1、第三講桿件結構有限元分析,元計算技術部,本講通過對一維桿件進行理論分析和ELAB1.0有限元實現(xiàn)兩種方式來介紹有限元的思想，并給出用有限元方法求解實際問題的流程：,一維桿件有限元理論分析 一維桿件ELAB軟件實現(xiàn),基本方程,基本方程的最終弱形式,建立有限元模型,確定桿單元的形函數(shù),確定單元剛度，總體剛度,帶入邊界求解方程,工程建模,前處理,求解計算及后處理,桿件從構造上說是長度遠大于其截面尺寸的一維構件。在結構力學中常常將承受軸力或扭矩的桿件統(tǒng)稱為桿。根據(jù)桁架或者桿件承受的載荷不同，根據(jù)它們的變形不同可以將桿單元分為二維和三維桁架單元兩種。承受軸向載荷等截面直桿的基本方程如下：,其弱形式為：,

2、基本方程,一維桿件有限元理論分析,根據(jù)虛功原理，方程兩邊乘以虛位移u，平衡方程可以寫為：,其中，右端最后一項可以看作是節(jié)點力情況，所以可以不單獨列出，同時,所以上式可以繼續(xù)寫為：,其中E表示彈性模量，A表示橫截面積，方程左端得到單元的剛度矩陣。,基本方程的最終弱形式,建立有限元模型,現(xiàn)考慮一個由5個長度相同(le=1m)橫截面積不同的桿件構成的一維桿件，各桿彈性模量都為E=1.0e10pa，A1=0.5m2，A2=0.4 m2，A3=0.3 m2，A4=0.2 m2，A5=0.1 m2，如圖1所示，右端給定位移u右=0.1，左端固定位移u左，分析桿件內(nèi)位移分布：,幾何模型,將其劃分為五個單元六

3、個節(jié)點，即每根桿件作為一個單元，每個單元的節(jié)點關系如下圖所示：,單元拓撲關系,確定桿單元的形函數(shù),考慮其中一個桿單元，其兩個端點分別為節(jié)點1，節(jié)點2，基本變量為節(jié)點位移u1，u2:：,設該單元的位移場為u(x)，這里要通過一個線性分布函數(shù)來進行插值以得到單元內(nèi)的未知位移。,定義一個局部坐標系：,由該式可得，在節(jié)點x1 處，=-1，在節(jié)點x2處，=1，如下圖所示局部坐標系：,基于上坐標系來定義用于位移插值的形狀函數(shù)：,確定了形狀函數(shù)后，單元內(nèi)的線性位移場就可以用節(jié)點位移u1，u2來表示：,通常來說形函數(shù)需滿足以下條件： 在單元內(nèi)，一階導數(shù)必須存在； 在單元之間的連接處，位移必須連續(xù)；,推導該問題

4、的單元剛度矩陣表達式,對于基本方程的最終弱形式：,在一個單元內(nèi)：,因此：,由局部坐標系，與整體坐標系的關系式及位移的插值函數(shù)可得：,由上面的關系式可得到：,對u取與u相同的形函數(shù)，并將上面的關系式帶入基本方程的最終弱形式中可得：,確定該問題每個單元的剛度矩陣,將得到的各個單元剛度矩陣按節(jié)點編號進行組裝，可以形成整體剛度矩陣，同時將所有節(jié)點荷載也進行組裝。,剛度矩陣：,節(jié)點位移：,對于本問題沒有節(jié)點力即：,整體剛度方程為：,確定該問題總體剛度矩陣,邊界處理及整體剛度方程求解,邊界條件u1=0，u2=0.1，帶入方程中去掉第一條和第六條方程得到：,求解上方程得到：,則所有的節(jié)點位移為：,一維桿件E

5、LAB1.0軟件實現(xiàn),工程建模,1、點擊“工程向?qū)А边M入公式庫,2、選擇“結構力學”“桁架”“二維直角坐標”,3、選擇“坐標系”,5、選擇“問題類型”,4、選擇“單元類型”,6、定義工程名和工程路徑，完成工程設置,定義材料參數(shù),點擊工具欄“參數(shù)設置”“材料參數(shù)”，如下圖所示：,材料參數(shù)對話框中設定相應的材料參數(shù)，如下圖所示：,前處理,進入GID后要進行FELAC的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化dataproblemtypeFELAC，如下圖所示。,幾何建模： 點擊工具欄中“前處理”按鈕進入GID，建立該工程的幾何模型。,確定問題類型,點擊左側(cè)菜單中,，在GID下方command命令行中輸入（5,0）回車，再輸入（4

6、,0）回車，,再輸入（3,0）回車，再輸入（2,0）回車, 再輸入（1,0）回車, 再輸入（0,0）回車,單擊鼠標中鍵結束，此時桿件創(chuàng)建完畢如下圖所示。,賦予材料屬性：,選擇dataconditions，彈出圖示對話框。選擇,，在下拉菜單中選擇Line trull2，在,Mate num中輸入數(shù)值1，點擊assign，選擇左邊第一條線，按鼠標中鍵結束。依次在Mate num中輸入2、3、4、5，分別為另外四條線賦材料，如下圖所示。,幾何模型建立步驟：,一維桿件模型,材料屬性,在conditions對話框中選擇,， 在下拉菜單中選擇point lea，在對應的輸入框中輸入：u-l:-1，u-D:

7、0，,點擊assign，選擇模型左端點，點擊鼠標中鍵結束，在輸入框中輸入：u-l:-1，u-D:0.1，選擇模型左端點，點擊鼠標中鍵結束，即為模型添加邊界(左端位移固定為0，右端位移為0.1)。如下圖所示。,劃分網(wǎng)格：,選擇Mesh Structured Lines Assign size，此時彈出Enter value window對話框，將值改為10(該值大于所有線中的最大長度，使每一桿件為一個單元)，點擊assign選擇所有線，按鼠標中鍵結束。選擇Mesh generate mesh，對彈出的窗口保持默認設置，劃分網(wǎng)格，彈出網(wǎng)格劃分信息的對話框，單擊View mesh，效果圖如下圖所示。,添加邊界條件：,邊界設定,選擇calculate calculate，在彈出的對話框，點擊OK，保存，前處理完畢。,工程求解,點擊工具欄中“求解計算”按鈕，完成模型的求解計算。,網(wǎng)格尺寸設置,網(wǎng)格劃分信息,網(wǎng)格劃分,后處理,點擊工具欄中的“后處理”按鈕進入GID，查看計算結果，如下圖所示。,結果分析：,本章針對一個變截面一維桿件，通過理論分析和ELAB1.0軟件實現(xiàn)兩種方式來分析，一方面對有限元的分析思路進行整理，一方面對ELAB1.0的操作過程進行介紹，對比兩種方式的計算結果，其結果一致，且通過軟件可以比較直觀的看到結果云圖，而對于復雜的模型，大家可以采