1、第八章 方差分析與回歸分析,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動(dòng)中，我們經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多，例如影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對(duì)產(chǎn)量有顯著影響，就要先做試驗(yàn)，然后對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析，作出判斷。方差分析就是分析測(cè)試結(jié)果的一種方法。,引 言,基 本 概 念,試驗(yàn)指標(biāo)試驗(yàn)結(jié)果。,可控因素在影響試驗(yàn)結(jié)果的眾多因素中，可人為 控制的因素。,水平可控因素所處的各種不同的狀態(tài)。每個(gè) 水平又稱為試驗(yàn)的一個(gè)處理。,單因素試驗(yàn)如果在一項(xiàng)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素改變， 其它的可控因素不變，則該類試驗(yàn)稱 為單因素試驗(yàn)。,引例,例1 （燈絲的配料方案優(yōu)

2、選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機(jī)抽樣，測(cè)量其使用壽命（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)如下：,試驗(yàn)指標(biāo)燈泡的使用壽命,可控因素（唯一的一個(gè)） 燈絲的配料方案,四個(gè)水平四種配料方案（甲乙丙?。?因此，本例是一個(gè)四水平的單因素試驗(yàn)。,引 例,用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為 四個(gè)總體。假設(shè)X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且服從方差 相同的正態(tài)分布，即XiN（i，2）（i=1，2，3，4）,本例問(wèn)題歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè) H0：1= 2= 3= 4 是否成立。,單因素方差分析的目的：通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)判斷因素 A 的不同水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)是否有影響。,設(shè) A 表示欲考

3、察的因素，它的 個(gè)不同水平，對(duì)應(yīng)的指標(biāo)視作 個(gè)總體 每個(gè)水平下,我們作若干次重復(fù)試驗(yàn)： （可等重復(fù)也可不等重復(fù)），同一水平的 個(gè)結(jié)果，就是這個(gè)總體 的一個(gè)樣本：,單因素試驗(yàn)的方差分析,單因素試驗(yàn)資料表,縱向個(gè)體間的差異稱為隨機(jī)誤差（組內(nèi)差異），由試驗(yàn)造成；橫向個(gè)體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。,由于同一水平下重復(fù)試驗(yàn)的個(gè)體差異是隨機(jī)誤差，所以設(shè)：,其中 為試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布,方差分析的線性模型,單因素試驗(yàn)的方差分析的數(shù)學(xué)模型,具有方差齊性。,相互獨(dú)立，從而各子樣也相互獨(dú)立。,首先，我們作如下假設(shè)：,即,令 （其中 ）稱為一般平均值。,稱為因素A的第 個(gè)水

4、平 的效應(yīng)。,則線性統(tǒng)計(jì)模型變成,于是檢驗(yàn)假設(shè)：,等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)：,顯然有：,整個(gè)試驗(yàn)的均值,考察統(tǒng)計(jì)量,經(jīng)恒等變形，可分解為：,其中,反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。,如果H0 成立，則SSA 較小。,若H0成立，則,總離差平方和,反映的是重復(fù)試驗(yàn)種隨機(jī)誤差的大小。,若假設(shè) 成立，則,將 的自由度分別記作,則,（記 ，稱作均方和）,（各子樣同分布）,則,（記 ，稱作均方和）,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 ，由,得H0 的拒絕域?yàn)椋?F 單側(cè)檢驗(yàn),結(jié)論：方差分析實(shí)質(zhì)上是假設(shè)檢驗(yàn)，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計(jì)量，對(duì)同方差的多個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。單因素試驗(yàn)中兩個(gè)水平的均值檢驗(yàn)

5、可用第七章的T檢驗(yàn)法。,（1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計(jì)意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時(shí)作標(biāo)記 ；,約 定,（2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異 有統(tǒng)計(jì)意義），或稱因素A的影響顯著，作標(biāo)記 ；,（3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標(biāo)記（ ）；,（4）若 ，則稱因素A無(wú)顯著影響（差異無(wú)統(tǒng)計(jì)意義）。,注意：在方差分析表中，習(xí)慣于作如下規(guī)定：,簡(jiǎn)便計(jì)算公式：,其中,同一水平下觀測(cè)值 之和,所以觀測(cè) 值之和,例2 以 A、B、C 三種飼料喂豬，得一個(gè)月后每豬 所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。,解：,解：,不同的飼料對(duì)豬的體重的影響極有統(tǒng)計(jì)意義。,方差分析表,定理 在單因

