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1、第二章推理與證明復習小結,推理與證明,推理,證明,合情推理,演繹推理,直接證明,數(shù)學歸納法,間接證明,比較法,類比推理,歸納推理,分析法,綜合法,反證法,知識結構,一.綜合法,證,證明: 要證 只需證 只需證 只需證 只需證 因為 成立. 所以 成立.,二.分析法,三:反證法,問題一: 求證:兩條相交直線有且只有一個交點.,注:1.結論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn), 是唯一性問題,常用反證法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少兩個.,問題二:求證一元二次方程至多 -有兩個不相等的實根.,注:所謂至多有兩個,就是不可能有三個,要證“至多有兩個不相等的實根”只要證明它的反面“有三個不相

2、等的實根”不成立即可.,問題:如圖;已知L1、L2 是異面直線且 A、B L1,C、D L2, 求證;AC,SD也是異面直線.,L1,L2,五.歸納、類比、猜想、證明,例:平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,證明交點的個數(shù)f(n)等于n(n-1)/2.,證:(1)當n=2時,兩條直線的交點只有1個,又f(2)=2(2-1)/2=1,因此,當n=2時命題成立.,(2)假設當n=k(k2)時命題成立,就是說,平面內(nèi)滿足 題設的任何k條直線的交點個數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.,以下來考慮平面內(nèi)有k+1條直線的情況.任取其中 的1條直線,記作l.由歸納假設,除l以外的其他k條

3、直線的交點個數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.,另外,因為已知任何兩條直線不平行,所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交,有k個交點.,又因為已知任何三條直線不過同一點,所以上面的k個交點兩兩不相同,且與平面內(nèi)其他的k(k-1)/2個 交點也兩兩不相同.,從而平面內(nèi)交點的個數(shù)是 k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)(k+1)-1/2.,這就是說,當n=k+1時,k+1條直線的交點個數(shù)為: f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.,根據(jù)(1)、(2)可知,命題對一切大于1的正整數(shù)都成立.,說明:用數(shù)學歸納法證明幾何問題,重難點是處理好當 n=k+1時利用假設結合幾何知識證明命題成立.,注:在上例的題設條件下還可以有如下二個結論:,(1)設這n條直線互相分割成f(n)條線段或射線, -則: f(n)=n2.,(2)這n條直線把平面分成(n2+n+2)/2個區(qū)域.,練習1:凸n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形的對角線 -的條數(shù)f(n+1)=f(n)+_.,n-1,練習2:設有通過一點的k個平面,其中任何三個平面或 三個以上的平面不共有一條直線,這k個平面將 空間分成f(k)個區(qū)域,則k+1個平面將空間分成 f(k+1)=f(k)+_個區(qū)域.,2k,:平面內(nèi)有n條直線

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