1、第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分,問題的提出： 如何求積分,牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式：,N-L公式失效的情形：,數(shù)學(xué)分析中的處理方法：,4.1 數(shù)值積分概論,（1）被積函數(shù)，諸如 等等，找不到用 初等函數(shù)表示的原函數(shù)；,（2）當(dāng) 是由測量或數(shù)值計(jì)算給出的一張數(shù)據(jù)表. 這時(shí)，牛頓-萊布尼茨公式也不能直接運(yùn)用;,因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問題及數(shù)值積分問題.,N-L公式失效的情形：,（3）有原函數(shù)，但原函數(shù)很復(fù)雜，難以求解，如書P97的例子.,只要對(duì)平均高度 提供一種算法，相應(yīng)地便可獲得,一種數(shù)值求積方法.,由積分中值定理知，在積分區(qū)間 內(nèi)存在一點(diǎn)， 成立,構(gòu)造數(shù)值積分公式的

2、基本思想,（1）左矩形公式,（3）用區(qū)間中點(diǎn) 的“高度” 近似地取代平均高度 ，則又可導(dǎo)出所謂中矩形公式,（2）右矩形公式,是梯形公式.,左矩形公式：,右矩形公式：,中矩形公式：,梯形公式：,一般地，可以在區(qū)間 上適當(dāng)選取某些節(jié)點(diǎn) ，,然后用 加權(quán)平均得到平均高度 的近似值，這樣,權(quán) 僅僅與節(jié)點(diǎn) 的選取有關(guān)，,構(gòu)造出的求積公式具有下列形式：,將這種思想一般化：,用上面式子求積分近似值的特點(diǎn)：將積分求值問題轉(zhuǎn)化為了計(jì)算函數(shù)值的問題，避開了求原函數(shù).這類數(shù)值積分方法通常稱為機(jī)械求積。,4.2 牛頓-科特斯公式,據(jù)代數(shù)插值法，對(duì)于被積函數(shù),可以構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式,來近似代替它。,對(duì)上式兩邊求積分得到

3、,而,是一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式，它的定積分是容易計(jì)算的。,即有,可以根據(jù)這種想法來構(gòu)造出幾個(gè)近似求積公式。,4.2.1 科特斯系數(shù),由代數(shù)插值法知道，可以以a和b作為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式,來近似代替,即有,.,對(duì)上式兩邊求積分得,即梯形公式。,把積分區(qū)間a，b二等分，得到三個(gè)分點(diǎn)a，,和b。,據(jù)代數(shù)插值法，可以以這三個(gè)分點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式,來近似代替,，即有,對(duì)上式兩邊求積分得,稱為辛普森公式。,把積分區(qū)間a，b n等分，得到n+1個(gè)分點(diǎn)，其分點(diǎn)記為,，其中,。,由代數(shù)插值法知道，可以以這n+1個(gè)分點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式,來近似代替,，即有,對(duì)上式兩邊求積分得,其中,

4、作變換,，從而得到,于是,若記,則有,從而得到,稱為Newton-Cotes系數(shù)。,表4-1 n從到的Newton-Cotes系數(shù),特別的，n為4的時(shí)候稱為科特斯公式。,設(shè)將積分區(qū)間 劃分為 等分，,選取等距節(jié)點(diǎn) 構(gòu)造出的插值型求積公式,（2.1）,稱為牛頓-柯特斯公式，,式中 稱為柯特斯系數(shù).,步長,（2.2）,當(dāng) 時(shí)，,這時(shí)的求積公式就是梯形公式,當(dāng) 時(shí)，按(2.2)式，,相應(yīng)的求積公式是辛普森(Simpson)公式,（2.3）,柯特斯系數(shù)為,的牛頓-柯特斯公式稱為柯特斯公式，,（2.4）,這里,其形式是,插值型數(shù)值積分的含義,。,例 用梯形求積公式、Simpson求積公式和Newton-

5、Cotes求積公式(取n=4 )計(jì)算定積分,解, 用Simpson求積公式, 用Newton-Cotes求積公式, 用梯形求積公式,4.2.2 求積公式的代數(shù)精確度,定義4.1 對(duì)一般求積近似公式，如果當(dāng),為任意一個(gè)次,精確成立，而當(dāng),為n+1次代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)不精確成立，則稱該,數(shù)不高于n次的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)積分近似公式,積分近似公式具有n次代數(shù)精確度。,一個(gè)事實(shí)：任何一個(gè)求積近似公式都可以寫成這樣的形式,其中,是不依賴于函數(shù),另一個(gè)事實(shí)：對(duì)某些被積函數(shù)來說，積分近似公式精確成立。,例如，,據(jù)線性插值的誤差估計(jì)式有,對(duì)上式從a到b求積分得,即,顯然，當(dāng),為不超過一次代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，,。所以,即當(dāng),為不

