1、,回歸分析和曲線擬合 生產(chǎn)過(guò)程和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,常用的變量大體可分兩類(lèi)。一類(lèi)為確定性變量,另一類(lèi)為隨機(jī)變量。確定性變量是指兩個(gè)或多個(gè)變量之間有確定的關(guān)系.即其中某個(gè)變量的每個(gè)值,都與一變量的一個(gè)或幾個(gè)完全確定的值相對(duì)應(yīng),即它們之間存在著,函數(shù)關(guān)系: 例如,理想氣體的壓力P與摩爾體積V間,存在著確定的函數(shù)關(guān)系:,但在實(shí)際問(wèn)題中,由于變量之間的關(guān)系比較復(fù)雜,或由于生產(chǎn)或?qū)嶒?yàn)過(guò)程中不可避免地存在著誤差,使變量之間的關(guān)系具有不確定性,也就是說(shuō),某個(gè)變量對(duì)應(yīng)的,不是一個(gè)或幾個(gè)確定的值,而是整個(gè)集合的值,這時(shí),變量x和y間的關(guān)系,就稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系。例如,流體在圓形直管中做湍流時(shí)的情形,通過(guò)量綱分析可知,努塞爾特

2、數(shù)Nu、普蘭特,數(shù)Pr和雷諾數(shù)Re之間存在著如下相關(guān)關(guān)系: 這種關(guān)系的不確定性,表現(xiàn)為式中a和b的數(shù)值,在每次測(cè)量中不盡相同。不確定的原因,首先是影響該過(guò)程的因素甚多,有些因素至今尚未弄清;其次是受到實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的偶然因素影響。這,種不確定性關(guān)系并不說(shuō)明上述三個(gè)量綱為1的數(shù)群之間無(wú)規(guī)律可循。相反,通過(guò)大量試驗(yàn),人們發(fā)現(xiàn),a和b的數(shù)值總是圍繞著某一定值波動(dòng),而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多,a、b的數(shù)值趨于穩(wěn)定。a、b的穩(wěn)定值,可作為a和b的最佳估計(jì)值。在一定條件下,a=0.023,b=0.8。由此可見(jiàn),通過(guò)大量試驗(yàn),是可以找到隱藏在隨機(jī)性后面的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的。,回歸分析和曲線擬合是一種處理變量相關(guān)關(guān)系的數(shù)理

3、統(tǒng)計(jì)方法。用它可以尋找隱藏在隨機(jī)性后面的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 函數(shù)與相關(guān)是兩種不同類(lèi)型的變量關(guān)系,它們之間并無(wú)嚴(yán)格界限。一方面,相關(guān)的變量之間,并無(wú)確定的關(guān)系,但在一定的條件下,從一定的統(tǒng)計(jì)意,義上看,它們之間又可能存在著某種確定的函數(shù)關(guān)系。另一方面,由于實(shí)際測(cè)定的數(shù)據(jù)中,總存在著誤差,即使是確定性變量,也會(huì)出現(xiàn)某些非確定性結(jié)果。 6.1一元線性回歸,一元線性回歸處理的是兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系。所用的數(shù)學(xué)模型為一元線性代數(shù)模型,其模型方程式是 對(duì)這種模型參數(shù)的估計(jì),就是根據(jù)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)(x1, y1)、(x2, y2)、(xi, yi)、(xn, yn),確定式(6-,1)中a、b的估計(jì)值。 在實(shí)際體系

