1、2010年國家集訓隊國家隊選拔試題 力學12月25日（圣誕快樂） 14:00-17:10一、兩個質量均為的實心小球，半徑分別為、，分別置于一個直角三角形形狀的斜面兩側，斜面質量，一角為，放在光滑水平桌面上。斜面與兩小球摩擦系數(shù)均為，求使兩小球作純滾時的最小值。（20）二、一勻質正方體箱，質量，邊長，僅圖示兩腳與地面接觸，桌上正中央有一勻質圓盤，質量為，與桌面之間摩擦系數(shù)足夠大，圖示地面比較奇特，在之前部分光滑，在之后部分，與桌腳間摩擦系數(shù)，開始時，箱與盤一同以駛入粗糙區(qū)域。1、在圓盤尚未離開桌面前，要使箱不翻倒，求值滿足的條件2、若箱不翻倒，試求在桌后腳尚未進入粗糙區(qū)域，且圓盤尚未離開桌面時，

2、箱子位移及盤相對箱位移隨時間變化的關系以進入粗糙區(qū)域時為時間零點。（20）三、無限長截流直導線，通以電流，現(xiàn)一矩形線框，長，寬，框與導線處于同一豎直面內，長與線平行，將線框在靠近導線處靜止釋放，已知線框電阻，質量，重力加速度。1、寫出線框的動力學方程；2、若線框在運動過程中其加速度有極小值，求此時線框速度和位置的關系。（15）四、三個質點，質量分別為m、M、m，被限制在豎直面內半徑為的軌道上，軌道光滑，兩個與均有原長為0，勁度系數(shù)的彈簧相連（沿圓弧）從左至右，依次將質點偏離平衡位置的角度,作為廣義坐標，假設三質點可以相互穿過1、寫出體系的動能和勢能；2、寫出體系的Lagrange量;3、寫出體

3、系的Lagrange方程；4、寫出體系作小振動時本征頻率所滿足的方程；5、通過直接觀察，寫出某一頻率；6、利用4和5的結論，求出所有本征頻率。（20）五、一長為的勻質桿，被限制在豎直面內，軸光滑，時，解除限制，桿自由地開始運動。1、求桿尚未脫離軸時，桿角速度；2、求桿開始脫離軸時，值；3、求桿脫離軸后，質心速度的水平、豎直分量。4、求出桿脫離墻面前，瞬心的軌跡。5、對于地面固定點，質點，質量，位置，動量，所受外力，則對有角動量定理：（1）若D并非固定點，則式（1）不一定成立，問質心速度與速度滿足什么關系時，（1）式仍然成立？b、對于4中點，（1）式成立嗎？說明理由。對于D即為瞬心的情況，（1）

4、是否成立，說明理由。2、在空間有封閉的電荷分布和電流分布，定義體系的電偶極矩，計算，為電流密度，可利用電荷守恒定律，有：，將結論化為最簡形式。3、已知電流元對的作用力為：，對的作用力為：（1）兩電流元之間的作用力與反作用力是否大小相等，是否方向相反，是否滿足牛頓第三定律？（2）兩載流線圈分別載有電流,，寫出它們之間的作用力與反作用力，用積分表示，不必算出。（3）通過計算說明（2）中是否滿足牛三？4、（1）寫出電偶極子產(chǎn)生的電勢表達式。（2）現(xiàn)有一電介質，體積，包圍面記為，極化強度，求體積外的電勢分布。（積分式，不必計算）。 （3）利用矢量公式將上式化為一體積分與面積分之和，其中面積分正比于。為

5、場點到源點的距離。 （4）根據(jù)（3）中結果寫出極化電荷面密度和體密度與的關系。四、相對論中的點動力學。1、什么是“橫向多普勒效應”，試用四維波矢推導橫向多普勒效應的數(shù)學表達式。2、靜質量為的靜止粒子衰變?yōu)殪o質量為，的三個粒子，問它們速度滿足什么關系時，的能量最大（包括靜能），并求出此最大能量。3、高速運動的質子撞靜止的靶質子，產(chǎn)生正反質子時，即，求此反應發(fā)生所需閾能，已知質子靜質量。五、無限長柱狀導體圓弧片，在處絕緣地相交，如圖所示，兩圓弧片與軸分別交于與處，已知處電場強度大小為，求內部電勢分布。（A、B間）2010年國家集訓隊國家隊選拔試題近代物理與暫態(tài)過程2009年12月23日8:50-1

6、1:50一、如圖所示的電路，時，電容不帶電1、時閉合，求時刻、支路上電流，。2、某時刻，、同時達到其最大值，斷開，記，求電容左極板上電量隨的關系，要求結果不含二、一維無限深勢阱，1、求概率定態(tài)波函數(shù)，以及對應的能量本征值2、已知粒子波函數(shù)2.1 求A2.2 求平均能量三、一維諧振子：1、已知一維諧振子定態(tài)波函數(shù)：，1.1 求A1.2 求對應的能量本征值。2、已知一粒子波函數(shù)：，是本征解和的線性組合，其中，出現(xiàn)概率為。2.1、求；2.2、求對應的平均能量。四、兩參考系、，以沿相對運動，在原點與原點重合時，記1、一幾何點，沿中軸以勻速運動，沿軸勻加速運動，用運動學方法求時曲率半徑。2、中，一靜質量

7、質點，初態(tài)靜止，時在，開始，它沿以恒定加速度運動。2.1、求當質點在中動能等于靜能時，質點坐標以及受力2.2、求此時在系中，質點所受切向力分量，（不允許用相對論力變換）五、一個圓筒內，半徑，靜長，相對系中以沿軸運動，其軸線與軸重合，端封底，中心有一點光源，未被點亮，在原點與開口的端中心重合時，記，為圓筒系中時間。1、筒系中時，P點亮，設系中點亮時為，在面上有一屏，屏第一次被照亮時間記為，記、2、已知，求屏上光斑半徑隨時間變化的關系，要求答案不含、。3、，求2中解，只用，表示。2009-2010年物理國家隊選拔題熱學：-2009.12.308:30-12:00一、光子氣的熱力學，已知斯特潘常數(shù)。

