1、第七單元 立體幾何小題必刷卷(十)立體幾何題組一真題集訓1.2014全國卷 如圖X10-1,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體是()A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱圖X10-12.2017全國卷 如圖X10-2,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為()A.90B.63C.42D.36圖X10-23.2017北京卷 某四棱錐的三視圖如圖X10-3所示,則該四棱錐的最長棱的長度為()A.3B.2C.2D.2圖X10-34.2017全國卷 已知圓柱的高為1,它的兩個底面的

2、圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為() A.B.C.D.5.2015廣東卷 若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內,l2在平面內,l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交6.2016全國卷 平面過正方體ABCD - A1B1C1D1的頂點A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.B.C.D.7.2017全國卷 某多面體的三視圖如圖X10-4所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長

3、為2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為()A.10B.12C.14D.16圖X10-48.2017全國卷 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.B.C.D.9.2016全國卷 ,是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號)10.2017全國卷 如圖X10-5,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等

4、邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,DBC,ECA,FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.圖X10-5題組二模擬強化11.2018武漢調研 一個幾何體的三視圖如圖X10-6所示,則它的表面積為()A.28B.20+2C.20+4D.24+2圖X10-612.2018溫州一模 某幾何體的三視圖如圖X10-7所示,則該幾何體的體積是()A.+B.+C.D.圖X10-713.2017懷化四模 在三棱錐A - B

5、CD中,E,F分別是AB,CD的中點,若AD=BC=2,AD與BC所成的角為,EF=,則sin =()A.B.C.D.14.2017合肥二模 若平面截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐與平面平行的棱有()A.0條B.1條C.2條D.1條或2條15.2017廈門二模 如圖X10-8是由正三棱錐與正三棱柱組合而成的幾何體的三視圖,若該幾何體的頂點都在半徑為R的球面上,則R=()A.1B.C.D.圖X10-816.2017廣州二模 在棱長為2的正方體ABCD - A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中點,過C1,B,M作正方體的截面,則這個截面的面積為()A.B.C.D.17.2017鄭州質檢

6、在四面體A - BCD中,AB=CD=10,AC=BD=2,AD=BC=2,則四面體A - BCD外接球的表面積為()A.50B.100C.200D.30018.2017洛陽二模 一個透明密閉的正方體容器中,恰好盛有該容器一半容積的水,任意轉動這個正方體容器,則水面在容器中的形狀可以是:(1)三角形;(2)四邊形;(3)五邊形;(4)六邊形.其中正確的結論是()A.(1)(3)B.(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)19.2017河南六市二聯(lián) 如圖X10-9,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線與粗虛線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體外接球的表面積為.圖X10-92

7、0.2017泉州質檢 如圖X10-10,一張紙的長、寬分別為2a,2a,A,B,C,D分別是其四條邊的中點.現(xiàn)將其沿圖中虛線折起,使得P1,P2,P3,P4四點重合為一點P,從而得到一個多面體.下列關于該多面體的說法中正確的是.(寫出所有正確說法的序號)該多面體是三棱錐;平面BAD平面BCD;平面BAC平面ACD;該多面體外接球的表面積為5a2.圖X10-10解答必刷卷(四)立體幾何題組一真題集訓1.2017全國卷 如圖J4-1,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四

8、面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值.圖J4-12.2017天津卷 如圖J4-2,在三棱錐P - ABC中,PA底面ABC,BAC=90.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN平面BDE;(2)求二面角C - EM - N的正弦值;(3)已知點H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長.圖J4-23.2016全國卷 如圖J4-3,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D - AF - E與二面角C - BE - F都

9、是60.(1)證明:平面ABEF平面EFDC;(2)求二面角E - BC - A的余弦值.圖J4-3題組二模擬強化4.2017石家莊二模 在如圖J4-4所示的多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為直角梯形,ABCD,DAB=90,四邊形ADEF為等腰梯形,EFAD,已知AEEC,AB=AF=EF=2,AD=CD=4.(1)求證:平面ABCD平面ADEF;(2)求直線CF與平面EAC所成角的正弦值. 圖J4-45.2017福州質檢 如圖J4-5所示,梯形ABCD中,ABCD,矩形BFED所在的平面與平面ABCD垂直,且AD=DC=CB=BF=AB.(1)求證:平面ADE平面BFED;(2)若P為

