專題02空間向量中的位置關(guān)系、夾角、距離7大題型內(nèi)容導(dǎo)航串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點(diǎn)1：求平面法向量的方法①設(shè)出平面的法向量為)；②找出(或求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)：；③依據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程組④解方程組，取其中的一個解，即得法向量，由于一個平面的法向量有無數(shù)多個，故可在方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點(diǎn)2：點(diǎn)到直線的距離設(shè)為直線l的單位方向向量，是直線外一點(diǎn)，設(shè)，向量在直線l上的投影向量為，則知識點(diǎn)3：點(diǎn)到平面的距離設(shè)已知平面的法向量為，是直線外一點(diǎn)，向量是向量在平面上的投影向量，則知識點(diǎn)4：直線和平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為，則第一步：；第二步：.知識點(diǎn)5：平面與平面所成角（二面角）設(shè)，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小，則第一步：；第二步：若二面角為銳二面角，則；若二面角為鈍二面角，則【題型01空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示】1．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：直線是兩平面與的交線，則下列向量可以為直線的方向向量的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意有：平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)直線的方向向量為，所以，令，得，而ACD中的向量與該向量均不共線，故選：B2．已知，則平面的一個法向量的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)平面的法向量，則，因?yàn)?，所以，令，則，所以平面的一個法向量為．所以平面的一個法向量的坐標(biāo)為，又，故坐標(biāo)為的向量不與共線，故A錯誤；又，故坐標(biāo)為的向量與共線，故B正確；又，故坐標(biāo)為的向量不與共線，故C錯誤；又，故坐標(biāo)為的向量不與共線，故D錯誤.故選：B．3．已知為平面的法向量，點(diǎn)，在直線上，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由可得或，所以推不出，當(dāng)時，由于是平面的法向量，可得，所以可推出，綜上，是的必要不充分條件.故選：B.4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．若點(diǎn)在平面內(nèi)（與，，三點(diǎn)都不重合），則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是．【答案】(答案不唯一)【詳解】因?yàn)?，，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，故可取，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，所以，所以，故點(diǎn)的坐標(biāo)滿足即可，可取，故答案為：(答案不唯一).5．如圖，四棱錐的底面是邊長為4的正方形，為上的點(diǎn)，為的中點(diǎn)，底面，則以下向量可以作平面的法向量的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，，，是中點(diǎn)，則，因此，對于A選項(xiàng)，，不是法向量，A錯；對于B選項(xiàng)，，是法向量，B正確；對于C選項(xiàng)，，不是法向量，C錯；對于D選項(xiàng)，，不是法向量，D錯；故選：B．【題型02空間向量與位置關(guān)系】6．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則x的值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【詳解】由于，可得：，即，解得：.故選：B7．（多選）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則（

）A． B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ABD【分析】【詳解】對于A：因?yàn)镻為的中點(diǎn)，所以P是正方體體對角線的交點(diǎn)，故A，P，三點(diǎn)共線．連接，易知，，且平面，故平面因?yàn)槠矫?，所以，即，故A正確；對于B：由上可知平面即為平面，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，故B正確；對于C：易知平面即為平面，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，所以P也為的中點(diǎn)，所以平面即為平面，且是平面的一個法向量，是平面的一個法向量，而不與垂直，所以平面不與平面垂直，即平面不與平面垂直，故C錯誤；對于D：易知平面即為平面，平面即為平面，且是平面的一個法向量，是平面的一個法向量，而，所以平面平面，故D正確．故選：ABD.

