1、極限運(yùn)算法則,本節(jié)討論極限的求法。利用極限的定義，從變量的變化趨勢(shì)來(lái)觀察函數(shù)的極限，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)難于實(shí)現(xiàn)。為此需要介紹極限的運(yùn)算法則。首先來(lái)介紹無(wú)窮小。,一、無(wú)窮小,在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到極限為0的變量。 對(duì)于這種變量不僅具有實(shí)際意義，而且更具有理論價(jià)值，值得我們單獨(dú)給出定義,1.定義:,極限為零的變量稱為無(wú)窮小.,例如,注意,1.稱函數(shù)為無(wú)窮小，必須指明自變量的 變化過(guò)程；,2.無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,3.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).,2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,充分性,意義,1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);,3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):,定理2

2、 在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.,證,注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.,定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,證,推論1 在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.,都是無(wú)窮小,二、無(wú)窮大,絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.,特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大,注意,1.無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,3. 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.,無(wú)界，,不是無(wú)窮大,證,三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,定理4 在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大

3、.,證,意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.,四、極限運(yùn)算法則,定理,證,由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得,有界，,注,此定理對(duì)于數(shù)列同樣成立,此定理證明的基本原則：,(1),(2)可推廣到任意有限個(gè)具有極限的函數(shù), (2)有兩個(gè)重要的推論,推論1,常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.,推論2,定理的條件：,存在,商的情形還須加上分母的極限不為0,定理簡(jiǎn)言之即是：和、差、積、商的極限 等于極限的和、差、積、商,定理中極限號(hào)下面沒(méi)有指明極限過(guò)程，是指對(duì) 任何一個(gè)過(guò)程都成立,五、求極限方法舉例,例1,解,小結(jié):,例2,解,商的法則不能用,由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得,例3,解,(消去零因子法),例4,

4、解,(無(wú)窮小因子分出法),小結(jié):,無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.,例5,解,先變形再求極限.,由以上幾例可見(jiàn)，在應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則求 極限時(shí)，必須注意定理的條件，當(dāng)條件不具備時(shí)，有時(shí)可作適當(dāng)?shù)淖冃危詣?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時(shí)可以利用無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)或無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系求極限。,六、復(fù)合函數(shù)極限,定理 （復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則變量代換法則）,證,由極限定義得,此定理表明：,則可作代換,極限過(guò)程的轉(zhuǎn)化,注,可得類似的定理,無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.,1、主要內(nèi)容:,兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.,2、幾點(diǎn)注意:,（1） 無(wú)窮小（ 大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；,（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小.,（3） 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.,六、小結(jié),3.極限的四則運(yùn)算法則及其推論;,4.極限求法;,a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無(wú)窮小因子分出法求極限; d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,思考題1,思考題2,在某個(gè)過(guò)程中，若 有極限， 無(wú)極限，那么 是否有極限？為什么