4、中,自變量x與因變量y之間服從線性關(guān)系的情況雖然不多,但在不少情況下,x、y之間存在著某種函數(shù)組合關(guān)系。例如f1 (x, y),f2 (x, y),設(shè)兩個(gè)函數(shù)之間服從線性關(guān)系,f1與f2是不含待定系數(shù)的已知函數(shù)。若把f1 (x,y)與f2 (x,y)分別視為自變量與因變量,則仍可以借用線性模型去估計(jì)其參數(shù)值。這種方法稱(chēng)為化直法。它在化學(xué)化工的實(shí)際問(wèn)題中是常見(jiàn)的。例如單分子基元反應(yīng)AB的動(dòng)力學(xué)方程式為,對(duì)上式積分得 式中,cA-t是不呈線性關(guān)系的函數(shù)。若對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),上式可化為lncA-t的線性函數(shù):,又例如,按照阿侖尼烏斯定律,反應(yīng)速率常數(shù)k與溫度T之間不呈線性關(guān)系: 但lnk與1/T則呈

5、線性關(guān)系:,這些都是屬于可化為線性關(guān)系的例子。 一元線性代數(shù)模型中的待定參數(shù)a和b,稱(chēng)為“估計(jì)值”。之所以稱(chēng)為“估計(jì)”值,是因?yàn)閍,b的值是從實(shí)驗(yàn)值中通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法確定的。,圖6-1一元線性回歸,6.1.1方法概述 設(shè)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(x1,y1)、(x2,y2)、(xn,yn),自變量x與因變量y存在著式(6-1)的關(guān)系。當(dāng)x取值為xi時(shí),y的測(cè)定值為yi,計(jì)算值為yi*,并有 由于參數(shù)a,b為未知值,故yi*也是未知值。若將全部實(shí)驗(yàn),數(shù)據(jù)標(biāo)繪在x-y圖中(見(jiàn)圖6-1),由于各種因素的影響,它們不會(huì)全部落在一條直線上,即n個(gè)yi不會(huì)與n個(gè)yi*完全重合,它們將隨機(jī)地分布在與xi呈線性關(guān)系的y

6、i*的周?chē)?。以i表示它們之間的差值,則有 這里i就是誤差。它反映了xi使yi偏離直線的各種影響因素的總和。,現(xiàn)在,要尋找一條最靠近各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線,這條直線稱(chēng)為回歸直線。由于回歸直線是一切直線中最接近各數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)的,用它代表x與y之間的線性關(guān)系,比任何其他直線更為可靠。究竟如何確定回歸曲線中的參數(shù)a和b呢?目前最常用的方法就是最小二乘法,即殘差平方和最小法。 式(6-3)中的誤差i又稱(chēng)為殘差,表示第i個(gè)數(shù)據(jù)與回歸直線的偏離程度,則殘差平方和,Q表示全部數(shù)據(jù)與回歸直線的總偏離程度。顯然Q是a和b的函數(shù): 不用殘差和i的原因是i有正有負(fù),相加時(shí)可能彼此抵 消,從而不能反映總的偏離程度,而

7、用殘差的平方和不會(huì)發(fā)生,這種現(xiàn)象。 由多元函數(shù)的極值理論可知,要使Q值最小,a、b必須滿足下列條件:,即得 式(6-6)稱(chēng)為一元線性回歸的正規(guī)方程組,通過(guò)求解該方程組,可得:,式(6-7)中等號(hào)右側(cè)的量全部取自原始數(shù)據(jù)。因此,就可以確定回歸系數(shù)a和b,完成參數(shù)估計(jì)。,為了簡(jiǎn)化a和b的表達(dá)式,定義: 式中,、分別為xi和yi的平均值。 xi與之差(xi-),稱(chēng)為xi的離差;全部xi的離差平方和,稱(chēng)為x的,離差平方和,記為L(zhǎng)xx:,yi與之差(yi-),稱(chēng)為yi的離差;全部yi的離差平方和,稱(chēng)為y的 離差平方和,記為L(zhǎng)yy,同理 再令Lxy為全部xi的離差與yi的離差乘積的總和:,將以上關(guān)系式代入