10、線段EF上一點,平面PAB與平面ADE所成的銳二面角為,求的最小值.圖J4-56.2017合肥二模 如圖J4-6所示,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,點E為AD的中點,沿BE將ABE折起至PBE,如圖所示,點P在平面BCDE的射影O落在BE上.(1)求證:BPCE;(2)求二面角B - PC - D的余弦值.圖J4-6小題必刷卷(十)1.B解析 從俯視圖為矩形可以看出,此幾何體不可能是三棱錐或四棱錐,其直觀圖如圖,是一個三棱柱.2.B解析 幾何體的直觀圖如圖所示,所以該幾何體的體積為324+326=63.3.B解析 將四棱錐放在棱長為2的正方體中,該四棱錐為D - BCCB,如圖所示.該四

11、棱錐最長的棱為正方體的體對角線DB,DB=2,故選B.4.B解析 由題可知球心為圓柱的中心,則圓柱底面圓的半徑r=,故圓柱的體積V=1=.5.D解析 若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內,l2在平面內,l是平面與平面的交線,則l至少與l1,l2中的一條相交,故選D.6.A解析 因為平面平面CB1D1,所以平面與平面ABCD的交線m平行于平面CB1D1與平面ABCD的交線l.因為在正方體中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1,所以lB1D1,所以mB1D1.同理,n平行于平面CB1D1與平面ABB1A1的交線.因為平面ABB1A1平面CDD1C1,所以平面CB1D1與平面ABB1A1的交線

12、平行于平面CB1D1與平面CDD1C1的交線CD1,所以nCD1.故m,n所成的角即為B1D1,CD1所成的角,顯然所成的角為60,則其正弦值為.7.B解析 該幾何體為一個三棱柱和一個三棱錐的組合體,其直觀圖如圖所示,各個面中有兩個全等的梯形,其面積之和為22=12.8.C解析 方法一:建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),B(0,0,0),B1(0,0,1),C1,所以=(-2,0,1),=,故異面直線AB1與BC1所成角的余弦值cos =.方法二:如圖,將該直三棱柱補充成直四棱柱,其中CDAB且CD=AB,則可得AB1DC1且AB1=DC1,圖中BC1D即為異面直線AB1與BC

13、1所成的角或所成角的補角.在BC1D中,BC1=,DC1=,BD=,所以cosBC1D=.故異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.9.解析 對于,mn,m,n,則,的位置關系無法確定,故錯誤;對于,因為n,所以可過直線n作平面與平面相交于直線c,則nc,因為m,所以mc,所以mn,故正確;對于,由兩個平面平行的性質可知其正確;對于,由線面所成角的定義和等角定理可知其正確.故正確的有.10.4解析 設ABC的邊長為a cm,0a5,則三個等腰三角形的高為 cm,折起后所得正三棱錐的高為= (cm),所以所得三棱錐的體積為a2= (cm3).令u=25a4-a5,則u=100a3-a4=25a3

14、,其中0a5,當0a0,當4a5時,u0,故a=4為u=25a4-a5在定義域內唯一的極大值點,也是最大值點,所以當a=4時,三棱錐的體積最大,最大值為(4)2=4=4(cm3).11.D解析 如圖所示,三視圖所對應的幾何體是長、寬、高分別為2,2,3的長方體去掉一個三棱柱后剩余的部分,故該幾何體的表面積S=(22)5+122+21+2=24+2.12.A解析 由三視圖可知,該幾何體是由半個圓柱和以圓柱軸截面為底面的四棱錐組成的組合體,其中半圓柱底面半徑為1,高為2,體積為122=,四棱錐的體積為41=,所以該幾何體的體積為+,故選A.13.D解析 如圖,取BD的中點G,連接EG,FG.E,F

15、分別是AB,CD的中點,EGAD,FGBC,又AD與BC所成的角為,EGF即為(或的補角).在EFG中,易知EG=FG=1,EF=,cosEGF=-,sin =,故選D.14.C解析 如圖所示,四邊形EFGH為平行四邊形,則EFGH.EF平面BCD,GH平面BCD,EF平面BCD.EF平面ACD,平面BCD平面ACD=CD,EFCD,CD平面EFGH,同理AB平面EFGH,故選C.15.B解析 正三棱柱的底面邊長為,高為2,設正三棱柱的上、下底面中心分別為O,O1,連接OO1,則該幾何體外接球的球心為OO1的中點H,設正三棱柱底面的一個頂點為A.底面邊長為,O1A=1,又O1H=1,HA=,即