6、超過一次代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，梯形求積公式精確成立。,定理4.1 梯形求積公式具有一次代數(shù)精確度。,證, 證當(dāng)f(x)為任意一個(gè)不超過一次代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，梯形求積公式精確成立。, 證當(dāng),為二次代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，梯形求積公式不精確成立。,=x2時(shí)有,所以當(dāng),=x2 時(shí),由此推出，當(dāng),為二次代數(shù)多項(xiàng)式時(shí),因此，據(jù)定義梯形求積公式具有一次代數(shù)精確度。,因?yàn)楫?dāng),定理4.2 Newton-Cotes求積公式至少具有n次代數(shù)精確度，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，代數(shù)精確度至少為n+1次。,即,根據(jù)n次插值的誤差估計(jì)式有,對(duì)上式兩邊從a到b求積分得到,當(dāng),為任意不超過n次代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，,。所以，,這說明，Newton-Cotes求積公式

7、至少具有n次代數(shù)精確度。, 證Newton-Cotes求積公式至少具有n次代數(shù)精確度。,證, 證當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Newton-Cotes求積公式的代數(shù)精確度至少為n+1次。,為n+1次代數(shù)多項(xiàng)式，則可令,，其中n為偶數(shù),故,再據(jù)(4.14)有,可以證明:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有,從而得知,當(dāng),為n+1次多項(xiàng)式，且n為偶數(shù)時(shí)有,這說明，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Newton-Cotes求積公式的代數(shù)精確度至少為n+1次。,設(shè),，從而有,定理4.3 Simpson求積公式的代數(shù)精確度為。,，則由(4.1)式有,而,從而,由此推知，當(dāng),為4次代數(shù)多項(xiàng)式時(shí),這說明，當(dāng),精確成立。因此，得知Simpson求積公式的代數(shù)精確度

8、為。,取,證,由定理4.2，Simpson求積公式的代數(shù)精確度至少為次。,為四次代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，Simpson求積公式不能,4.2.3 求積公式的誤差估計(jì),定理4.4 若,，則梯形求積公式有誤差估計(jì),其中ab,因?yàn)閤依賴于，所以,是x的函數(shù)，而且據(jù)題意,在a，b上連續(xù)，而（x-a）(x-b)在a，b上小于，從而由積分中值定理得到,于是，得到梯形求積公式的誤差估計(jì)為,據(jù)插值余項(xiàng)公式有,證,解：使用梯形公式,使用辛普森公式：,使用柯特斯公式：,在實(shí)際應(yīng)用中，通常將積分區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上采用低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上的計(jì)算結(jié)果加起來得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)合求積公式的

9、基本思想。常用的復(fù)合求積公式有復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式。,4.3 復(fù)合求積公式,問題1：由梯形、辛普森和柯特斯求積公式余項(xiàng)，分析隨著求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，對(duì)應(yīng)公式的精度是怎樣變化？,問題2：當(dāng)n8時(shí)NC求積公式還具有數(shù)值穩(wěn)定性嗎？可用增加求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的方法來提高計(jì)算精度嗎？,將積分區(qū)間a,b劃分為n等分,步長 ，求積節(jié)點(diǎn)為 ，在每個(gè)小區(qū)間 上應(yīng)用梯形公式,求出積分值Ik,然后將它們累加求和,用 作為所求積分I的近似值。,4.3.1 復(fù)合梯形公式及其誤差,記,稱其為復(fù)合梯形公式。,當(dāng)f(x)在a,b上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),在子區(qū)間 上梯形公式的余項(xiàng)已知為,在a,b上的余項(xiàng),根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存

10、在 ，使,因此,余項(xiàng),復(fù)合梯形公式積分法, 輸入,和,對(duì),做, 輸出,使用復(fù)合梯形公式求積分算法,將積分區(qū)間a,b劃分為n等分,記子區(qū)間 的中點(diǎn)為 在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用辛普森公式，則有,記,稱為復(fù)合辛普森公式。,4.3.2復(fù)合辛普森公式及其誤差,類似于復(fù)合梯形公式余項(xiàng)的討論，復(fù)合辛普森公式的求積余項(xiàng)為,求積余項(xiàng)為,復(fù)化Simpson公式積分法,復(fù)合求積公式的余項(xiàng)表明，只要被積函數(shù)f(x)及所涉及的各階導(dǎo)數(shù)在a,b上連續(xù)，那么復(fù)合梯形公式、復(fù)合辛普森公式與復(fù)合柯特斯公式所得近似值 的余項(xiàng)和步長的關(guān)系依次為 、 、 。因此當(dāng)h0 (即n)時(shí), 都收斂于積分真值，且收斂速度一個(gè)比一個(gè)快。,使用復(fù)合Si