8、式(6-7),得,由式(6-12)第二式可以看出,回歸直線是通過(guò)點(diǎn)(,)的。從 力學(xué)觀點(diǎn)看,(,)相當(dāng)于n個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)(xi,yi)的重心,回歸直線是 通過(guò)重心的。 應(yīng)當(dāng)指出: 殘差i只用yi-y*i表示時(shí),表明yi有測(cè)量誤差,而xi無(wú)測(cè)量誤差;,或表示與yi相比,xi的誤差很小。因此,測(cè)量誤差使實(shí)驗(yàn)點(diǎn)偏離回歸直線,都表現(xiàn)為yi偏離y*i。如果xi的誤差與yi的誤差相比,不可忽略,則兩者都必須考慮。這種情況比較復(fù)雜,此處不予介紹。 求回歸方程的計(jì)算過(guò)程中,不需要事先假定兩個(gè)變量之間必須有相關(guān)關(guān)系。即使是一組雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù),也可以用最小二乘法繪制一條直線,以表示x與y的關(guān)系。顯然,這種情況下,繪制的

9、直線并無(wú)實(shí)際意義。,為了判斷兩個(gè)變量間線性關(guān)系的優(yōu)劣程度,引入一個(gè)新的指標(biāo)R,稱(chēng)為簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù),它的定義為 R值不同時(shí),數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況如下。 (1) R = 0,圖6-2R = 0的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布,此時(shí)Lxy = 0,b = 0。即回歸直線平行于x軸,y的變化與x無(wú)關(guān),表示數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布是無(wú)規(guī)則的,如圖6-2所示。 但亦有當(dāng)R = 0時(shí),x與y確實(shí)存在明顯相關(guān)性的情況。這種情形,不能應(yīng)用線性回歸方法,只能用化直線法或曲線擬合法處理。 (2) 0 |R| 1,絕大多數(shù)屬于這種情況,它表示x與y之間存在著一定的線性關(guān)系,如圖6-3所示。 R 0時(shí),b 0。數(shù)據(jù)點(diǎn)的y值隨著x增加而增加,這種情況稱(chēng)為x與

10、y正相關(guān)。 R 0時(shí),b 0。數(shù)據(jù)點(diǎn)的y值隨著x增加而減小,這種情況稱(chēng)為x與y負(fù)相關(guān)。,R的絕對(duì)值越小,數(shù)據(jù)點(diǎn)沿回歸直線越分散。,圖6-301的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布,1的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布 (3) |R| = 1 x與y完全相關(guān)。全部數(shù)據(jù)點(diǎn)均落在回歸直線上。 若x與y為非線性相關(guān),但經(jīng)變量變換后,用回歸直線的方法處理,所求得的回歸系數(shù)僅對(duì)變換后的變量是最佳的,而對(duì)原變量來(lái)說(shuō)則并非最佳,但通常還能令人滿意,此時(shí)應(yīng)注意原變量,的殘差平方和并非最小。 由以上討論可知,相關(guān)系數(shù)R的絕對(duì)值在0與1之間,而且越接近于1,其線性關(guān)系越密切,那么|R|與1接近到什么程度,才能說(shuō)明x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系呢?要回答這個(gè)問(wèn)題,就

11、要對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。由于篇幅所限,有關(guān)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)和回歸方程的方差分析等問(wèn)題將不在此討論。如有需要,可參考有關(guān)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的書(shū)籍。,6.1.2程序框圖 圖6-4是一元線性回歸的通用計(jì)算程序框圖。 程序框圖中的主要變量: N數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù) X、Y 一維數(shù)組,用于存放原始數(shù)據(jù)中的x和y值,XXLx離差平方和Lxx YYLy離差平方和Lyy XYLx離差與y離差乘積總和Lxy A回歸直線截距a B回歸直線斜率b,R簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù) 6.1.3計(jì)算實(shí)例,6.2多元線性回歸 一元線性代數(shù)模型中,只有一個(gè)自變量。若有多個(gè)因素影響體系的性質(zhì)時(shí),必須考慮因變量y與多個(gè)自變量xl,x2,xn之間的關(guān)系。例

