試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2026年馬鞍山市高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間上的極值點有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．若，則（

）A．-56 B．-28 C．28 D．565．位于某海域處的甲船獲悉，在其正東方向相距的處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船北偏西，且與甲船相距的處的乙船.那么的正弦值為（

）A． B． C． D．6．已知圓的圓心在拋物線上，且圓與直線相切，當(dāng)圓的面積最小時，圓心的縱坐標(biāo)為（

）A． B．2 C． D．47．兩個粒子從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為，設(shè)此時粒子相對粒子的位移為，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．8．已知數(shù)列滿足：，則（

）A． B．C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知，條件，則成立的充分不必要條件有（

）A． B．C． D．且10．已知雙曲線的漸近線方程為，虛軸長為4，則（

）A．的焦距為B．的方程為C．的焦點到漸近線的距離為2D．與直線僅一個公共點11．已知函數(shù)列，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的最小值為D．的最大值為1三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)，且，則的值為.13．已知一個球的體積和表面積的數(shù)值相等，若該球的內(nèi)接圓柱的高與其底面直徑相等，則此圓柱的側(cè)面積為.14．已知事件滿足，則.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．為響應(yīng)“全民健身”號召，某社區(qū)統(tǒng)計了5名居民每周參與體育鍛煉的時長（單位：小時）與身體活力指數(shù)的對應(yīng)數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表所示：特征量居民居民居民居民居民24681045687(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度；(2)求身體活力指數(shù)關(guān)于每周鍛煉時長的一元線性回歸方程，并利用該方程計算居民的身體活力指數(shù)殘差.參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸系數(shù).16．如圖，四棱錐中，，.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，為公比和，已知數(shù)列是以5為公比和的等比和數(shù)列，且，記．(1)求證：數(shù)列是周期數(shù)列，并指出其周期；(2)求的值．18．已知，動點滿足直線的斜率與直線的斜率的商是，記點的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知橢圓以分別為左，右焦點，離心率為.直線與軸平行，與交于點，與交于兩點.直線與軸交于點.（i）求面積的最大值；（ii）求證：為定值，并求出該定值.19．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值；(2)若在上有且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)為在內(nèi)的極小值點，求證：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡后得解.【詳解】因為，所以的虛部為，故選：A2．D【分析】根據(jù)全集，化簡集合，再由補集運算得解.【詳解】，由解得或，因為，所以，所以.故選：D3．B【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定的變號零點個數(shù)即可.【詳解】函數(shù)的圖象與軸有3個公共點，從左到右依次記為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，所以極值點個數(shù)為2.故選：B4．C【分析】根據(jù)給定條件，利用換元法及二項式定理求出指定項的系數(shù).【詳解】令，則原等式化為，所以.故選：C5．A【分析】根據(jù)給定信息作出圖形，利用余弦定理、正弦定理列式求解.【詳解】如圖，在中，，由余弦定理，得，由正弦定理得.故選：A6．D【分析】設(shè)，根據(jù)直線與圓相切求出半徑，利用二次函數(shù)求最小值即可得解.【詳解】由圓C的圓心在拋物線上，可設(shè)，又圓C與直線相切，則圓C的半徑，當(dāng)時取等號，即當(dāng)時圓C的半徑最小，故圓的面積最小，此時圓心的縱坐標(biāo)為.故選：D7．B【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合向量的數(shù)量積的公式和投影向量的公式計算，即可求解.【詳解】由向量，可得粒子相對粒子的位移為，可得且，所以在上的投影向量為.故選：B.8．D【分析】利用歸納遞推法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，利用不等式性質(zhì)判斷AC；構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性判斷CD.【詳解】數(shù)列中，，函數(shù)是增函數(shù)，且當(dāng)時，，則，…，，因此，AC錯誤；，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，而，則，因此，所以，B錯誤，D正確.故選：D9．ABD【分析】利用充分不必要條件的定義逐項分析判斷.