1、要點(diǎn)梳理 1.橢圓的定義 （1）第一定義：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫 .這兩定點(diǎn)叫做橢圓的 ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做 . 集合P=M|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c,其中 a0,c0，且a，c為常數(shù)： （1）若 ，則集合P為橢圓；,8.1 橢圓,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),橢圓,焦點(diǎn),焦距,ac,第八章 圓錐曲線,（2）若 ，則集合P為線段； （3）若 ，則集合P為空集.,a=c,ac,3.橢圓的幾何性質(zhì),基礎(chǔ)自測 1.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離 心率等于 ( ) A. B. C. D. 解析 設(shè)長軸長、短軸長分別為2a、2

2、b,則2a=4b,D,2.設(shè)P是橢圓 上的點(diǎn).若F1，F(xiàn)2是橢圓 的兩個焦點(diǎn)，則|PF1|+|PF2|等于 （ ） A.4 B.5 C.8 D.10 解析 由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a=10.,D,C,4.已知橢圓C的短軸長為6，離心率為 ，則橢圓 C的焦點(diǎn)F到長軸的一個端點(diǎn)的距離為 （ ） A.9 B.1 C.1或9 D.以上都不對 解析 由題意得 a=5，c=4. a+c=9，a-c=1.,C,5.橢圓的兩個焦點(diǎn)為F1、F2，短軸的一個端點(diǎn)為A， 且 F1AF2是頂角為120的等腰三角形，則此 橢圓的離心率為 . 解析 由已知得AF1F2=30，故cos 30= ， 從而e=

3、.,題型一 橢圓的定義 【例1】一動圓與已知圓O1：（x+3)2+y2=1外切,與 圓O2：（x-3）2+y2=81內(nèi)切，試求動圓圓心的軌 跡方程. 兩圓相切時,圓心之間的距離與兩圓 的半徑有關(guān),據(jù)此可以找到動圓圓心滿足的條件.,思維啟迪,題型分類 深度剖析,解 兩定圓的圓心和半徑分別為O1(-3，0),r1=1； O2(3,0)，r2=9.設(shè)動圓圓心為M(x，y),半徑為R， 則由題設(shè)條件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R. |MO1|+|MO2|=10. 由橢圓的定義知：M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上, 且a=5，c=3. b2=a2-c2=25-9=16， 故動圓圓心的軌跡方程為

4、,探究提高 平面內(nèi)一動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距 離之和等于常數(shù)2a，當(dāng)2a|F1F2|時,動點(diǎn)的軌跡 是橢圓；當(dāng)2a=|F1F2|時,動點(diǎn)的軌跡是線段F1F2； 當(dāng)2a|F1F2|時，軌跡不存在. 已知圓（x+2）2+y2=36的圓心為M， 設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N（2，0），線段AN的垂直 平分線交MA于點(diǎn)P，則動點(diǎn)P的軌跡是 （ ） A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線,知能遷移1,解析 點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上， 故|PA|=|PN|，又AM是圓的半徑， |PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6|MN|， 由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓. 答案 B,題型二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

5、 【例2】已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且 P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5、3，過P且與長軸垂直 的直線恰過橢圓的一個焦點(diǎn)，求橢圓的方程.,思維啟迪,.,解 方法一 設(shè)所求的橢圓方程為 由已知條件得 解得a=4,c=2,b2=12. 故所求方程為,方法二 設(shè)所求橢圓方程為 兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2. 由題意知2a=|PF1|+|PF2|=8,a=4. 在方程 中，令x=c得|y|= , 在方程 中，令y=c得|x|= , 依題意有 =3，b2=12. 橢圓的方程為,探究提高 運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即設(shè) 法建立關(guān)于a、b的方程組，先定型、再定量，若位 置不確定時，考慮是否兩解，有時為了解

6、題需要， 橢圓方程可設(shè)為mx2+ny2=1 (m0,n0,mn)， 由題目所給條件求出m、n即可.,知能遷移2 （1）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸,且 長軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)P（3，0）,求橢圓 的方程； （2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱 軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1( ，1)、P2(- ，- )， 求橢圓的方程. 解 （1）若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為 (ab0). 橢圓過P（3，0）， 又2a=32b,b=1,方程為,若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為 橢圓過點(diǎn)P（3，0）， =1, 又2a=32b,a=9, 方程為 所求橢圓的方程為,b=3.,（2）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0且mn).

