1、第四十講橢圓班級(jí)_姓名_考號(hào)_日期_得分_一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi))1(精選考題天門)設(shè)P是橢圓1上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則cosF1PF2的最小值是()A.B.C D解析：設(shè)|PF1|m，|PF2|n，由題意mn6，c，則cosF1PF211.答案：C2(精選考題新創(chuàng)題)定義：離心率e的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c0)，P為橢圓E上的任意一點(diǎn)，若a，b，c不是等比數(shù)列，則()AE是“黃金橢圓”B. E一定不是“黃金橢圓”C. E不一定是“黃金橢圓”D. 可能不是“黃金橢圓”解

2、析：假設(shè)E為黃金橢圓，則e，即ca，b2a2c2a22a2ac.即a，b，c成等比數(shù)列，與已知矛盾，故橢圓E一定不是“黃金橢圓”答案：B3(精選考題長(zhǎng)沙模擬)已知F1、F2分別為橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若ABF2為鈍角三角形，則橢圓C的離心率e的取值范圍為()A(0，1)B(0，1)C(1,1) D(1,1)解析：由ABF2為鈍角三角形，得AF1F1F2，2c，化簡(jiǎn)得c22aca20，e22e10，又0e1，解得0eb0)，令xc得y2，|PF1|，又由|F1B2|2|OF1|B1B2|得a22bc，a44b2(a2b2)，(a22b2)

3、20，a22b2，.答案：B5橢圓M：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且最大值的取值范圍是，其中c，則橢圓M的離心率e的取值范圍是()A. B.C. D.解析：設(shè)與的夾角為，由于 cos，的夾角為0時(shí)取“”所以的最大值為(ac)(ac)，因此c2a2c23c2，所以e21e23e2.又e(0,1)，所以e.故選B.答案：B6設(shè)橢圓1(ab0)的離心率為e，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)()A必在圓x2y22內(nèi)B必在圓x2y22上C必在圓x2y22外D以上三種情形都有可能解析：x1x2，x1x2，xx(x1x

4、2)22x1x2，e，ca，b2a2c2a22a2，xxb0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)解析：e1.|PF2|1，即e1，e22e10.又0e1，1eb0)的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意b1.所求橢圓方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)ABx軸時(shí)，|AB|，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxm.由已知，得m2(k21)，把ykxm代

5、入橢圓方程，整理得(3k21)x26kmx3m230x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)33(k0)34.當(dāng)且僅當(dāng)9k2，即k時(shí)等號(hào)成立|AB|2.當(dāng)k0時(shí)，|AB|，綜上所述，|AB|max2.當(dāng)|AB|最大時(shí)，AOB面積取最大值，S|AB|max.點(diǎn)評(píng)：一般地，在涉及直線與曲線交點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，先設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再由方程組轉(zhuǎn)化的一元二次方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為待求的系數(shù)方程，像這種設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)但不具體求出的方法稱為“設(shè)而不求”12如圖，已知A、B、C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；(2)如果

6、橢圓上兩點(diǎn)P、Q使直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)使？請(qǐng)給出證明解：(1)以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(2,0)，橢圓方程可設(shè)為1(0bb0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)(1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1，)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)求證：kPMkPN是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值解：(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a4，即a2.又點(diǎn)A在橢圓上，因此1得b23，于是c21.所以橢圓C的方程為1，焦點(diǎn)F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)(2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K(x1，y1)，線段F1K的中點(diǎn)Q(x，y)滿足：x，y，即x12x1，y12y.因此1.即21為所求的軌跡方程(3)設(shè)點(diǎn)