8、（1）推導光子氣的準靜態(tài)過程中，、滿足的關系，光子氣在大熱源，間以卡諾循環(huán)工作，求熱機效率（不可直接用熱力學第二定律）（2）體積為的光子氣，在極短的時間內經(jīng)絕熱自由膨脹變成的瞬間非平衡態(tài)，等體絕熱的條件下經(jīng)過一段時間后形成平衡態(tài)。求瞬間非衡態(tài)與初態(tài)光子數(shù)之比，平衡態(tài)與初態(tài)光子數(shù)之比。（3）光子氣初態(tài)，經(jīng)歷的準靜態(tài)過程達到體積為的末態(tài)（3.1）求末態(tài)溫度（3.2）求初態(tài)到末態(tài)的吸熱量和燏變（3.3）時，求出、。二、絕熱大氣 在均勻重力場中處于流體平衡，（1） 在處，求，當時，數(shù)值為多少？（2） 在處，求，當時，數(shù)值為多少？三、有個分子，分子只有三個分散的能級，其能量和角動量分別為，0；，光子的角

9、動量為，初始狀態(tài)能級分別有個、個分子，當外界條件不變時，達到平衡時服從玻爾茲曼分布， 。（1）通過定量計算說明在測量分子光譜時，是否可以收到發(fā)射譜或/和吸收譜？（2）若可以測量到吸收譜和發(fā)射譜，求發(fā)射譜與吸收譜的強度比？四、第一類超導體具有零電阻特性和完全抗磁性，在同一溫度下，還會具有臨界磁場和臨界電流（即磁場、電流大于臨界時，超導性消失）（1）試從熱力學原理出發(fā)，說明第一類超導體具有臨界磁場，并證明臨界磁場隨增大而減小。（2）說明在臨界點處，熱容是突變的，求出突變量。（3）利用（2）中熱容突變，說明由正常導體向超導體轉變過程的對稱性演變。2009-2010年國家隊選拔試題綜合測試（8:45-

10、14:00）（中餐配KFC）1、三個質點、，質量分別為，位置和速度如右圖所示，兩個質點間吸引力滿足建立質心坐標系（1）求在質心系中，畫出軌跡。（假設不發(fā)生碰撞）（2）考慮碰撞，且所有碰撞都為彈性正碰。（2.1）求系統(tǒng)運動的周期 （2.2）用三幅圖分別畫出三個質點的運動軌跡，并標明運動方向和關鍵點坐標。2、如右圖，A、B桿長，質量為，桿和桿長，質量為。點和點光滑鉸接，當時，轉動方向如圖，系統(tǒng)處于光滑水平面上，桿為勻質桿。（1）當時，求與滿足什么關系并求出此時的(2)當時，能否通過調整與的關系使此時的，請通過定量計算來說明。（3）?。?.1）求時的與（3.2）求時的與3、有一如圖所示汽缸，右室有理

11、想氣體，壓強為，溫度為，左室上方為純凈的飽和水蒸汽，在溫度下壓強為，左室下方為密度的水，忽略液化水的體積，且認為為定值。左室接一無限大恒溫熱源，溫度為，氣缸中間活塞與氣缸上下壁的摩擦系數(shù)均為，當增大一點點時，活塞恰好能向左移動。氣缸尺度已知，如果所示，過程為準靜態(tài)過程。（1）求，（2）活塞左移，求,（3）加熱器以恒定功率加熱，求左移的時間，在時，為多少？4、在空間中，處， ，處，（1）求磁場的全空間分布（2）當粒子方向的位移第一次為時，利用數(shù)值積分計算粒子所走的路程，并利用數(shù)值積分計算出10個點的位置（不包括初始位置），作出軌跡圖。（3）記，通過分析，畫出粒子從到時的軌道。5、上下為兩個正方形

12、，邊長為，四條腿的長度遠大于。如圖加上一交流電。所有電容均為，四條腿上的分布電感為。（1）求四條腿上的電流（2），求上方正方形中心的磁感應強度。（說明：電源正方向如圖所示）2009-2010國家隊選拔試題光學2009年12月28日14:00-17:30一、一個旋轉橢球面（不包含球面）可用圖1中橢球等效表示，其半長軸，偏心率已知；一個旋轉拋物面可用圖2中拋物線簡化表示，方程，其中已知；一個旋轉雙曲面可以用圖3中雙曲線表示，其中、已知；一個球可用圖4中圓表示。對以上曲面，其兩側分別為折射率和的介質，現(xiàn)有一半徑為的圓柱形光束，其中心軸為軸，從左至右射在上述曲面上。1、圖1、2、3中曲面左頂點鄰近區(qū)域可分別等效成半徑為，的球面，利用適當?shù)姆椒?，用已知量表示、?、光在曲面上的反射：2.1已知在圖1、2、3中有且僅有一個這樣的曲面：當取任意合理值時，其反射光將會聚于一點，稱為焦點。試說明為何曲面，并證明你的結論。求出到的距離，我們稱之為焦距。2.2在不太大時， 可用一半徑為的球面替代，用作已知量，求出。2.3在不可略時，2.2中反射點的集合為一條長的線，記，求出像差與的關系，算出10個數(shù)據(jù)點，作出圖。3、光在曲面上的折射3.1已知在圖1、2、3中有且僅有一個這樣的曲面：當取任意合理值時其射光將會聚于一點,稱為焦點。試說明為