7、 橢圓經(jīng)過P1、P2點(diǎn)， P1、P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程， 則 、兩式聯(lián)立，解得 所求橢圓方程為,題型三 橢圓的幾何性質(zhì) 【例3】已知F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上 一點(diǎn)，F(xiàn)1PF2=60. （1）求橢圓離心率的范圍； （2）求證:F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān). （1）在PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|+|PF2|=2a，可求|PF1|PF2|與a，c的關(guān) 系，然后利用基本不等式找出不等關(guān)系，從而求 出e的范圍； （2）利用 |PF1|PF2|sin 60可證.,思維啟迪,（1）解 設(shè)橢圓方程為 |PF1|=m,|PF2|=n. 在PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2=m

8、2+n2-2mncos 60. m+n=2a， m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn， 4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2. 又mn （當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號）, 4a2-4c23a2， ，即e . 又0e1, e的取值范圍是,（2）證明 由（1）知mn= mnsin 60= 即PF1F2的面積只與短軸長有關(guān).,探究提高 （1）橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的 計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a、c的關(guān)系. （2）對F1PF2的處理方法 ,定義式的平方 余弦定理 面積公式,知能遷移3 已知橢

9、圓 的長、短軸端點(diǎn)分別為A、B,從橢圓上一點(diǎn)M（在x軸 上方）向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F1， . （1）求橢圓的離心率e； （2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右 焦點(diǎn)，求F1QF2的取值范圍. 解 （1）F1（-c，0），則xM=-c，yM= ， kOM=- .kAB=- ， ， - =- ，b=c，故e=,（2）設(shè)|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，F(xiàn)1QF2= ， r1+r2=2a，|F1F2|=2c， cos = 當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時，cos =0,題型四 直線與橢圓的位置關(guān)系 【例4】（12分）橢圓C： 的兩 個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1F1F2

10、， |PF1|= ，|PF2|= . （1）求橢圓C的方程； （2）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓 C于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線l的 方程.,（1）可根據(jù)橢圓定義來求橢圓方程； （2）方法一：設(shè)斜率為k，表示出直線方程,然后 與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐 標(biāo)公式求解； 方法二：設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,作 差變形,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率求解（即點(diǎn)差 法）.,思維啟迪,解 （1）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上， 所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3. 2分 在RtPF1F2中， 故橢圓的半焦距c= ， 4分 從而b2=a2-c2=4， 所

11、以橢圓C的方程為 6分,解題示范,（2）方法一 設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2). 已知圓的方程為（x+2）2+(y-1)2=5,所以圓心M的 坐標(biāo)為（-2，1），從而可設(shè)直線l的方程為： y=k(x+2)+1, 8分 代入橢圓C的方程得： (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對稱， 所以 10分 所以直線l的方程為y= (x+2)+1, 即8x-9y+25=0. （經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意） 12分,方法二 已知圓的方程為（x+2）2+(y-1)2=5, 所以圓心M的坐標(biāo)為（-2，1）， 8分 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別

12、為（x1,y1）,(x2,y2). 由題意x1x2, 由-得： 因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對稱， 所以x1+x2=-4,y1+y2=2,代入得 即直線l的斜率為 ， 10分 所以直線l的方程為y-1= (x+2), 即8x-9y+25=0. （經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）. 12分,探究提高（1）直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后 得到一元二次方程，然后通過判別式來判斷直 線和橢圓相交、相切或相離. （2）消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢 圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，通常是寫成兩根之和 與兩根之積的形式，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ). （3）若已知圓錐曲線的弦的中點(diǎn)坐標(biāo),可設(shè)出弦 的端點(diǎn)坐標(biāo),代入方程，用點(diǎn)差

13、法求弦的斜率.注 意求出方程后，通常要檢驗(yàn).,知能遷移4 若F1、F2分別是橢圓 （ab0）的左、右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個 動點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2 . （1）求出這個橢圓的方程； （2）是否存在過定點(diǎn)N（0，2）的直線l與橢圓 交于不同的兩點(diǎn)A、B，使 （其中O為坐 標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線l的斜率k；若不存 在，說明理由.,解 （1）依題意，得2a=4，2c=2 , 所以a=2,c= ,b= 橢圓的方程為 （2）顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即x=0時，不滿 足條件. 設(shè)l的方程為y=kx+2, 由A、B是直線l與橢圓的兩個不同的交點(diǎn)， 設(shè)A（x1，y1），B（x

14、2，y2）， 由 消去y并整理，得,（1+4k2）x2+16kx+12=0. =(16k)2-4(1+4k2)12=16(4k2-3)0, 解得k2 . x1+x2=- ,x1x2= , =0， =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2) =x1x2+k2x1x2+2k（x1+x2）+4 =（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4,k2=4. 由可知k=2, 所以，存在斜率k=2的直線l符合題意.,方法與技巧 1.橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長軸 端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離， 且最大距離為a+c,最小距離為a-c. 2.過焦點(diǎn)弦的所有弦長中，垂直于

