1、對(duì)稱性在二重積分中的應(yīng)用,高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)大學(xué)第五版）,主講：張曉斌,中國民航大學(xué)理學(xué)院,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,一、 常用的有關(guān)二重積分的對(duì)稱性定理,二、定理的應(yīng)用（典型例題分析）,三、小結(jié),主要內(nèi)容,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,一、 常用的有關(guān)二重積分的對(duì)稱性定理,定義 1：若二元函數(shù) 的定義域 關(guān)于軸對(duì)稱，且滿足 （或 ），則稱 關(guān)于 為奇（偶）函數(shù)。,定義 2：若二元函數(shù) 的定義域 關(guān)于軸對(duì)稱，且滿足 （或 ），則稱 關(guān)于 為奇（偶）函數(shù)。,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,定義 3：若二元函數(shù) 的定義域 關(guān)于 直線 對(duì)稱，且滿足 ， 則稱 關(guān)于 和 對(duì)稱。,定理 1 若有界閉區(qū)域 關(guān)于

2、軸對(duì)稱， 在區(qū)域 上連續(xù)， 則,當(dāng) 關(guān)于 為奇函數(shù)時(shí),當(dāng) 關(guān)于 為偶函數(shù)時(shí),中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,定理 1 若有界閉區(qū)域 關(guān)于 軸對(duì)稱， 在區(qū)域 上連續(xù)， 則,當(dāng) 關(guān)于 為奇函數(shù)時(shí),當(dāng) 關(guān)于 為偶函數(shù)時(shí),中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,推論 1.1 若 有界閉區(qū)域 關(guān)于 軸 和 軸都 對(duì)稱， 在區(qū)域 上連續(xù)，且 關(guān)于 和 均為偶函數(shù)，則,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,定理 2 若有界閉區(qū)域 與區(qū)域 關(guān)于直線 對(duì)稱， 在區(qū)域 上連續(xù)，則,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,推論 2.1 若 有界閉區(qū)域 關(guān)于直線 對(duì)稱， 在區(qū)域 上連續(xù)，則,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,例1.,如圖，由于積分區(qū)域 關(guān)于 軸

3、， 軸都對(duì)稱，且 和 中的被積函數(shù)分別關(guān)于 是奇函數(shù)，根據(jù)定理1和定理1得,計(jì)算 其中,解：,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,二、定理的應(yīng)用,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,例2. （總習(xí)題九 1(2)）.,則,提示: 如圖 ，,A,設(shè)有平面閉區(qū)域,例3. 有一個(gè)平面薄片, 在 平面上占有區(qū)域 其面密度為 ，求該薄片的質(zhì)量M。,由于積分區(qū)域 關(guān)于 軸， 軸都對(duì)稱，且 被積函 數(shù)關(guān)于 都是偶函數(shù)，根據(jù)推論1.1得,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,解：根據(jù)二重積分的物理意義，,2014.3,例4. 設(shè) 在 連續(xù)，且,證明,證明:,補(bǔ)區(qū)域 使其與區(qū)域,注意到被積函數(shù)關(guān)于 和 對(duì)稱,考慮利用定理2，,關(guān)于直線 對(duì)稱。,例5.,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,設(shè) 為取值恒大于0的連續(xù)函數(shù)，區(qū)域 ， 與 是兩個(gè) 非零常數(shù)，則二重積分,解：由于區(qū)域 關(guān)于直線 對(duì)稱，根據(jù) 推論2.1可得,從而,中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌,三、小結(jié),本節(jié)給出了幾種常用的有關(guān)二重積分的對(duì)稱性定理，并通過例題分析對(duì)這些定理做了應(yīng)用，討論了利用積分區(qū)域的