6、素方差分析模型中，有,如果H0不成立，則,所以，,即H0不成立時(shí)，,有大于1的趨勢(shì)。,所以H0為真時(shí)的小概率事件應(yīng)取在F值較大的一側(cè)。,多重比較法,拒絕H0，接受H1, 表示總體均數(shù)不全相等 哪兩兩均數(shù)之間相等？ 哪兩兩均數(shù)之間不等？ 需要進(jìn)一步作多重比較。,方差分析結(jié)果 不拒絕H0，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不足， 分析終止。,常用多重比較法,最小顯著差數(shù)法(Least significant difference，簡(jiǎn)稱LSD法),q法(又稱SNK (student-Newman-Keuls)檢驗(yàn)法),q測(cè)驗(yàn)方法是將r個(gè)平均數(shù)由大到小排列后，根據(jù)所比較的兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個(gè)平均數(shù)間的極

7、差分別確定最小顯著極差LSR值的。,Tukey法(又稱honestly significant difference，簡(jiǎn)稱HSD ),回歸這一術(shù)語(yǔ)是1886年英國(guó)生物學(xué)家高爾頓在研究遺傳現(xiàn)象時(shí)引進(jìn)的.,他發(fā)現(xiàn): 雖然高個(gè)子的先代會(huì)有高個(gè)子的后代, 但后代的增高并不與先代的增高等量. 他稱這一現(xiàn)象為“向平常高度的回歸”.,一 回歸分析的基本概念,爾后,他的朋友麥爾遜等人搜集了上千個(gè)家庭成員的身高數(shù)據(jù):,y=0.516x+33.73 (英寸),分析出兒子的身高y和父親的身高x大致為如下關(guān)系：,1 英寸=2.54cm,這意味著, 若父親身高超過(guò)父代平均身高6英寸, 那么其兒子的身高大約只超過(guò)子代平均

8、身高3英寸, 可見(jiàn)有向平均值返回的趨勢(shì).,如今對(duì)回歸這一概念的理解并不是高爾頓的原意, 但這一名詞卻一直沿用下來(lái), 成為統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的概念之一.,6英寸,3英寸,在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，處于同一個(gè)過(guò)程中的一些變量，往往是相互依賴和相互制約的，它們之間的相互關(guān)系大致可分為兩種：,相關(guān)關(guān)系問(wèn)題,（1）確定性關(guān)系函數(shù)關(guān)系；,（2）非確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系；,相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為這些變量之間有一定的依賴關(guān)系，但這種關(guān)系并不完全確定，它們之間的關(guān)系不能精確地用函數(shù)表示出來(lái)，這些變量其實(shí)是隨機(jī)變量，或至少有一個(gè)是隨機(jī)變量。,類似的變量間的關(guān)系在大自然和社會(huì)中屢見(jiàn)不鮮.,例如,小麥的穗長(zhǎng)與穗重的關(guān)系;某班學(xué)生最后一次考試分?jǐn)?shù)

9、與第一次考試分?jǐn)?shù)的關(guān)系;溫度、降雨量與農(nóng)作物產(chǎn)量間的關(guān)系;人的年齡與血壓的關(guān)系;最大積雪深度與灌溉面積間的關(guān)系;家庭收入與支出的關(guān)系等等.,函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別,相關(guān)關(guān)系,影響,的值，不能確定。,函數(shù)關(guān)系,決定,的值，,因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)上討論兩變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，是設(shè)法 確定：在給定自變量 的條件下，因變量 的 條件數(shù)學(xué)期望,回歸分析的概念,研究一個(gè)隨機(jī)變量與一個(gè)（或幾個(gè)）可控變量之間 的相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法稱為回歸分析。,只有一個(gè)自變量的回歸分析稱為一元回歸分析；多 于一個(gè)自變量的回歸分析稱為多元回歸分析。,引進(jìn)回歸函數(shù),稱為回歸方程,在這一講里, 我們主要討論的是一元線性回歸. 它是處理兩個(gè)變

10、量之間關(guān)系的最簡(jiǎn)單的模型. 它雖然比較簡(jiǎn)單, 但我們從中可以了解到回歸分析的基本思想、方法和應(yīng)用.,一元線性回歸,一元線性回歸,一元線性回歸,為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響, 在山上建立了一個(gè)觀測(cè)站, 測(cè)量了最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積 y, 得到連續(xù)10年的數(shù)據(jù)如下表:,讓我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何建立一元線性回歸方程.,年序 最大積雪深度x(米) 灌溉面積y(公頃) 1 5.1 1907 2 3.5 1287 3 7.1 2693 4 6.2 2373 5 8.8 3260 6 7.8 3000 7 4.5 1947 8 5.6 2273 9 8.0 3113 10 6.4 2493

