1、20112011 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷） 數(shù)學(xué)試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類）數(shù)學(xué)試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類） 滿分 150 分.考試時間 120 分鐘. 注意事項： 1答題前，務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上. 2答選擇題時，必須使用2B 鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦 擦干凈后，再選其他答案標(biāo)號. 3答非選擇題時，必須使用0.5 毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上. 4所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效. 5考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回. 一、選擇題：本大題共10 小題，每小題

2、5 分，共50 分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項 是符合題目要求的. i2i3i4 1復(fù)數(shù) 1i A 11 i 22 B 11 i 22 C 1111 i D i 2222 2 “x ”是“x ”的 B必要而不充分條件 D既不充分也不必要 A充分而不必要條件 C充要條件 3已知lim( x ax ) ，則a xx B 2 5 AC3 6 D6 n 4(13x) (其中nN且n6)的展開式中x 與x的系數(shù)相等，則 n= A6B7C8D9 5下列區(qū)間中，函數(shù)f（x） = In(2x)在其上為增函數(shù)的是 A （-,1B1, 3 4 C0, 3 2 2 2 D1,2 （a b）c 4，且 C=

3、60，則ab 的值為 6若ABC 的內(nèi)角 A、B、C 所對的邊 a、b、c 滿足 A 4 3 B84 3C 1D 2 3 7已知 a0，b0，a+b=2，則 y= A 14 的最小值是 ab C 7 2 22 B4 9 2 D5 8在圓x y 2x 6y 0內(nèi)，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別是AC 和 BD，則四邊形 1 ABCD 的面積為 A5 2B10 2C15 2D20 2 9高為 2 的四棱錐 S-ABCD 的底面是邊長為 1 的正方形，點S、A、B、C、D 均在半徑為 1 的同 4 一球面上，則底面 ABCD 的中心與頂點 S 之間的距離為 A 2 4 B 2 2 2 C1D2

4、 10設(shè) m，k 為整數(shù)，方程mx kx 2 0在區(qū)間（0,1）內(nèi)有兩個不同的根，則 m+k 的最小值 為 A-8B8C12D13 二、填空題：本大題共5 小題，每小題 5 分，共 25 分，把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上 11在等差數(shù)列an中，a3 a7 37，則a2a4a6a8_ 12已知單位向量e 1， e 2 的夾角為 60，則2e 1 e 2 _ 13將一枚均勻的硬幣投擲6 次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率_ 14已知sin 1 cos，且0, ，則 2 2 cos2 的值為_ sin 4 15設(shè)圓 C 位于拋物線y 2x與直線 x=3 所圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓

5、C 的半徑能 取到的最大值為_ 三、解答題：本大題共6 小題，共 75 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16 （本小題滿分 13 分） 設(shè)aR，f x cosxasin x cosx cos 2 2 x滿足 2 f f0，求函 3 數(shù)f (x)在 11 ,上的最大值和最小值. 424 2 17 （本小題滿分 13 分） （）小問 5 分， （）小問 8 分） 某市公租房的房源位于 A，B，C 三個片區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源， 且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4 位申請人中： （）恰有 2 人申請 A 片區(qū)房源的概率； （）申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)的分布

6、列與期望 18 （本小題滿分 13 分， （）小問 6 分， （）小問 7 分 ） 設(shè)f (x) xaxbx的導(dǎo)數(shù)f (x)滿足f () a, f () b，其中常數(shù)a,bR （）求曲線y f (x)在點(, f ()處的切線方程； （） 設(shè)g(x) f (x)ex，求函數(shù)g(x)的極值 19 （本小題滿分 12 分， （）小問 5 分， （）小問 7 分 ） 如題（19）圖，在四面體ABCD中，平面ABC 平面ACD，AB BC，AD CD， CAD （）若AD ，AB BC，求四面體ABCD的體積； （）若二面角C AB D為，求異面直線AD與BC所成角的余弦值 20 （本小題滿分 12

7、分， （）小問 4 分， （）小問 8 分 ） 3 如題（20）圖，橢圓的中心為原點O，離心率e （）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ，一條準(zhǔn)線的方程為x uu u ruuu ruuu r （）設(shè)動點P滿足：OP OM ON，其中M,N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜 率之積為 ，問：是否存在兩個定點F ,F ，使得PF PF 為定值？若存在，求 F ,F 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 21 （本小題滿分 12 分， （I）小問 5 分， （II）小問 7 分） 設(shè)實數(shù)數(shù)列an的前 n 項和S n ，滿足S n1 a n1Sn (nN*) （I）若a 1,S2 2a 2 成等比數(shù)列，求S2和a3； （II