11、mpson公式求積分算法,和, 計(jì)算,對(duì),做,對(duì),做, 輸出, 輸入,例1 依次用n=8的復(fù)化梯形公式、n=4的復(fù)化辛普森公式計(jì)算,解:首先計(jì)算出所需各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值,n=8時(shí)，,由復(fù)化梯形公式可得如下計(jì)算公式：,由復(fù)合辛普森公式可得如下計(jì)算公式,（積分準(zhǔn)確值I=0.9460831）,這兩種方法都需要提供9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差別較大，同積分的準(zhǔn)確值（是指每一位數(shù)字都是有效數(shù)字的積分值）比較，復(fù)合梯形法只有三位有效數(shù)字(T8=0.9456909),而復(fù)合辛普森法卻有六位有效數(shù)字。,例2 計(jì)算定積分,解:取 ,則 ,又區(qū)間長度b-a =1， （1）對(duì)復(fù)合梯形公式有余項(xiàng),即 ,

12、n212.85，取n=213，即取214個(gè)求積節(jié)點(diǎn)時(shí)，用復(fù)化梯形公式計(jì)算誤差不超過 。,(1)若用復(fù)合梯形求積公式，要取多少個(gè)求積節(jié)點(diǎn)？ (2)若用復(fù)合辛普森求積公式，要取多少個(gè)求積節(jié)點(diǎn)？ (3)若用復(fù)合柯特斯求積公式，要取多少個(gè)求積節(jié)點(diǎn)？,，使誤差不超過,（2）對(duì)復(fù)合辛普森公式有余項(xiàng),即 ，取n=4，即取2n+1=9個(gè)求積節(jié)點(diǎn)時(shí)，用復(fù)合辛普森公式計(jì)算誤差不超過 。,（3）對(duì)復(fù)合柯特斯公式有余項(xiàng),即 ，取n=1，即取4n+1=5個(gè)求積節(jié)點(diǎn)時(shí)，用復(fù)合柯特斯公式計(jì)算誤差不超過 。,復(fù)化求積方法對(duì)于提高計(jì)算精度是行之有效的方法，但復(fù)化公式的一個(gè)主要缺點(diǎn)在于要先估計(jì)出步長(有時(shí)難以估計(jì))。若步長太大，

13、則難以保證計(jì)算精度，若步長太小，則計(jì)算量太大，并且積累誤差也會(huì)增大。,4.4 龍貝格（Romberg）求積公式,變步長復(fù)化求積法的基本思想是在求積過程中，通過對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的不斷估計(jì)，逐步改變步長（逐次分半），直至滿足精度要求為止。即按照給定的精度實(shí)現(xiàn)步長的自動(dòng)選取。,4.4.1 梯形法的遞推化（變步長的梯形公式）,在實(shí)際計(jì)算中通常采用變步長的方法，即把步長逐次分半，直至達(dá)到某種精度為止。,問題：能否不通過事先估計(jì)出步長的方法，計(jì)算出達(dá)到精度要求的近似值？,設(shè)將積分區(qū)間a,bn等分，即分成n個(gè)子區(qū)間，一共有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，即x=a+kh, k=0,1,，n，步長 。,則在區(qū)間a,b上復(fù)化梯形求積

14、公式為：,問題：復(fù)化梯形求積公式簡單易算，但精度不高，收斂速度慢，能否由其構(gòu)造一個(gè)精度高些、收斂速度快些的復(fù)化求積公式呢？,問題：若精度達(dá)不到要求怎么辦？,二分小區(qū)間增加節(jié)點(diǎn)，將xk , xk+1分為xk , xk+1/2和xk+1/2 , xk+1，這時(shí)復(fù)化梯形求積公式為：,當(dāng) 在區(qū)間a,b上變化不大時(shí),有 ，所以,問題：截?cái)嗾`差如何變化的？,結(jié)論：精度提高了。,解: 先對(duì)整個(gè)區(qū)間0,1用梯形公式,對(duì)于,所以有,然后將區(qū)間二等分,由于 ,故有,進(jìn)一步二分求積區(qū)間,并計(jì)算新分點(diǎn)上的函數(shù)值,例 用變步長梯形求積法計(jì)算定積分,有,這樣不斷二分下去，計(jì)算結(jié)果如P110列表所示。積分的準(zhǔn)確值為0.94