8．如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)的一個動點(diǎn)（包括邊界），平面，則點(diǎn)的軌跡的長度為.【答案】/【詳解】由題知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，記的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉檎叫?，為中點(diǎn)，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，記點(diǎn)的軌跡與交于點(diǎn)，由題知平面，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的相交直線，所以平面平面，所以即為點(diǎn)的軌跡，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，令得，因?yàn)?，所以，解得，則，又所以，所以.故答案為：9．如圖，在棱長為4的正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在上，且，若平面上存在一點(diǎn)使得平面，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】【詳解】如圖建系，因正方體的棱長為4，則，由點(diǎn)在上，且，可得由點(diǎn)在上，且，可得，則.又點(diǎn)是平面上一點(diǎn)，故可設(shè)，則，因平面，而平面，故，即得，解得.故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.10．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為上一點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)求證：平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以如圖，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因?yàn)?，平面，所以平面；?）證明：由可得，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，，則是平面的一個法向量，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，所以平面?1．如圖，在三棱柱中，是正三角形，側(cè)面是邊長為2的菱形，是中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若平面，判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)證明見解析(2)直線與平面相交，證明見解析【分析】【詳解】（1）在三棱柱中，連接，設(shè)，連接，則是的中點(diǎn)，由為的中點(diǎn)，得，又平面，平面，所以平面.（2）直線與平面相交．在三棱柱中，取的中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，得，由為正三角形，且為的中點(diǎn)，得．由平面，得平面，于是直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，而，且，則，由，得與不垂直，即向量不平行于平面，因此平面，且與平面不平行，所以直線與平面相交.【題型03求線線角、線面角、面面角】12．如圖，在棱長均為2的正三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，，則平面與平面所成角的正切值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，由正三棱柱的性質(zhì)，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，，，，，可得，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，平面的法向量，設(shè)平面與平面所成角為，則，可得，所以.故選：C．13．（多選）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，，為中點(diǎn)，，記平面為，則（

）A．當(dāng)時，直線與所成角的正弦值為B．當(dāng)時，直線與所成角的正弦值為C．當(dāng)時，平面與所成角的余弦值為D．當(dāng)時，平面與所成角的余弦值為【答案】AC【詳解】不妨設(shè)，直線與所成角為，平面與的夾角為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，當(dāng)時，由得，故，，設(shè)的法向量，則，即，令，則，，，故AC正確；當(dāng)時，,則，故，，設(shè)的法向量，則，即，令，則，,，故BD錯誤，故選：AC.14．如圖，在直四棱柱中，四邊形是菱形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)；(2)．【分析】【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，因?yàn)槭橇庑危裕謩e以為軸，過與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，則，所以,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),則，，，所以異面直線與所成角的余弦值為；（2）由（1）知，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，，，所以直線與平面所成角的正弦值為．15．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，．(1)求；(2)求異面直線與夾角的余弦值；(3)求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)6(2)(3)【分析】【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸，與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，，則，，所以.（2）由（1）可知：，，則，所以異面直線與夾角的余弦值為.（3）由（1）可知：，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，可得，所以直線與平面所成角的大小為.16．如圖，是一個四棱錐，已知四邊形是梯形，平面，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，.

(1)證明：直線平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析.(2)(3)【分析】【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則；為平面的一個法向量，，因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€平面，所以直線平面.（2）設(shè)為平面的法向量，;所以，令，則，則.所以.所以直線與平面所成角的余弦值為.（3）設(shè)為平面的法向量，因?yàn)椋?所以,;，令，則，則；為平面的法向量；則；所以平面與平面的夾角的余弦值為.

17．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，M為中點(diǎn)，過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)E.

(1)證明：平面；(2)若，，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】【詳解】（1）平面平面，平面平面，，平面，平面又平面，，又，，平面，平面.（2）由題意可得兩兩互相垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.

