1、哥尼斯堡七橋問(wèn)題,知道一筆畫問(wèn)題的提法 掌握段道圖能否一筆畫的判斷方法 會(huì)用添弧的方法求最優(yōu)解 最優(yōu)投遞路線的求法,教學(xué)目標(biāo),重點(diǎn)和難點(diǎn),3,哥尼斯堡七橋問(wèn)題,哥尼斯堡是位于波羅的海東岸一座古老而美麗的城市，布勒格爾河的兩條支流在這里匯合，然后橫貫全城，流入大海。河心有一個(gè)小島。河水把城市分成了塊，于是，人們建造了座各具特色的橋，把哥尼斯堡連成一體。 一天又一天，座橋上走過(guò)了無(wú)數(shù)的行人。不知從什么時(shí)候起，腳下的橋梁觸發(fā)了人們的靈感，一個(gè)有趣的問(wèn)題在居民中傳開了：誰(shuí)能夠一次走遍所有的座橋，而且每座橋都只通過(guò)一次？ 這個(gè)問(wèn)題似乎不難，誰(shuí)都樂(lè)意用它來(lái)測(cè)試一下自己的智力?？墒?，誰(shuí)也沒(méi)有找到一條這樣的路

2、線。以博學(xué)著稱的大學(xué)教授們，也感到一籌莫展。七橋問(wèn)題難住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因七橋問(wèn)題而出了名。,5,歐拉的解法,哥尼斯堡七橋問(wèn)題引起了大數(shù)學(xué)家歐拉的興趣。他知道，如果沿著所有可能的路線都走一次的話，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的時(shí)間。實(shí)際上，歐拉只用了幾天的時(shí)間就解決了七橋問(wèn)題。,6,歐拉的想法是：兩岸的陸地與河中的小島，都是橋梁的連接點(diǎn)，它們的大小、形狀均與問(wèn)題本身無(wú)關(guān)。因此，不妨把它們看作是4個(gè)點(diǎn)。7座橋是7條必須經(jīng)過(guò)的路線，它們的長(zhǎng)短、曲直，也與問(wèn)題本身無(wú)關(guān)。因此，不妨任意畫7條線來(lái)表示它們。就這樣，歐拉將七橋問(wèn)題抽象成了一個(gè)“一筆畫”問(wèn)題，從而否定

3、了問(wèn)題的答案。,7,七 橋 問(wèn) 題,哥尼斯堡七橋 問(wèn)題：如何不重復(fù)地走完七橋后回到起點(diǎn)？,一筆畫問(wèn)題 如何將此圖一筆畫出？,歐拉的推理,凡是一筆畫中出現(xiàn)的交點(diǎn)處，線一出一進(jìn)總 應(yīng)該通過(guò)偶數(shù)條（偶點(diǎn)），只有作為起點(diǎn)和終點(diǎn) 的兩點(diǎn)才有可能通過(guò)奇數(shù)條（奇點(diǎn)）。,歐拉這種處理問(wèn)題的方法標(biāo)志著圖論的誕生,歐拉（L.Euler,1707.4.15- 1783.9.18）著名的數(shù)學(xué)家。生于瑞士的巴塞爾，卒于彼得堡。大部分時(shí)間在俄國(guó)和德國(guó)度過(guò)。他早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識(shí)下開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué), 17歲獲得碩士學(xué)位，畢業(yè)后研究數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家。在世發(fā)表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發(fā)表。其論著幾乎

4、涉及所有數(shù)學(xué)分支。,歐拉在數(shù)學(xué)、物理、天文、建筑以至音樂(lè)、哲學(xué)方面都取得了輝煌的成就。在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，常常見(jiàn)到以歐來(lái)命名的公式、定理、和重要常數(shù)。課本上常見(jiàn)的如、i、e、sin、cos、tg、x、f(x)等，都是他創(chuàng)立并推廣的。歐拉還首先完成了月球繞地球運(yùn)動(dòng)的精確理論，創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)等力學(xué)學(xué)科，深化了望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡的設(shè)計(jì)計(jì)算理論。,觀察下列圖形，完成統(tǒng)計(jì)表,圖6,可以一筆畫的圖形,不能一筆畫的圖形,不連通的圖形不能一筆畫,連通的圖形有可能一筆畫,全都是偶點(diǎn)的連通圖可以一筆畫,奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)的連通圖形不能一筆畫,畫時(shí)以任一點(diǎn)為起點(diǎn)，最后仍回到該點(diǎn),畫時(shí)以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)為

5、終點(diǎn),有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖可以一筆畫,歐拉回路,經(jīng)過(guò)圖中所有邊一次，且訪問(wèn)每個(gè)頂點(diǎn)至少一 次的一個(gè)回路，稱為歐拉回路。 具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖。 注意：通過(guò)圖中所有邊一次且僅一次行遍所有 頂點(diǎn)的通路稱為歐拉通路。,判斷下列圖形能否一筆畫,圖2,下圖是一個(gè)公園的平面圖，要使游人走遍每一條路不重復(fù)，出口和入口應(yīng)設(shè)在哪兒？,中國(guó)郵遞員問(wèn)題,中國(guó)郵遞員問(wèn)題(Chinese Postman Problem, CPP)是由我國(guó)管梅谷教授于1962年首先提出并發(fā)表的 例如：觀察下列段道圖 從郵局出發(fā)，走遍郵區(qū)的所有街道至少一次再回到郵局，按照什么樣的路線投遞郵件才能使總的路程最短？,圖（1）,圖（2）,投遞路線 一筆畫 歐拉回路 最理想的投遞路線，就是該段道圖是一條歐拉回路。圖（2）的投遞路線如下圖（3）。 含有奇點(diǎn)的段道圖不能一筆畫出，有些道路需要重復(fù)走兩次的都要添上一條弧。圖（1）添弧后如圖（4）。,定理1 一個(gè)能夠不重復(fù)的一筆畫出的連通圖中，所以的點(diǎn)一定都是偶點(diǎn)。 定理2 沒(méi)有奇點(diǎn)的連通圖一定能夠從任意一點(diǎn)開始不重復(fù)的一筆畫出。 最優(yōu)投遞路線 重復(fù)的路最短 添弧的總長(zhǎng)度最短 添弧最短的條件 （1）沒(méi)有重疊的添弧 （2）每一個(gè)圈上添弧的總長(zhǎng)度不超過(guò)圈長(zhǎng)的一半 最短的一組添弧稱為最優(yōu)解。,