8、）求證：對k 3有0 ak1 ak 4 3 參考答案 一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5 分，滿分 50 分. 15 CADBD610 ACBCD 二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5 分，滿分 25 分. 117412 3 13 三、解答題：滿分 75 分. 16 （本題 13 分） 解：f (x) asin xcosx cos x sin x 22 1114 1415 6 1 322 a sin2x cos2x. 2 4 由f ( 3 ) f (0)得 3 a1 1,解得a 2 3. 222 因此f (x) 當(dāng)x 3sin2x cos2x 2sin(2 x ).

9、6 ,時,2x , f (x)為增函數(shù)， 4 363 2 113 時,2x , f (x)為減函數(shù)， 當(dāng)x , 324624 11 上的最大值為f () 2. 所以f (x)在 , 443 11 ) 2, 又因為f ( ) 3, f ( 424 1111 上的最小值為f () 2. 故f (x)在 , 42424 17 （本題 13 分） 解：這是等可能性事件的概率計算問題. 2 （I）解法一：所有可能的申請方式有34種，恰有 2 人申請 A 片區(qū)房源的申請方式C 4 22種， 從而恰有 2 人申請 A 片區(qū)房源的概率為 2C 4 228 . 2734 解法二：設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗，

10、這是4 次獨立重復(fù)試驗. 記“申請 A 片區(qū)房源”為事件 A，則P(A) 1 . 3 從而，由獨立重復(fù)試驗中事件A 恰發(fā)生 k 次的概率計算公式知，恰有2 人申請 A 片區(qū)房源的 概率為 8 2 1 2 2 2P 4 (2) C 4 ( ) ( ) . 3327 （II） 的所有可能值為 1，2，3.又 31 , 4273 1322C 3 2(C 2C4 C 4 C 2 )14C 3 2(24 2) 14 P( 2) (或P( 2) ) 44272733 P(1) 12123C 3C4 C 2 4C 4 A 3 4 P( 3) (或P( 3) ). 993434 綜上知， 有分布列 123 P

11、 從而有 5 1144 27279 E1 114465 23. 2727927 18 （本題 13 分） 解： （I）因f (x) x3 ax2bx 1,故f (x) 3x2 2ax b. 令x 1,得f (1) 3 2a b, 由已知f (1) 2a,因此3 2a b 2a,解得b 3. 又令x 2,得f (2) 12 4a b,由已知f (2) b, 因此12 4a b b,解得a . 3 2 3 2 5 x 3x 1,從而f (1) 22 3 又因為f (1) 2( ) 3,故曲線y f (x)在點(1, f (1)處的切線方程為 2 5 y () 3(x 1),即6x 2y 1 0.

12、2 因此f (x) x 3 （II）由（I）知g(x) (3x23x 3)ex， 從而有g(shù)(x) (3x29x)ex. 令g(x) 0,得3x29x 0,解得x 1 0,x 2 3. 當(dāng)x(,0)時,g(x) 0,故g(x)在(,0)上為減函數(shù)； 當(dāng)x(0,3)時,g(x) 0,故g(x)在（0，3）上為增函數(shù)； 當(dāng)x(3,)時，g(x) 0,故g(x)在(3,)上為減函數(shù)； 從而函數(shù)g(x)在x 1 0處取得極小值g(0) 3,在x 2 3處取得極大值g(3) 15e . 19 （本題 12 分） （I）解：如答（19）圖 1，設(shè) F 為 AC 的中點，由于 AD=CD，所以 DFAC. 故

13、由平面 ABC平面 ACD，知 DF平面 ABC， 即 DF 是四面體 ABCD 的面 ABC 上的高， 且 DF=ADsin30=1，AF=ADcos30= 3. 在 RtABC 中，因 AC=2AF=2 3，AB=2BC， 3 由勾股定理易知BC 2 154 15 , AB . 55 6 故四面體 ABCD 的體積 1114 152 154 V S ABC DF . 332555 （II）解法一：如答（19）圖 1，設(shè) G，H 分別為邊 CD，BD 的中點，則 FG/AD，GH/BC，從 而FGH 是異面直線 AD 與 BC 所成的角或其補角. 設(shè) E 為邊 AB 的中點，則 EF/BC，

