1、可線性化的一元非線性回歸,多重線性回歸簡介,前一節(jié)，我們學習了一元線性回歸分析問題，在實 際應(yīng)用中，有些變量之間并不是線性相關(guān)關(guān)系，但可以 經(jīng)過適當?shù)淖儞Q，把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問 題。,可線性化的一元非線性回歸,常見的幾種變換形式：,1、雙曲線,令,2、冪函數(shù)曲線,令,化非線性回歸為線性回歸,變形,3、指數(shù)函數(shù)曲線,令,變形,4、負指數(shù)函數(shù)曲線,令,化非線性回歸為線性回歸,變形,5、對數(shù)函數(shù)曲線,令,6、S型（Logistic）曲線,令,化非線性回歸為線性回歸,變形,例1 測定某肉雞的生長過程，每兩周記錄一次雞的重量， 數(shù)據(jù)如下表,由經(jīng)驗知雞的生長曲線為Logistic曲線，且極限生

2、長量 為k=2.827，試求y對x的回歸曲線方程。,解 由題設(shè)可建立雞重y與時間x的相關(guān)關(guān)系為,令,則有,列表計算,所以,所以所求曲線方程為,上機操作,輸入原始數(shù)據(jù),上機操作,計算,上機操作,上機操作,上機操作,是y*，而不是y,自變量,上機操作,回歸方程，還要回代系數(shù),多重回歸分析,在實際問題中，自變量的個數(shù)可能多于一個，隨機變量 y與多個可控變量x1,x2,x3,xk之間是否存在相關(guān)關(guān)系，則屬于多重（元）回歸問題。本節(jié)討論多重線性回歸。,多重線性回歸模型,隨機變量 與 之間的線性關(guān)系,(1),其中,未知,則（1）式稱為多重線性回歸模型。,多重線性回歸模型,若對變量 與 分別作n次觀測，則可

3、得 一個容量為n的子樣,(2),其中,為待定參數(shù)，稱為回歸系數(shù)。,（2）式含有k+1個參數(shù)，故觀測次數(shù)應(yīng)滿足nk+1。,則有,多重線性回歸模型的矩陣形式,記,則（2）有矩陣形式,其中,確定 的最小二乘法,考慮多元函數(shù),目標：確定 使 最小,方法：,解得,多重線性回歸方程,線性回歸方程的有效性檢驗方差分析法,線性回歸方程 是否有統(tǒng)計意義，可檢驗假設(shè),是否成立,方法：方差分析法，將總離差平方和分解,線性回歸方程的有效性檢驗方差分析法,回歸平方和，反映線性關(guān)系對觀測結(jié)果產(chǎn)生的數(shù) 據(jù)波動，SSR越大，線性相關(guān)關(guān)系越強。,剩余平方和（或殘差平方和），反映除線性因素之 外的其它因素對觀測結(jié)果產(chǎn)生的數(shù)據(jù)波動

4、，SSE越大， 則其它因素對Y的影響越大。,線性回歸方程的有效性檢驗方差分析法,在H0成立的條件下，可以證明：,（n為觀測次數(shù)，k為自變量個數(shù)）,構(gòu)造F統(tǒng)計量,當 時，拒絕H0。,回歸系數(shù)的統(tǒng)計檢驗,回歸方程的有效性檢驗，只是解決了 與 之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，至于變量 對 的影響是否 有統(tǒng)計意義，無從看出，因此，還需對回歸系數(shù) 是否 為0作統(tǒng)計檢驗。,提出假設(shè),如果H0成立，可以證明統(tǒng)計量,當 時，拒絕H0。,利用回歸方程作預(yù)測及控制,對于給定的,點估計值,置信水平為 的預(yù)測區(qū)間為,例2 某種水泥在凝固時放出的熱量Y（cal/g）與水泥中 下列4種化學成分有關(guān)：,的成分（%）,的成分（%）,的成分（%）,的成分（%）,現(xiàn)記錄了13組觀測數(shù)