15、長軸的弦是最 短的弦，而且它的長為 .把這個弦叫橢圓 的通徑. 3.求橢圓離心率e時,只要求出a,b,c的一個齊次 方程，再結(jié)合b2=a2-c2就可求得e (0e1).,思想方法 感悟提高,4.從一焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓（面）的反射， 反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn). 5.過橢圓外一點(diǎn)求橢圓的切線,一般用判別式=0 求斜率，也可設(shè)切點(diǎn)后求導(dǎo)數(shù)（斜率）. 6.求橢圓方程時，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷 是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)是：（1）中心是否 在原點(diǎn)，（2）對稱軸是否為坐標(biāo)軸.,失誤與防范 1.求橢圓方程時，在建立坐標(biāo)系時，應(yīng)該盡可能 以橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸以便求得的方程為最簡 方程橢圓的標(biāo)

16、準(zhǔn)方程. 2.求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，只要把兩曲線的方程聯(lián) 立求方程組的解,根據(jù)解可以判斷位置關(guān)系，若 方程組有解可求出交點(diǎn)坐標(biāo). 3.注意橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍，特別是把橢圓上某 一點(diǎn)坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題求解時，求函數(shù)的單 調(diào)區(qū)間、最值時有重要意義. 4.判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的原則為：長軸、短軸所在 直線為坐標(biāo)軸，中心為坐標(biāo)原點(diǎn).,5.判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與 y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，則焦點(diǎn) 在x軸上，若x2的分母比y2的分母小，則焦點(diǎn)在y 軸上. 6.注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓 上點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y）時，則|x|a，這往往 在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問題中特別有用，也

17、是容 易被忽略而導(dǎo)致求最值錯誤的原因.,一、選擇題 1.（2008上海）已知橢圓 =1，長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于（ ） A.4 B.5 C.7 D.8 解析 橢圓焦點(diǎn)在y軸上，a2=m-2，b2=10-m. 又c=2，m-2-（10-m）=22=4.m=8.,定時檢測,D,2.已知點(diǎn)M（ ，0）,橢圓 =1與直線 y=k(x+ )交于點(diǎn)A、B,則ABM的周長為 （ ） A.4 B.8 C.12 D.16 解析 直線y=k(x+ )過定點(diǎn)N(- ,0),而M、N 恰為橢圓 的兩個焦點(diǎn)，由橢圓定義知ABM的周長為4a=42=8.,B,3.若以橢圓上一點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積 的最大

18、值為1，則橢圓長軸的最小值為 （ ） A.1B. C.2D.2 解析 設(shè)橢圓 ，則使三角 形面積最大時，三角形在橢圓上的頂點(diǎn)為橢圓短 軸端點(diǎn)， S= 2cb=bc=1 a22.a .長軸長2a2 ，故選D.,D,4.（2009浙江）已知橢圓 (ab0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在 橢圓上，且BFx軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若 =2 ，則橢圓的離心率是 （ ） A. B.C.D.,解析 如圖，由于BFx軸， 故xB=-c,yB= ,設(shè)P（0,t）, =2 ， （-a,t）=2 a=2c,e= 答案 D,5.已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長 軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若A

19、BF2是 等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是（ ） A.B.C.D. 解析 ABF2是等腰直角三角形，|AF1|=|F1F2|，將x=-c代入橢圓方程 從而 即a2-c2=2ac,整理得e2+2e-1=0, 解得e=-1 ,由e(0,1),得e= -1.,C,6.(2009江西)過橢圓 的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦 點(diǎn)，若F1PF2=60,則橢圓的離心率為（ ） A.B.C.D. 解析 由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為 F1PF2=60, 即2ac= b2= (a2-c2). e2+2e- =0,e= 或e=- (舍去).,B,二、填空題 7.（2009廣東）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)

20、原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為 ，且G上一點(diǎn) 到G的兩個焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的方程 為 . 解析 設(shè)橢圓的長半軸為a，由2a=12知a=6, 又e= = ,故c=3 ，b2=a2-c2=36-27=9. 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,8.設(shè)橢圓 （m0,n0）的右焦點(diǎn)與拋 物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為 ，則此橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 解析 拋物線y2=8x的焦點(diǎn)是（2,0）,橢圓 的半焦距c=2,即m2-n2=4,又e= m=4,n2=12. 從而橢圓的方程為,9.B1、B2是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，O為橢圓中心，過 左焦點(diǎn)F1作長軸的垂線交橢圓于P,若|F1B2|是 |OF1|和|B1B2|的等比中

21、項(xiàng)，則 的值是 . 解析 由已知2bc=a2=b2+c2,b=c= 設(shè)P（x0，y0），則x0=-c，|y0|=|PF1|.,三、解答題 10.根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn) P到兩焦點(diǎn)的距離分別為 ，過P作長 軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點(diǎn)； （2）經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，2）和B 解（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 或,則由題意知2a=|PF1|+|PF2|=2 ，a= . 在方程 中令x=c得|y|= 在方程 中令y=c得|x|= 依題意并結(jié)合圖形知 = .b2= . 即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,（2）設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，2），B 的橢圓標(biāo) 準(zhǔn)方程為 mx2+ny2=1，