1、成都石室中學(xué)高2020屆三診模擬考試數(shù)學(xué)試題（理科）（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的1已知全集，集合，則（ ）A B C D【答案】D【解析】因?yàn)椋裕?命題，的否定為（ ）A，B，C，D，【答案】A【解析】命題的否定，將“”變成“”，將“” 變成“”3. “”是“直線與圓相切”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)橹本€與圓相切，則所以或，“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件。4.在公比為2的等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且，則（ ）A256 B

2、512 C1024 D2048【答案】C【解析】由，得，又因?yàn)?，所以，所?.干支歷法是上古文明的產(chǎn)物，又稱節(jié)氣歷或中國(guó)陽歷，是一部深?yuàn)W的歷法。它是用60組各不相同的天干地支標(biāo)記年月日時(shí)的歷法。具體的算法如下：先用年份的尾數(shù)查出天干，如2013年3為癸；再用2013年除以12余數(shù)為9，9為巳。那么2013年就是癸巳年了。2020年高三應(yīng)屆畢業(yè)生李東是壬午年出生，李東的父親比他大25歲，問李東的父親是哪一年出生A.甲子 B.乙丑 C.丁巳 D.丙卯【答案】C【解析】李東是壬午年即2002年出生，父親為1977年級(jí)丁巳年出生，故選C6.如圖，有5個(gè)全等的小正方形，則的值是（ ）A. B. C. D

3、. 【答案】B【解析】由平面向量的運(yùn)算可知，而， 所以，又， 注意到不共線，且， 即，所以，即7. 已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為,則（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋ㄆ渲校?，則，所以8.已知隨機(jī)變量，且，則的展開式中的系數(shù)為A.680 B.600 C. D.【答案】D 【解析】由知展開式中含的項(xiàng)為：9.點(diǎn)在雙曲線的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，是以為底的等腰三角形，則該雙曲線的離心率為（ ）A B C D 【答案】D【解析】如圖，是切點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)椋瑸榈妊切?，則，所以，根據(jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以.10.已知定

4、義在上的函數(shù)和都是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有10個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）A B C D【答案】B【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，即，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，函數(shù)的周期為，由于函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：,，于是得出，由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上從左到右個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，第個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故實(shí)數(shù)的最小值為.11.過點(diǎn)作拋物線的切線切點(diǎn)分別為, 點(diǎn)滿足,則直線方程為（ ）A B C D【答案】A【解析】設(shè)，由得，所以，故直線的方程為，即，同理直線的方程為，聯(lián)立的方程可得，由得為的重心

5、，則，即， ，直線的方程為，12.在中，點(diǎn)分別在上，且，若與相交于點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】B【解析】不妨設(shè)CA=3,BC=2, 因?yàn)槿c(diǎn)共線，三點(diǎn)共線,所以，則，所以在中, 所以所以的范圍為(，2).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分13.復(fù)數(shù)滿足，則_【答案】【解析】因?yàn)?，所?4.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行輸出的值是_【答案】9【解析】模擬程序的運(yùn)行，可得；不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， ；滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為9.15.在四面體中，為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)作與平面平行的平面，該

6、平面與平面、平面的交線分別為、，則直線，所成角的余弦值為_【答案】【解析】由題意，如圖所示，所成角即，因?yàn)椋?，故直線，所成角的余弦值為.16.已知函數(shù)，.（i）的增區(qū)間為_；（ii）若在恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】(1) ,的增區(qū)間為(2) ，所以，令，在上單調(diào)遞增又，所以有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，即所以，所?三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分.17.(本小題12分)如圖所示，在四棱錐中，四邊形為

7、平行四邊形，平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：平面，又，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，5分（2），設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，直線與平面所成角的正弦值為.12分18.(本小題12分)現(xiàn)在很多年輕人熱衷提前消費(fèi)，其中分期付款就是比較流行的一種消費(fèi)方式.現(xiàn)某蘋果手機(jī)直營(yíng)店推出一種分期消費(fèi)模式，若某顧客在店內(nèi)選擇任意一款手機(jī)進(jìn)行購(gòu)買，如果該顧客選擇相應(yīng)的分期消費(fèi)模式，可獲得相應(yīng)的紅包返現(xiàn). 分期月數(shù)及相應(yīng)的紅包返利如下表1：（月數(shù)）13612返現(xiàn)金額50100200300顧客采用的付款月數(shù)的分布列如下表2：（月數(shù)）13612現(xiàn)該蘋果

8、手機(jī)店內(nèi)有2位顧客正準(zhǔn)備購(gòu)買某型號(hào)手機(jī)，這兩位顧客選擇怎樣的分期消費(fèi)模式相互獨(dú)立.設(shè)事件為“購(gòu)買該商品的2位顧客中，至少有1位采用1個(gè)月付款”（1）求事件發(fā)生的概率；（2）設(shè)這兩位顧客返現(xiàn)紅包總額為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)由事件為“購(gòu)買該商品的2位顧客中，至少有1位采用1個(gè)月付款”則表示事件“購(gòu)買該型號(hào)手機(jī)的2位顧客中無人采用1個(gè)月付款” 3分(2)由題知，9分的分布列如下：1001502002503003504005006000.040.120.090.160.240.040.220.080.01， 的數(shù)學(xué)期望是300. 12分19.(本小題12分)已知數(shù)列滿足，.（1

9、）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)， 由- 得，故 又因?yàn)椋m合上式，所以（）. 6分（2）由（1）知: 所以.12分20.(本小題12分)已知函數(shù).（1）若對(duì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：，使得對(duì)，都有.【解析】（1），令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，.5分（2）當(dāng)時(shí)，要證：，使得對(duì)，都有，只需證：對(duì)，都有，又由（1）可知：，只需證：對(duì)，都有，又，即證：，即證：，令，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，對(duì)，得證.12分21.(本小題12分)已知橢圓,直線與橢圓交于兩點(diǎn)，已知，當(dāng)且存在時(shí)，有；當(dāng) 時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）若且在橢圓上，的中

10、垂線與軸交于點(diǎn)，求三角形面積的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè) ，由所以，即橢圓為 3分又時(shí)，可得點(diǎn) 在橢圓上，帶入解得： 5分（2）由 ，故中點(diǎn)，中垂線方程為 7分（易知，時(shí)，依然成立）由，由在橢圓上，帶入橢圓方程可得：由帶入可得：帶入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得： （*）9分故由（*）所以12分（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.(本小題10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（取相同的單位長(zhǎng)度），曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為：，兩條曲線相交于兩點(diǎn).（1）求兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）根據(jù)變換公式，由曲線變換得到曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最小值.【解析】（1)由，得，又，所以，由，得，又，所以，由，解得或 所以或.5分（2）由（1)知：，根據(jù)變換公式，由曲線變換得到曲線，則，即曲線的方程為： . 設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線