設(shè)，則．，，，解得，則.設(shè)平面ACE的法向量為，由，令，可得，則平面的一個法向量為，由（1）得為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成角為，則則，因此，平面與平面所成角的余弦值為.18．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，.(1)證明：平面平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，，因?yàn)椋?，平面，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）可知，是直角三角形，所以，在中，，所以是直角三角形，即，因?yàn)?，平面，所以平面，即兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，所以平面的一個法向量為，平面的一個法向量可以為，設(shè)平面與平面夾角，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【題型04已知線面角、面面角求其他】19．如圖，在直四棱柱中，分別是側(cè)棱上的動點(diǎn)，且平面AEF與平面ABC所成的（銳）二面角為30°，則BE最大值為（）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，，所以，顯然為面的一個法向量，因?yàn)槠矫鍭EF與平面ABC所成的（銳）二面角為30°，所以所以所以，所以當(dāng)時，取得最大值故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20．正四棱柱中，，與平面所成角的正弦值為，則．【答案】【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槔庵鶠檎睦庵?，設(shè)，則，其中平面的一個法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，得：，即故答案為：21．如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，是上的點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，則的長為.【答案】2【詳解】由題意知在四棱錐中，平面，底面是矩形，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，即，所以，即，解得或（舍去），所以，故的長為2.故答案為：222．如圖，已知圓臺，AB，CD，EF均為母線，四邊形為圓臺的軸截面，且，．(1)證明：；(2)求異面直線EF與BC所成角；(3)已知二面角的余弦值為，求圓臺的高的長．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)1.【分析】【詳解】（1）在圓臺中，由為該圓臺的母線，得的延長線交于一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，而平面平面，平面平面，平面平面，所以.（2）連接，由直線為圓臺的軸，得的延長線交于一點(diǎn)，由（1）同理得，由，得，則，而，因此，直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，即，所以異面直線EF與BC所成角為.（3）由（2）得，設(shè)平面與平面的法向量分別為，則，取，得，，取，得，由二面角的余弦值為，得，所以，所以圓臺的高的長為1.23．如圖，在三棱錐中，，，是線段上的點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若為中點(diǎn)，求三棱錐的體積；(3)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋?，則，

所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，則，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，由（1）知，平面，所以平面，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)且，所以，所以.（3）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，所以，，因?yàn)闉槔馍系狞c(diǎn)，設(shè)，其中，所以，，且，設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，可得，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，則，化簡可得：，解得：或（舍去）.所以.24．如圖，在直三棱柱中，，，M為側(cè)面的對角線的交點(diǎn)，D，E分別為棱，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)2或4．【分析】【詳解】（1）證明：因?yàn)镸為側(cè)面的對角線的交點(diǎn)，直棱柱中，四邊形是矩形，所以M是的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，因?yàn)镈，E分別為棱，的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以平面，平面，因?yàn)?，，平面，所以平面平面．?）解：由，得，所以，又因?yàn)橹崩庵校矫?，所以可以為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，由解得，或，所以的長為2或4．25．四棱錐中，底面是矩形，，，．(1)證明：；(2)設(shè)，若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】【詳解】（1）由題易知，，又，，平面，所以平面．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，過點(diǎn)作平面建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，，，則，，，，則，，則，所以．（2）由（1）易知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，且，平面，所以平面，即是平面的一個法向量，．設(shè)直線與平面所成的角為，又，則，解得，又，所以，則，此時，所以.【題型05空間中的距離問題】26．已知平面的一個法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：A.27．如圖，在四棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】由取的中點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)椋钥扇鐖D建立空間直角坐標(biāo)系：

由，則，可得：，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，故選：A.28．正方體的棱長為1，若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的長度最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的長度最小值即異面直線和的距離，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為直線和的法向量，又因?yàn)椋?，則，令，則，所以異面直線和的距離為，即的長度最小值為.故選：C.29．已知點(diǎn)，，，，則過點(diǎn)P平行于平面ABC的平面與平面ABC的距離為．【答案】【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，，，，所以，設(shè)平面ABC的一個法向量為，則，即，令，得，則，所以過點(diǎn)P平行于平面ABC的平面與平面ABC的距離為，故答案為：30．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，則點(diǎn)D到直線的距離為.

【答案】【詳解】由題意得，以B為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，,，，，，設(shè)點(diǎn)D到直線的距離為，則，故答案為：.31．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，E為棱的中點(diǎn).

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)【分析】【詳解】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

可得，，，，由為棱的中點(diǎn)，得，，，.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，則，，得為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）向量，設(shè)平面的法向量，，即，令，則，，得為平面的一個法向量，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.32．如圖，在長方體中，．(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】【詳解】（1）已知是長方體，且，四邊形是平行四邊形，則，且，四邊形是平行四邊形，則，又平面，又平面，，平面，平面，，故平面平面.（2）已知是長方體，以為原點(diǎn)，為軸建立空間坐標(biāo)系，由可得：，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，計算得：，，故平面的法向量為，點(diǎn)到平面的距離.【題型06翻折問題】33．如圖1，正方形中，，，是的中點(diǎn).將沿折疊到的位置，使得平面平面（如圖2），則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接，如圖，由題意可知，，又平面平面，是交線，平面，所以平面，又平面，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，由，，知為的中點(diǎn)，則，,,，設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，故選：C34．（多選）已知中，，，，為邊上（除端點(diǎn)外）一點(diǎn)，將沿邊翻折起至，使得平面平面.下列說法正確的是（

