附：，，）A．48 B．49 C．50 D．51【答案】D【詳解】將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得，解得48.726，又，所以的最小值為51.故選：D.4．為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取100名學(xué)生．通過測(cè)驗(yàn)得到如下的列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝藢W(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀甲401050乙302050合計(jì)7030100附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828下列結(jié)論正確的是（

）A．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率無差異B．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異C．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異D．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異【答案】B【詳解】零假設(shè)為：兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率無差異，A，若，因?yàn)椋视谐浞值淖C據(jù)推斷不成立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異，故A錯(cuò)誤；B，若，因?yàn)?，故有充分的證據(jù)推斷不成立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異，故B正確；C，若，因?yàn)椋蕸]有充分的證據(jù)推斷不成立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率無差異，故C錯(cuò)誤；D，若，因?yàn)?，故沒有充分的證據(jù)推斷不成立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率無差異，故D錯(cuò)誤.故選：B5．已知兩個(gè)變是x和y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，某興趣小組收集了一組樣本數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得的回歸方程是，其相關(guān)系數(shù)是由于某種原因，其中一個(gè)數(shù)據(jù)丟失，將其記為m，具體數(shù)據(jù)如下表所示：x12345ym若去掉數(shù)據(jù)后，剩下的數(shù)據(jù)也成線性相關(guān)關(guān)系，其相關(guān)系數(shù)是，則（

）A． B．C． D．的大小關(guān)系無法確定【答案】A【分析】【詳解】由題可得原數(shù)據(jù)，因過點(diǎn)，則，從而.設(shè)去掉數(shù)據(jù)后，新數(shù)據(jù)為，則，又因，，則，，從而.故選：A6．已知隨機(jī)變量呈現(xiàn)非線性關(guān)系.為了進(jìn)行線性回歸分析，設(shè)，，利用最小二乘法，得到線性回歸方程，則變量的估計(jì)值有（）A．最大值為 B．最小值為 C．最大值為 D．最小值為【答案】C【詳解】已知，把，代入可得：，即．因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即有最大值為．故選：C.二、多選題7．中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).為了建立茶水溫度隨時(shí)間變化的回歸模型，小明每隔1分鐘測(cè)量一次茶水溫度，得到若干組數(shù)據(jù)，，…，（其中，），繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.小明選擇了如下2個(gè)回歸模型來擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情況，回歸模型一：；回歸模型二：，下列說法正確的是（

）.

A．茶水溫度與時(shí)間這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)B．由于水溫開始降得快，后面降得慢，最后趨于平緩，因此模型二能更好的擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情況C．若選擇回歸模型二，利用最小二乘法求得到的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，通過回歸模型二計(jì)算得，用溫度計(jì)測(cè)得實(shí)際茶水溫度為65.2，則殘差為【答案】AB【詳解】由散點(diǎn)圖可知隨時(shí)間增加，溫度逐漸降低，且變化趨勢(shì)趨于平緩，故為負(fù)相關(guān)且模型二擬合更好，即A、B正確；根據(jù)非線性回歸模型的擬合方法，先令，則，此時(shí)擬合為線性回歸方程，對(duì)應(yīng)的回歸直線過點(diǎn)，原曲線不一定經(jīng)過，故C錯(cuò)誤；殘差為真實(shí)