15、60831，從表中可看出用變步長二分10次可得此結(jié)果。,可得,重新整理式子,顯然可以用此式判斷近似值是否達(dá)到了精度要求。所以通常將此式作為事后誤差估計(jì)式。,問題：能否利用兩次求得的近似值來估計(jì)誤差呢？,問題：既然 可以作為用T2n計(jì)算I的近似值的估計(jì)誤差，那我們能否用這個(gè)估計(jì)誤差來改進(jìn)我們的近算結(jié)果呢？,4.4.2 龍貝格求積公式,積分近似值 的誤差大致等于 ,如果用 對(duì) 進(jìn)行修正時(shí)， 與 之和比 更接近積分真值,所以可以將 看成是對(duì) 誤差的一種補(bǔ)償,這樣應(yīng)該可得到一個(gè)具有更好效果的式子。 問題：是這樣的嗎？,和梯形變步長公式,代入上式得,故,用梯形法二分前后兩個(gè)積分值 和 作線性組合，結(jié)果卻

16、得到復(fù)化辛普森公式 。,將復(fù)化梯形公式,對(duì)辛普森公式用類似方法處理，其截?cái)嗾`差與 成正比，因此，如果將步長折半，則誤差減至 ，即有,由此可得,可以驗(yàn)證,上式右端的值其實(shí)等于Cn，就是說，用辛普森公式二等分前后的兩個(gè)積分值Sn和S2n 作線性組合后，可得到柯特斯公式求得的積分值Cn，即有,用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，可進(jìn)一步導(dǎo)出龍貝格公式,在變步長的過程中運(yùn)用前面三個(gè)式子，就能將粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度較高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龍貝格值Rn或者說，將收斂緩慢的梯形值序列Tn加工成收斂迅速的龍貝格值序列Rn，這種加速方法稱為龍貝格算法。,4.4.3 Romberg序列的推

17、導(dǎo),(4.2),都是與步長,可以證明復(fù)化梯形求積公式的另一個(gè)誤差估計(jì)式:,其中,無關(guān)的常數(shù).,如果用h/2代替h，則有：,(4.3),為了把二次項(xiàng)略掉，4乘以（4.3）式減去（4.2）式再除以3后， 得：,(4.4),如果用h/2代替h，則有：,為了把四次項(xiàng)略掉，16乘以（4.5）式減去（4.4）式再除以15后， 得：,(4.5),上述處理方法稱為理查森(Richardson)外推加速方法.,計(jì)算過程,6 數(shù)值微分,一、中點(diǎn)方法與誤差分析,2.6.1 使用n次插值函數(shù)求導(dǎo)數(shù),和插值點(diǎn)，可以構(gòu)造一個(gè)n次,來近似代替,，即有,對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得,由定理2.3得知，,與,的誤差估計(jì)式為,其中,對(duì)上式兩

18、邊求導(dǎo)得到,與,的誤差估計(jì)式為,(2.55),只考慮求節(jié)點(diǎn),處的導(dǎo)數(shù)，并注意到,，則有,(2.54),對(duì)于給定函數(shù),插值函數(shù),兩點(diǎn)公式,如表2.3所示的數(shù)據(jù)表，可以構(gòu)造一個(gè),線性插值函數(shù),對(duì)上式兩邊求導(dǎo)數(shù)，并注意到,，則得到,從而有下面求導(dǎo)公式,并有如下誤差估計(jì)式,對(duì)于給定函數(shù),來近似代替,三點(diǎn)公式,如表2.5所示的數(shù)據(jù)表，可以構(gòu)造一個(gè)二次,近似代替,對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得到,從而得到下面求導(dǎo)公式,對(duì)于給定函數(shù),插值函數(shù),并有如下誤差估計(jì)式,數(shù)值積分方法小結(jié),本章介紹了積分的數(shù)值計(jì)算方法，其基本原理主要是逼近論，即設(shè)法構(gòu)造某個(gè)簡單函數(shù)P(x)近似表示f(x)，然后對(duì)P(x)求積得到f(x)的積分近似值。 本章基于插值原理，構(gòu)造了數(shù)值積分的基本公式。 插值型求積公式分為牛頓柯特斯公式和高斯