11、,為了研究這些數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含的規(guī)律性, 我們由10對(duì)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖.,從圖看到, 數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近, 這告訴我們變量x和y之間大致可看作線性關(guān)系.,從圖中還看到, 這些點(diǎn)又不完全在一條直線上, 這表明x和y的關(guān)系并沒(méi)有確切到給定x就可以唯一確定y的程度.,事實(shí)上, 還有許多其它因素對(duì)y產(chǎn)生影響,如當(dāng)年的平均氣溫、當(dāng)年的降雨量等等, 都是影響y取什么值的隨機(jī)因素.,一元線性回歸模型,如果試驗(yàn)的散點(diǎn)圖如下圖呈直線狀,設(shè)隨機(jī)變量Y依賴于自變量x，作n次獨(dú)立試驗(yàn)，得n對(duì)觀測(cè)值： 稱這n對(duì)觀測(cè)值為容量為n的一個(gè)子樣，若把這n對(duì)觀測(cè)值在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，得到試驗(yàn)的散點(diǎn)圖.,因此,則設(shè),其中 是

12、與 無(wú)關(guān)的未知常數(shù)。,（9.1）,一元線性回歸模型,一般地，稱如下數(shù)學(xué)模型為一元線性模型,而 稱為回歸函數(shù)或回歸方程。,稱為回歸系數(shù)。,回歸函數(shù)（方程）的建立,由觀測(cè)值 確定的回歸函數(shù) ，應(yīng)使得 較小。,考慮函數(shù),問(wèn)題：確定 ，使得 取得極小值。,這是一個(gè)二元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題。,回歸方程的建立,令,回歸方程的建立,記,表示對(duì) 的估計(jì)值,則變量 對(duì) 的回歸方程為,最小二乘法,回歸方程有效性的檢驗(yàn),對(duì)于任何一組數(shù)據(jù) ，都可按最 小二乘法確定一個(gè)線性函數(shù)，但變量 與 之間是否真 有近似于線性函數(shù)的相關(guān)關(guān)系呢？尚需進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。,假設(shè),如果 成立，則不能認(rèn)為 與 有線性相關(guān)關(guān)系。,三種檢驗(yàn)方法：F

13、檢驗(yàn)法、t-檢驗(yàn)法、r檢驗(yàn)法。,回歸方程有效性的F檢驗(yàn)法,記,總離差平方和，反映觀測(cè)值與平均值的偏差程度。,經(jīng)恒等變形，將 分解,回歸平方和，反映回歸值與平均值的偏差，揭示 變量 與 的線性關(guān)系所引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)。,剩余平方和，反映觀測(cè)值與回歸值的偏差，揭示 試驗(yàn)誤差和非線性關(guān)系對(duì)試驗(yàn)結(jié)果所引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)。,如果 為真，則,于是，統(tǒng)計(jì)量,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 ，,（1）當(dāng) 時(shí)，拒絕 ，即可認(rèn)為變量 與 有線性相關(guān)關(guān)系；,（2）當(dāng) 時(shí)，接受 ，即可認(rèn)為變量 與 沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系；,此時(shí)，可能有以下幾種情況：,（2） 對(duì) 有顯著影響，但這種影響不能用線性關(guān)系 表示，應(yīng)作非線性回歸；,（3）除 之外，還有

14、其它變量對(duì) 也有顯著影響，從 而削弱了 對(duì) 的影響，應(yīng)考慮多元回歸。,（1） 對(duì) 沒(méi)有顯著影響，應(yīng)丟棄自變量 ；,回歸方程有效性的r檢驗(yàn)法,記,樣本的相關(guān)系數(shù),可反映變量 與 之間的線性相關(guān)程度。,因?yàn)?回歸方程有效性的r檢驗(yàn)法,記,樣本的相關(guān)系數(shù),越大，變量 與 之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)。,因?yàn)?（1）,（2） 時(shí)，,（3） 時(shí)，,與 有線性相關(guān)關(guān)系；,與 無(wú)線性相關(guān)關(guān)系；,計(jì)算,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 ，查相關(guān)系數(shù)的臨界值表,如果 ，則拒絕 ，即線性回歸方程有效； 否則，接受 ，即線性回歸方程無(wú)效。,回歸方程有效性的t檢驗(yàn)法,統(tǒng)計(jì)量,H0成立時(shí)，,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 ，H0的拒絕域?yàn)?即當(dāng) 時(shí)，變量 與 有線性相關(guān)關(guān)系。,試求出 與 的關(guān)系，并判斷是否有效。,例1 為了研究大豆脂肪含量 和蛋白質(zhì)含量 的關(guān)系， 測(cè)定了九種大豆品種籽粒內(nèi)的脂肪含量和蛋白質(zhì)含量， 得到如下數(shù)據(jù),解 （1）描散點(diǎn)圖,（2）建立模型,由散點(diǎn)圖，設(shè)變量 與 為線性相關(guān)關(guān)系：,確定回歸系數(shù) 和 ：,所以，所求的回歸方程為,（