）A．為角平分線時，四面體的外接球半徑為B．為角平分線時，異面直線與所成角的余弦值為C．為角平分線時，平面與所成角的正切值為D．線段長度的最小值為，此時為角平分線【答案】ABD【詳解】對于A，在中，由，可得，所以為直角三角形，折疊后得且，所以是直角三角形，其外接圓的直徑為，圓心為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榻瞧椒志€，可得，在中，由，且，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理，可得，可得，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以四面體外接球的半徑等于外接圓的半徑為，所以A正確；對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，所以，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，所以B正確；對于C，由向量，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，則，所以C錯誤；對于D，設(shè)，其中，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫傻?，在中，由余弦定理得，?dāng)，即，即時，取得最小值，此時，此時為的平分線，所以D正確.故選：ABD.35．（安徽省六校聯(lián)考2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期1月素質(zhì)檢測數(shù)學(xué)試題）如圖1，在梯形中，，為的中點(diǎn)，，，，將沿折疊，得到圖2所示的四棱錐，且使得二面角的大小為，點(diǎn)為棱上一點(diǎn).

(1)若為的中點(diǎn)，證明:平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】【詳解】（1）證明:為的中點(diǎn)，，所以，將沿折疊后，得到四棱錐，所以，又為的中點(diǎn)，所以，①又，即，，且，，平面，所以平面，又平面，所以，②又平面，③所以平面.（2）因?yàn)?，所以二面角的平面角為，由已知，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意，所以，設(shè)平面的一個法向量為，由，令，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為棱上一點(diǎn).，故平面即為平面因?yàn)椋O(shè)平面的一個法向量為，由，令，則，所以，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，所以，所以平面與平面所成角的余弦值的大小為36．如圖（1）點(diǎn)，分別為矩形邊，的中點(diǎn)，.，.將，分別沿，折疊得幾何體，如圖（2），平面與平面所成的二面角為.平面與平面的二面角為.(1)當(dāng)時，證明：點(diǎn)，，，共面；(2)當(dāng)時，求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】【詳解】（1）由題易知四邊形為正方形，，，，，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，過點(diǎn)，作平面，，同理過點(diǎn)，作平面，，，連接.，，，，，四邊形為平行四邊形，.連接，，，，，又，，點(diǎn)，，，共面.（2）由（1）知當(dāng)時，，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，.即平面的一個法向量為.平面，平面的一個法向量為，，當(dāng)時，平面與平面所成二面角的余弦值為.37．已知五邊形是由等邊三角形與矩形拼接而成，如圖1所示，其中；現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面平面，得到的圖形如圖2所示，其中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在線段上，且平面.