16、外接球的半徑為,故選B.16.C解析 取AA1的中點N,連接MN,NB,MC1,BC1,易知MNBC1,截面為梯形,且MN=BC1=,MC1=BN=,梯形的高為,梯形的面積為(+2)=,故選C.17.C解析 由題意可采用割補法.考慮到四面體A-BCD的四個面為全等的三角形,所以可將四面體A-BCD置于一個長方體中,所以四面體A-BCD的外接球即為長方體的外接球.設長方體的長、寬、高分別為x,y,z,則x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164,設外接球的半徑為R,則有(2R)2=x2+y2+z2=200,即4R2=200,所以外接球的表面積S=4R2=200,故選C.18.B解

17、析 正方體容器中盛有一半容積的水,無論怎樣轉動,其水面總是過正方體的中心.三角形截面不過正方體的中心,故(1)中結論不正確;過正方體的一對相對的棱和中心可作一截面,截面形狀為長方形,故(2)中結論正確;顯然水面在容器中的形狀不可能是五邊形,故(3)中結論不正確;過正方體一平面上相鄰兩邊的中點以及正方體的中心得截面形狀為正六邊形,故(4)中結論正確.故選B.19.解析 根據(jù)三視圖可得該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O - ABCD,正方體的棱長為2,A,D為正方體棱的中點,根據(jù)幾何體可以判斷,外接球球心在過A,D且平行于正方體下底面的截面上.設外接球半徑為R,球心到平面BCO的距離為x,則球心到

18、AD的距離為2-x,R2=x2+()2,R2=12+(2-x)2,解得x=,R=,該多面體外接球的表面積為4R2=.20.解析 由題意得,該多面體是三棱錐,故中說法正確.根據(jù)題意可得,BD=2a,AD=CD=AB=BC=a,分析可得,平面BAD平面BCD,故中說法正確,同理平面BAC平面ACD,故中說法正確.易得多面體外接球的半徑為,則該多面體外接球的表面積為5a2,故中說法正確.解答必刷卷(四)1.解:(1)證明:由題設可得,ABDCBD,從而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中點O,連接DO,BO,則DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC,所以D

19、OB為二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90,所以平面ACD平面ABC.(2)由題設及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直.以O為坐標原點,的方向為x軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,則A(1,0,0),B(0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由題設知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,即E為DB的中點,得E.故=(-1,0,1),=(-2,0,0),=.設n=(x,y,z)是平面DAE

20、的法向量,則即可取n=.設m是平面AEC的法向量,則同理可取m=(0,-1,),則cos=,所以二面角D-AE-C的余弦值為.2.解:如圖,以A為原點,分別以,方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)證明:=(0,2,0),=(2,0,-2).設n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則即不妨取z=1,可得n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得n=0.因為MN平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)

21、為平面CEM的一個法向量.設n2=(x2,y2,z2)為平面EMN的法向量,則因為=(0,-2,-1),=(1,2,-1), 所以不妨取y2=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos=-,于是sin=,所以二面角C - EM - N的正弦值為.(3)依題意,設AH=h(0h4),則H(0,0,h),進而可得=(-1,-2,h),=(-2,2,2).由已知,得|cos|=,整理得10h2-21h+8=0,解得h=或h=,所以,線段AH的長為或.3.解:(1)證明:由已知可得AFDF,AFFE,又DFFE=F,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.(2)過D作

22、DGEF,垂足為G,由(1)知DG平面ABEF.以G為坐標原點,的方向為x軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系G - xyz.由(1)知DFE為二面角D - AF - E的平面角,故DFE=60,則DF=2,DG=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知得,ABEF,所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDC=CD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,所以CEF為二面角C - BE - F的平面角,故CEF=60,從而可得C(-2,0,), 所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,

23、0,0).設n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,則即所以可取n=(3,0,-).設m=(x1,y1,z1)是平面ABCD的法向量,則同理可取m=(0,4),則cos=-,結合圖形得,二面角E - BC - A的余弦值為-.4.解:(1)證明:取AD的中點M,連接EM,由AF=EF=DE=2,AD=4,可知EM=AD,AEDE.又AEEC,DEEC=E,AE平面CDE,AECD.又CDAD,ADAE=A,CD平面ADEF,又CD平面ABCD,平面ABCD平面ADEF.(2)如圖,過點E作EOAD,則EO平面ABCD,過點O作OGDC交BC于點G,以O為原點,分別以, 的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,依題意可得E(0,0,),A(3,0,0),C(-1,4,0),F(2,0,),所以=(3,0,-),=(-4,