【詳解】對于A，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要條件，A是；對于B，，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要條件，B是；對于C，當(dāng)時，成立，而不等式不成立，因此不是的充分條件，C不是；對于D，由且，得且，則，而也能使成立，因此且，是成立的充分不必要條件，D是.故選：ABD10．CD【分析】根據(jù)題意不確定雙曲線焦點位置，可判斷AB錯誤；根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，可判斷CD.【詳解】依題意，，即，若雙曲線焦點在軸上，則由，解得，所以，所以焦距為，若焦點在軸上，則，解得，所以，所以焦距為，故A錯誤；由A選項分析可知，雙曲線的焦點位置不確定，方程有兩個，故B錯誤；若雙曲線焦點在軸上，由雙曲線的對稱性，不妨取焦點，漸近線，則焦點到漸近線的距離，同理雙曲線焦點在軸上，可得，故C正確；因為與雙曲線的一條漸近線平行，故與直線僅一個公共點，所以D正確，故選：CD11．ACD【分析】利用輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)判斷A；利用軸對稱的定義判斷B；確定函數(shù)的周期，利用導(dǎo)數(shù)求出周期長的區(qū)間上的最值判斷CD.【詳解】對于A，，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，A正確；對于B，，，，的圖象關(guān)于直線不對稱，B錯誤；對于CD，，，，因此函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，由的周期性得在R上的最大值為1，最小值為，因此，，CD正確.故選：ACD12．##【分析】根據(jù)給定的函數(shù)式及函數(shù)值求出，再判斷代入求出目標(biāo)值.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由，得，則，解得，所以.故答案為：13．【分析】由球的體積與表面積相等求出球的半徑，再由題意求出球的內(nèi)接圓柱的底面圓半徑與高，即可得解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的體積為：，球的表面積為：，因為球的體積與其表面積的數(shù)值相等，所以，解得，設(shè)圓柱底面半徑為，作球的內(nèi)接圓柱的軸截面圖，如圖，由題意可知，解得，所以圓柱的側(cè)面積為.故答案為：14．【分析】根據(jù)給定條件，利用對立事件的概率公式、全概率公式及條件概率公式列式求解.【詳解】由，得，，由全概率公式，得，則，即，解得，，因此，所以.故答案為：15．(1)，與成正相關(guān)，有較強的相關(guān)性；(2)，1.1.【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)表求出相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而推斷相關(guān)程度.（2）利用最小二乘法求出線性回歸方程，進(jìn)而求出指定的殘差.【詳解】（1）由給定數(shù)表得，，，，所以樣本相關(guān)系數(shù)，與成正相關(guān)，有較強的相關(guān)性.（2）由（1）得，所以身體活力指數(shù)關(guān)于每周鍛煉時長的一元線性回歸方程為，當(dāng)時，，所以居民的身體活力指數(shù)殘差為.16．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用等腰梯形的性質(zhì)及余弦定理分別求出，再利用勾股定理的逆定理及線面垂直的判定、面面垂直的判定推理得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.【詳解】（1）因為在四棱錐中，，所以四邊形為等腰梯形，，則，所以，則由余弦定理得，在中，，于是，因此，又，即，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）在平面內(nèi)過作，由（1）得直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，則，令，得，，令，得，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．(1)證明見解析，周期為2(2)6【分析】（1）根據(jù)題干所給條件可得，再據(jù)此推出的關(guān)系即可；（2）根據(jù)，可直接求解．【詳解】（1）由及可得，由此可得遞推關(guān)系，所以，可得，即數(shù)列是周期數(shù)列，周期為2．（2），，由（1）知，周期為2，所以，所以．18．(1)(2)（i）（ii）證明見解析，定值為.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，寫出兩直線斜率，根據(jù)斜率之比化簡即可得解；（2）（i）先求出橢圓方程，設(shè)，根據(jù)點在橢圓上得到，利用基本不等式求出面積的最值即可；（ii）設(shè)，，利用三點共線可得，再由兩點間距離公式求出，即可得證.【詳解】（1）由題知，，設(shè)，則，由題意知，均不為0，即，再由，得，即所以的方程為.（2）（i）因為橢圓的離心率為，故，所以橢圓的方程為，如圖，設(shè)，其中，，因為在上，所以，由基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，而面積，所以面積的最大值為.（ii）設(shè)，，則三點共線，所以，即，解得，則，所以，為定值.19．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值即可；（2）先分析的單調(diào)性，再分類討論分析的零點，據(jù)此分析的單調(diào)性得出是否存在唯一極值即可；（3）原不等式可轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，，時，，故，單調(diào)遞增，故.（2）由題，，令，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減.①當(dāng)時，，