(1)求證：為線段的中點(diǎn)；(2)已知點(diǎn)在線段上（包含端點(diǎn)位置），求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】【詳解】（1）由題意得，令，則，連接，作，則由矩形性質(zhì)得，因?yàn)槠矫嫫矫?，面，所以面，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈冗吶切?，所以由勾股定理得，，則，得到，，，設(shè)面的法向量為，，則，令，解得，則面的法向量為，由題意得在線段上，則，可得，而，則，解得，則，得到，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，此時，故為線段的中點(diǎn).（2）由題意得在線段上，則，由已知得，則，設(shè)，則，可得，解得，可得，由已知得，則，而，，設(shè)面的法向量為，則，令，解得，則面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，，則，則，令，可將化為，令，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，則最小值為，此時取得最大值，，結(jié)合題意可得，當(dāng)取得最大值時，也取得最大值，則最大值為.38．如圖，在等腰梯形中，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿翻折，得到四棱錐，使得為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)橹?，為所在邊的中點(diǎn)，所以在梯形中，，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.（2）由題意，在等腰梯形中，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，即，又，因此，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在中，，由勾股定理易得，則.又為棱的中點(diǎn)，所以，則，因?yàn)?，即平面，所以平面，所以平面的一個法向量設(shè)平面的一個法向量，，令，則，所以平面的一個法向量.記二面角的平面角為，則，所以，所以二面角的正弦值為.39．如圖，在梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，將沿翻折至，使得.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，，，，為等腰直角三角形，，，則為中點(diǎn)，，，在Rt中，，，在中，，在中，，，，，，又，，平面，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）可知平面，又，平面，，，，，兩兩垂直，易知，，，方法1：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則取，得，，則，易知平面的法向量為設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為方法2：如圖，分別延長，交于點(diǎn)，則，，過作垂直于，連接，，，，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，平面與平面的夾角即為，易知，，故，.【題型07存在性問題】40．如圖，等邊三角形ABC的邊長為，，分別為所在邊的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使得二面角為直二面角．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)棱上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為．若存在，請指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)位于線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【分析】【詳解】（1）由已知，連接，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面，又面，所以平面；取邊的中點(diǎn)記為，則；以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，記平面的法向量為，所以，不妨取，得，所以為平面的一個法向量；記直線與平面的所成角為，則，所以，直線與平面所成角的正弦值為（2）設(shè)，其中，，，，，，記平面的一個法向量為，則有，不妨取，解得，即；

則點(diǎn)到平面的距離，整理得：即，解得或（舍去），所以，當(dāng)點(diǎn)位于線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時，點(diǎn)到平面的距離為．41．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)(3)存在；【分析】【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)樵谥比庵?，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn).所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面所以平面（2）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，且，過作平面，以為原點(diǎn)，分別為軸的正方向，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為（3）設(shè)，則，，由在平面內(nèi)可知，即，解得，所以存在點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)在平面內(nèi).42．如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形.側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的投影為的中點(diǎn)，且.(1)求直線與底面所成角大??；(2)求點(diǎn)到側(cè)面的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與側(cè)面所成角的正弦值為若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的投影為的中點(diǎn)，所以面，所以直線與底面所成角就是，因?yàn)閭?cè)面為菱形，的中點(diǎn)是，所以，所以，則.（2）如圖所示，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)在底面上的投影為的中點(diǎn)，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，所以，因?yàn)閭?cè)面為菱形，，所以.可得，所以，設(shè)平面的法向量，則，即，令，解得，即平面的一個法向量，則點(diǎn)到側(cè)面的距離為.（3）設(shè)，由（2）可知，則，由（2）可知平面的一個法向量，設(shè)直線與側(cè)面所成角為，則，可得，解得，因?yàn)椋裕?，所?43．如圖，在多面體中，平面平面四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】【詳解】（1）證明：在中，因?yàn)樗运运杂制矫嫫矫嫫矫嫫矫嫫矫嫠云矫嬗制矫嫠?（2）由（1）知平面平面，所以又所以兩兩垂直.以所在的直線分別為軸軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以?設(shè)平面的一個法向量因?yàn)樗约戳顒t所以所以點(diǎn)到平面的距離.（3）假設(shè)線段上是否存在一點(diǎn)使得平面與平面的夾角的余弦值為.設(shè)由（2）知,則所以設(shè)平面的一個法向量因?yàn)樗约戳顒t所以由（2）知平面的一個法向量為：設(shè)平面與平面的夾角為則解得或（舍）.所以存在點(diǎn)使得滿足要求，此時即.44．如圖1，點(diǎn)分別是邊長為4的正方形三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，使得平面平面，（如圖2），連接是四邊形對角線的交點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，P點(diǎn)在A點(diǎn)處時平面與平面的夾角為.【分析】【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接∵四邊形為矩形，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，∴且，又∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，即，∵平面，∴平面.（2）∵，且平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，解得，即，設(shè)直線與平面所成角為，則（3）由（2）可知平面的一個法向量為，設(shè)存在，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，解得，即，則，∴，即，所以存在符合題意的點(diǎn)P，當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)處時平面與平面的夾角為.45．如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的射影為AC的中點(diǎn)D．利用空間向量法求解下列問題．

