1、2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜,確知信號我們經(jīng)常用傅立葉變換求其頻譜函數(shù),以確定它的頻率成分,我們稱為頻譜分析.對于隨機(jī)信號我們也希望借助傅立葉變換來研究信號的頻率成分,這也就是我們所說的功率譜分析. 現(xiàn)代功率譜分析主要有ARMA譜分析.最大似然譜分析.最大頻率分析.最大熵譜分析以及特征植分解等方法. 本節(jié)主要介紹平穩(wěn)隨機(jī)過程的經(jīng)典頻譜分析方法.,2.3.1隨機(jī)過程的功率譜密度,信號頻譜密度存在的條件是它具有有限的能量.隨機(jī)信號的能量一般是無限的,但只要注意到它的平均功率是有限的,我們就可以利用傅立葉變換這一工具. 首先考慮隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)x (t),并截取-T到T的一段,記為xT(t) 由

2、于截取的樣本函數(shù)xT(t)滿足頻譜密度存在的條 件,它存在頻譜密度.,由于樣本函數(shù)的頻譜是樣本空間元素e的函數(shù),用 XT(w,e)表示得 xT(t)的平均功率可以由時(shí)域積分求出: 由帕塞伐爾定理;,可以得到:,上式方括號內(nèi)的部分是樣本函數(shù)xT(t)在單位 頻帶上的功率,稱為樣本的功率譜密度.,如果我們對所有樣本的平均功率W取統(tǒng)計(jì)平均,就得到隨機(jī)過程的功率譜密度 如果x(t)為平穩(wěn)過程,均值必為常數(shù),則 由此可見,平穩(wěn)過程的平均功率等于其均方值或功率譜密度在整個(gè)頻 域上的積分.如果x(t)為各態(tài)歷經(jīng)過程,功率譜可由一個(gè)樣本函數(shù)得到:,平穩(wěn)過程的平均功率和功率譜密度 之間的關(guān)系: 平均功率等于其均

3、方值或功率譜密度在整個(gè)頻 域上的積分.即: 又因?yàn)?RX(0)=EX2(t) 所以:W= RX(0),自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系: -維納-辛欽定理,表征的是功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)之間是傅立葉變換關(guān)系.,2.3.2功率譜密度的性質(zhì),練習(xí)(1):,練習(xí)二:,由于實(shí)平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。下面簡單給出只有正頻率的單邊功率譜密度GX(w) 和雙邊功率譜密度SX(w) 的關(guān)系。,2.3.3聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互功率譜密度,上節(jié)我們曾定義了兩個(gè)聯(lián)合隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的 互相關(guān)函數(shù)，我們也可以用傅立葉變換來定義它們的 互功率譜密度，簡稱互譜密度。定義為：,互譜密度一般用來研究兩個(gè)隨機(jī)過程之和，但 兩個(gè)隨機(jī)過程必須是各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)的。,下面我們給出互譜密度和互相關(guān)函數(shù)之間的傅氏變換關(guān)系。,實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的互譜密度有以下性質(zhì):,性質(zhì)3 如果X(t)和Y(t)互相正交，互譜密度為零。 性質(zhì)4 如果X(t)和Y(t)是互不