1、第2章 隨機變量及其分布,第五節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布,問題的提出 離散型隨機變量的函數(shù)的分布 連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布 小結(jié) 布置作業(yè),一、問題的提出,在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù) 更感興趣.,求截面面積 A= 的分布.,比如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，,在比如 ，已知 t=t0 時刻噪聲電壓 V 的分布，,求功率 W=V2/R ( R 為電阻）的分布等.,設(shè)隨機變量 X 的分布已知，Y=g (X) (設(shè)g 是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面進行討論.,這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.,二、離散型隨機變量函數(shù)的分布,解： 當 X 取值 1，2，5

2、 時， Y 取對應(yīng)值 5，7，13，,而且X取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.,如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它們作適當 并項即可.,一般地，若X是離散型 r.v ，X 的分布律為,則 Y=g(X),則 Y=X2 的分布律為：,三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,解 設(shè)Y的分布函數(shù)為 FY(y)，,FY(y)=P Y y = P 2X+8 y ,=P X = FX( ),于是Y 的密度函數(shù),故,注意到 0 x 4 時，,即 8 y 16 時，,此時,Y=2X+8,當 y0 時,注意到 Y=X2 0 ，故當 y 0 時， .,解 設(shè)Y 和 X 的分布函數(shù)分別為

3、和 ，,則 Y=X2 的概率密度為：,求導(dǎo)可得,若,從上述兩例中可以看到，在求PYy 的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X) y 中解出X, 從而得到與 g(X) y 等價的X 的不等式 .,用 代替 X2 y ,這樣做是為了利用已知的 X的分布，從而求出相應(yīng)的概率.,這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法.,例4 設(shè)隨機變量X的概率密度為,求 Y = sinX 的概率密度.,當 y 0 時,當 y 1時,故,解,注意到,解 當 0 y 1 時,例4 設(shè)隨機變量 X 的概率密度為,求 Y = sinX 的概率密度.,=P0 X arcsiny +P - arcsiny X ,而,求導(dǎo)得:,例5

4、 已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù), 證明Y=F(X)服從0,1上的均勻分布.,又由于X的分布函數(shù)F是嚴格遞增的連續(xù)函數(shù), 其反函數(shù) F-1 存在且嚴格遞增.,證明 設(shè) Y 的分布函數(shù)是 G(y) ,于是,對 y 1 , G (y) = 1;,對 y 0 , G (y) = 0;,由于,對0y1,G(y)=PY y,=PF(X) y,=PX (y),=F( (y)= y,即Y的分布函數(shù)是,求導(dǎo)得Y的密度函數(shù),可見, Y 在0,1上服從的均勻分布.,本例的結(jié)論可應(yīng)用在在計算機模擬中,下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出隨機變量函數(shù)的概率密度 .,其中，,x=h (y) 是 y=g (x) 的反函數(shù) .,定理 設(shè) X是一個取值于區(qū)間a,b，具有概率密度 f(x)的連續(xù)型 r.v,又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，且對于任意 x, 恒有 或恒有 ，則Y=g(X)是一 個連續(xù)型r.v，它的概率密度為,解,四、小結(jié),對于連續(xù)型隨機變量，在求 Y= g (X) 的分布時，關(guān)鍵的一步是把事件 g(X) y 轉(zhuǎn)化為X在一定范