(1)求證：．(2)求直線與底面ABC所成角大?。?3)求點(diǎn)C到側(cè)面的距離．(4)在線段上是否存在點(diǎn)E，使得直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)(4)存在，.【分析】【詳解】（1）證明：點(diǎn)在底面上的射影為的中點(diǎn)，平面．平面，．又底面是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

是以為斜邊的等腰直角三角形，．在中，有．，，，；（2）由（1）可知，為平面的一個法向量，即．又，設(shè)與平面所成角為，則．直線與底面所成角為；（3）由（1）可知，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，則，則點(diǎn)到側(cè)面的距離；（4）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，則存在，使得，則．由（3）知，平面的一個法向量為．直線與側(cè)面所成角的正弦值為，，即，解得，又，故，因此存在滿足條件的點(diǎn)，且，即．一、單選題1．在正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，故選：D.2．若平面的法向量為，平面的法向量為，直線的方向向量為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【詳解】對于A，若，則，即，故A正確；對于B，若，得，則，解得，故B錯誤；對于C，若，得，所以，所以，則或，故C錯誤；對于D，若，得，則，解得，，故D錯誤.故選：A3．在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故直線到平面的距離為.故選：D4．在正四棱錐中，，，，分別是棱AB，PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線EF的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，連接AC，BD，DE，記，連接OP.由正四棱錐的性質(zhì)可知OB，OC，OP兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，所以，，，所以，，則點(diǎn)到直線EF的距離是.故選：B5．如圖，在長方體中，，，那么直線與平面ACD1所成的角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以為原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，.故選：B.二、多選題6．如圖，在正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．平面C．與所成的角為 D．平面平面【答案】BCD【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)該正方體的棱長為，.A：設(shè)平面的法向量為，，所以有，可以取，因?yàn)?，所以不互相垂直，因此平面不成立，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；B：設(shè)平面的法向量為，，所以有，可以取，因?yàn)椋?，所以平面，故本選項(xiàng)結(jié)論正確；C：因?yàn)椋?，因此與所成的角為，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確；D：設(shè)平面的法向量為，，所以有，可以取，設(shè)平面的法向量為，，所以有，可以取，因?yàn)?，所以，因此平面平面，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確，故選：BCD7．如圖所示，在棱長為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與平面所成角的正弦值為B．點(diǎn)到平面的距離為2C．直線與所成角的正切值是2D．平面截正方體所得的截面面積為【答案】ABD【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)D點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸.，，，，，對于A，平面的法向量為,直線的方向向量為,設(shè)直線與平面所成角，則,故A正確.對于B，,設(shè)面的法向量為,，,令得,距離，故B正確.對于C，，，設(shè)直線與所成角為，則所以，，故C不正確；對于D，因?yàn)?連,，所以平面截正方體所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰，所以面積,故D正確.故選：ABD.三、填空題8．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn)．（1）若直線l經(jīng)過點(diǎn)，且以為方向向量，P是直線l上的任意一點(diǎn)，求證：；（2）若平面經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量，P是平面內(nèi)的任意點(diǎn)，求證：．利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線l是平面與的交線，則直線l與平面所成角的正弦值為．【答案】【詳解】平面的方程為，平面的一個法向量，同理，可得平面的一個法向量，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，則，取，則設(shè)直線l與平面所成角為，則.故答案為：9．如圖所示，在四棱錐中，平面；底面是矩形，且，，、分別是、的中點(diǎn).若記直線與平面的交點(diǎn)為，則點(diǎn)到平面的距離為.

【答案】【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則；設(shè)平面的法向量為，根據(jù)法向量的性質(zhì)得：，令，則，所以，設(shè)，則，所以，因?yàn)樵谄矫嫔希?，，則，解得，所以；因?yàn)槠矫鏋槠矫?，點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)的坐標(biāo)，即；故答案為：.四、解答題10．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是正方形，平面，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)N在線段AC上，滿足平面.(1)若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，求線段AN的長度；(2)若點(diǎn)N是線段AC上靠近A的三等分點(diǎn)，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】【詳解】（1）在三棱