14、由 ABBC，知 EFAB.又由（I）有 DF平面 ABC， 故由三垂線定理知 DEAB. 所以DEF 為二面角 CABD 的平面角，由題設(shè)知DEF=60 設(shè)AD a,則DF ADsinCAD a . 2 在RtDEF中,EF DF cotDEF a33 a, 236 從而GH 13 BC EF a. 26 1a BD ， 22 因 RtADERtBDE，故 BD=AD=a，從而，在 RtBDF 中，F(xiàn)H 又FG 1a AD ,從而在FGH 中，因 FG=FH，由余弦定理得 22 FG2GH2 FH2GH3 cosFGH 2FGGH2FG6 因此，異面直線 AD 與 BC 所成角的余弦值為 3

15、 . 6 解法二：如答（19）圖 2，過 F 作 FMAC，交 AB 于 M，已知 AD=CD， 平面 ABC平面 ACD，易知 FC，F(xiàn)D，F(xiàn)M 兩兩垂直，以F 為原點，射線FM，F(xiàn)C，F(xiàn)D 分別為 x 軸，y 軸，z 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz. 不妨設(shè) AD=2，由 CD=AD，CAD=30，易知點 A，C，D 的坐標(biāo)分別為 A(0, 3,0), C(0, 3,0), D(0,0,1), 則AD (0, 3,1). 顯然向量k (0,0,1)是平面 ABC 的法向量. 已知二面角 CABD 為 60， 故可取平面 ABD 的單位法向量n (l,m,n)， 使得 n,k 60

16、,從而n 1 . 2 7 由n AD,有 3m n 0,從而m 由l2 m2 n21,得l 6 . 3 3 . 6 設(shè)點 B 的坐標(biāo)為B(x, y,0);由AB BC,n AB,取l 6 ，有 3 4 6 x 2 y2 3, x , x 0, 9 解之得,(舍去) 6 3 x (y 3) 0, y 3 y 7 3 , 6 3 9 易知l 6 與坐標(biāo)系的建立方式不合，舍去. 3 4 6 7 34 62 3 ,0).所以CB (,0). 9999 因此點 B 的坐標(biāo)為B( 從而 cos AD,CB ADCB | AD |CB | 3( 31 ( 2 3 ) 9 4 6 2 2 3 2) () 99

17、 3 . 6 3 . 6 故異面直線 AD 與 BC 所成的角的余弦值為 20 （本題 12 分） c2 a2 , 2 2, 解： （I）由e a2c 解得a 2,c 2,b2 a2c2 2，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y2 1. 42 （II）設(shè)P(x, y),M(x 1, y1 ),N(x 2 , y 2 )，則由 OP OM 2ON得 (x, y) (x 1, y1 ) 2(x 2 , y 2 ) (x 1 2x 2 , y 1 2y 2 ), 即x x 1 2x 2 , y y 1 2y 2 . 8 因為點 M，N 在橢圓x2 2y2 4上，所以 22x 1 2 2y 1 2 4,x 2

18、2y 2 4， 222 故x2 2y2 (x 1 4x 2 4x 1x2 ) 2(y 1 2 4y 2 4y 1 y 2 ) 22 (x 1 2 2y 1 2) 4(x 2 2y 2 ) 4(x 1x2 2y 1 y 2 ) 20 4(x 1x2 2y 1 y 2 ). 設(shè)k OM ,k ON 分別為直線 OM，ON 的斜率，由題設(shè)條件知 k OM k ON y 1 y 2 1 ,因此x 1x2 2y 1 y 2 0, x 1 x 2 2 所以x2 2y2 20. 所以 P 點是橢圓 x2 (2 5)2 y2 ( 10)2 1上的點，設(shè)該橢圓的左、右焦點為 F1，F(xiàn)2，則由橢圓 (2 5)2(

19、 10)210，因此兩焦點的坐標(biāo)為 的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因c F 1 ( 10,0), F 2 ( 10,0). 21 （本題 12 分） 2 S 2 2a 1a2 , 2 （I）解：由題意得S 2 2S 2 ， S2 a 2 S 1 a 1a2 , 由 S2是等比中項知S2 0.因此S2 2. 由S2 a3 S3 a3S2解得 a 3 S 2 22 . S 2 1213 （II）證法一：由題設(shè)條件有Sn an1 an1Sn, 故Sn1,an11且an1 從而對k 3有 S n a ,S n n1, S n 1a n1 1 9 a k1a k1 a S 2 k1 S1 a k1 S k2 a a k1 1 a k1 k 2 . k1 k1 S k2 1 a a k1 a k1 a k1 1