1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計,第十一講 隨機向量的概率分布,經(jīng)濟數(shù)學基礎,教師：代金輝,第十一講 隨機向量的概率分布,3.1 二維隨機變量及其聯(lián)合分布,3.2 二維離散型隨機變量,3.1 二維隨機變量及其分布函數(shù),引言,1 二維隨機變量 定義3.1.1 若X, Y是兩個定義在同一個樣本空間上的 隨機變量，則稱(X, Y) 是兩維隨機變量. 同理可定義 n 維隨機變量 (隨機向量).,3.1 二維隨機變量及其聯(lián)合分布,定義3.1.2,2 聯(lián)合分布函數(shù),F(x, y) = P( X x, Y y),為(X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù).,(以下僅討論兩維隨機變量),任對實數(shù) x 和 y, 稱,注意：,2 F (x,

2、 y)為(X, Y)落在點(x, y)的左下區(qū)域的概率.,1 (Xx)(Yy)=Xx, Yy；,X1,X2,x1,x2,(x1, x2),聯(lián)合分布函數(shù)的基本性質(zhì),(1) F(x, y) 關于 x 和 y 分別單調(diào)不減.,(2) 0 F(x, y) 1，且,F(, y) = F(x, ) =0，,F(+, +) = 1.,(3) F(x, y) 關于 x 和 y 分別右連續(xù).,(4) 當ab, cd 時，有,F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.,注意：上式左邊 = P(aXb, cY d).,(單調(diào)性),(有界性),(右連續(xù)性),(非負性),3 邊緣分布函數(shù),

3、巳知 (X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x, y)，,則,Y FY (y) = F(+ , y).,X FX (x) = F(x, +),邊緣分布函數(shù)完全由聯(lián)合分布函數(shù)確定,解 (X,Y)關于X的邊緣分布函數(shù),3.2 二維離散型隨機變量,若(X, Y) 的可能取值為有限對、或可列對， 則稱(X, Y)為二維離散隨機變量.,3.2.1 二維離散分布的聯(lián)合分布列,稱,pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, .,為(X,Y) 的聯(lián)合分布列，,其表格形式如下:,Y,X,y1 y2 yj ,x1 x2 xi ,p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi

4、 j ,聯(lián)合分布列的基本性質(zhì),(1) pij 0, i, j = 1, 2,(2) pij = 1.,(非負性),(正則性),確定聯(lián)合分布列的方法,(1) 確定隨機變量 (X, Y) 的所有取值數(shù)對.,(2) 計算取每個數(shù)值對的概率.,(3) 列出表格.,例1 將一枚均勻的硬幣拋擲4次，X表示正面向上的次數(shù)，Y表示反面朝上次數(shù)。求 (X, Y) 的聯(lián)合分布列.,X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,P(X=0, Y=4)=,P(X=2, Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3, Y=1)=,=1/4,P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16,P(X=1, Y=3)=,0.

5、54=1/16,解：概率非零的(X,Y) 可能取值對為:,其對應的概率分別為：,X 0 1 2 3 4,Y 0 1 2 3 4,列表為：,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0,例2 設隨機變量 Y N(0, 1),解: (X1, X2) 的可能取值數(shù)對及相應的概率如下：,P(X1=0, X2=0) = P(|Y|1, |Y|2),= P(|Y|2),= 2 2(2) = 0.0455,P(X1=0, X2=1) = P(|Y|1, |Y|2),= P(1|Y|2),= 2(2) (1),= 0.2719,P

6、(X1=1, X2=0) = P(|Y|1, |Y|2) = 0,P(X1=1, X2=1) = P(|Y|1, |Y|2),= P(|Y|1),= 0.6826,求,的聯(lián)合分布列.,列表為：,X1 0 1,X2 0 1,0.0455 0.2719 0 0.6826,設二維離散型隨機變量X和Y具有分布律 PX= xi, Y= yj=pij ,(i,j=1,2,.)，則二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,其中和式是對一切同時滿足xix, yjy的來求和的.,由聯(lián)合分布列可求聯(lián)合分布函數(shù),3.2.2 邊緣分布列,巳知 (X, Y) 的聯(lián)合分布列為 pij，,則,X 的分布列為：,Y 的分

7、布列為：,X,Y,由聯(lián)合分布可以求出邊際分布. 但由邊際分布一般無法求出聯(lián)合分布. 所以聯(lián)合分布包含更多的信息.,注 意 點,例3 把3個白球和3個紅球等可能地放入編號為1,2,3的三個盒子中.記落入第1號盒子的白球個數(shù)為X,落入第2號盒子的紅球個數(shù)為Y.求(X,Y)的分布律和關于X和Y的邊緣分布律.,解 因為事件X=i與事件Y=j相互獨立,所以有,用表格可如下表示,作業(yè),習題1，2，3,設二維隨機變量(X, Y) 的分布函數(shù)為 F(x, y)， 若存在非負可積函數(shù) p(x, y)，使得,1 聯(lián)合密度函數(shù),則稱 (X, Y) 為二維連續(xù)型隨機變量。,稱p(x, y) 為聯(lián)合密度函數(shù)。,3.3 二維連續(xù)型隨機向量,解 (1)由,得,所以 k=6,(2),(2),3.2.3 邊緣密度函數(shù),巳知 (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 p(x, y)，,則,X 的密度函數(shù)為 ：,Y 的密度函數(shù)為 ：,設連續(xù)型二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù) 為p(x,y)則,從而得到X和Y的概率密度函數(shù)分別為,例3 設(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）兩個邊緣密度.,=5c/24=1,c =24/5,解：(1),解: (2),注意取值范圍,注意積分限,注意取值范圍,故,1.二維均勻分布,3.2.4 兩個重要的二維分布,記為 (X, Y) U (D) .,在求連續(xù)型隨機變量的邊緣