1、微積分,第二章 極限,數(shù)列的極限,函數(shù)的極限,無窮小與無窮大,極限運(yùn)算法則,極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限,無窮小的比較,函數(shù)的連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),二、數(shù)列的有關(guān)概念,四、收斂數(shù)列的性質(zhì),五、小結(jié) 思考題,三、數(shù)列極限的定義,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、引例,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,播放,劉徽,一、引例,第一節(jié) 數(shù)列的極限,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,第一節(jié) 數(shù)列的極限,2、截丈問題：,“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,第一節(jié) 數(shù)列的極限,2、有界性,第一節(jié) 數(shù)列的極限,3、單調(diào)性,為單調(diào)增數(shù)列；,單調(diào)減數(shù)列

2、,單調(diào)增數(shù)列和單調(diào)減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.,第一節(jié) 數(shù)列的極限,例如,第一節(jié) 數(shù)列的極限,無界, 單調(diào)遞增,有界, 單調(diào)遞減,有界, 不單調(diào),有界, 單調(diào)遞增,4、子數(shù)列 (subsequence),注意：,例如，,第一節(jié) 數(shù)列的極限,播放,三、數(shù)列極限的定義(Limit of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,問題:,當(dāng) 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問題:,“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻畫它.,通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,第一節(jié) 數(shù)列的極限,第一節(jié) 數(shù)列的極限,如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.,注意：,第一節(jié) 數(shù)列的極限,幾何解釋:,其

3、中,第一節(jié) 數(shù)列的極限,1. 數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,例1,證,所以,注意：,第一節(jié) 數(shù)列的極限,2. 用定義證數(shù)列極限存在時, 關(guān)鍵是任意給定 尋找N, 但不必要求最小的N.,例2,證,第一節(jié) 數(shù)列的極限,四、收斂數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)1（極限的唯一性）,收斂數(shù)列的極限必唯一.,證,由定義,故收斂數(shù)列不可能有兩個極限.,第一節(jié) 數(shù)列的極限,收斂數(shù)列必為有界數(shù)列.,證,由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.,推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.,性質(zhì)2（有界性）,第一節(jié) 數(shù)列的極限,推論,性質(zhì)3（保號性）,證,這個定理表明 若數(shù)列的極限為正（或負(fù)），則 該數(shù)列從某一項開始以后所有項也為正（或負(fù)）

4、.,第一節(jié) 數(shù)列的極限,性質(zhì)4（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）,這個定理表明 若數(shù)列有兩個不同的子數(shù)列收斂于 不同的極限，則該數(shù)列是發(fā)散的.,第一節(jié) 數(shù)列的極限,五、小結(jié) 思考題,數(shù)列:研究其變化規(guī)律;,數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義;,收斂數(shù)列的性質(zhì): 唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列的收斂性.,第一節(jié) 數(shù)列的極限,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、引例,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、引例,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，

5、以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、引例,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、引例,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、引例,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、引例,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、引例,“割之彌細(xì)，所失彌少，

6、割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、引例,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、引例,第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequence),第一節(jié) 數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的定義(Lmint of a sequen