12、如,化學(xué)反應(yīng)速率要受到溫度、壓力和濃度的影響。在,氣相反應(yīng)動(dòng)力學(xué)中,反應(yīng)動(dòng)力學(xué)方程可表示為 式中,r為反應(yīng)速率,pA、pB、pC分別為反應(yīng)物A、B、C組分的分壓;a、b、c是方程式中的待定指數(shù);k為反應(yīng)速率常數(shù)。,若將上式取對(duì)數(shù)得到 再令y = lnr,d = lnk,x1 = lnpA,x2 = lnpB,x3 = lnpC,則得,可見(jiàn)該式具有多元線性方程式的特征,a、b、c、d為系數(shù),x1、x2、x3為自變量。 多元線性方程的普遍式為 它是一個(gè)含有m + 1個(gè)系數(shù)的m元線性方程式,下,面介紹多元線性回歸的最小二乘法。 6.2.1方法概述 設(shè)x取值為xi1,xi2,xim時(shí),實(shí)驗(yàn)測(cè)定的y值為

13、yi(i = 1,2,n),由于測(cè)定值yi存在著誤差,所以會(huì)偏離線性關(guān)系?，F(xiàn)在要尋找一組aj的估計(jì)值以構(gòu)成回歸方程。確定aj的原則,仍然是使yi的實(shí)驗(yàn)值與回歸方程計(jì)算值的殘差平方和最小,即使,最小。式中i表示實(shí)驗(yàn)點(diǎn)序號(hào)(i = 1,2,n);j表示自變量標(biāo)號(hào)(j = 1,2,m);自變量xij為第j個(gè)自變量的第i次測(cè)定值。此外注意僅n m + 1才能求出上式中的m + 1個(gè)回歸系數(shù)。 同樣由多元函數(shù)的極值理論可知,要使Q值最小,a0和aj必須滿,足下列條件: 式(6-15)經(jīng)整理可得:,式(6-16)稱(chēng)為多元線性回歸模型的正規(guī)方程組。它是一個(gè)m+1元的線性代數(shù)方程組。由于xij和yi已知,故可

14、求得m+1個(gè)待定,系數(shù)a0,a1,am。 實(shí)際計(jì)算時(shí),一般作如下處理:先將式(6-16)的第一式寫(xiě)成 然后將式(6-17)代入方程組(6-16)的第2至第m+1式,重新組成一個(gè)m元線性方程組,其中有a1,a2,am等m個(gè)待定系數(shù)。通過(guò)求解此m元線性方程組,獲得系數(shù)a1,a2,am,再代回式(6-17),求得a0。 為簡(jiǎn)化計(jì)算,用表示第j個(gè)x的平均值,表示y的平均值,則 用Ljk表示第j個(gè)x離差與第k個(gè)x離差乘積之和,則,用Lyy表示y離差的平方和,則,用Ljy表示第j個(gè)x離差與y離差乘積之和,則 將式(6-17)分別代入式(6-16)的第2至m+1式,經(jīng)簡(jiǎn)化整理可得如下m元線性方程組:,可用主

15、元素消去法求解此式,然后將求得的a1,a2,am代入式(6-17),求出a0,從而完成對(duì)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)。 多元線性回歸的計(jì)算中,常用復(fù)相關(guān)系數(shù)衡量數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的線性?xún)?yōu)劣。復(fù)相關(guān)系數(shù)定義如下:,式中,U稱(chēng)為回歸平方和:,應(yīng)當(dāng)指出,并非所有曲線都可以按這種方法處理。例如拋物線 就不能通過(guò)變量變換把它化為直線。但是如果令x1 = x,x2 = x2,則上式就化成一個(gè)包含兩個(gè)自變量的線性方程,從而將拋物線按二元線性回歸計(jì)算。對(duì)于含多變量的任意多項(xiàng)式 也可以通過(guò)類(lèi)似的變換,把它們轉(zhuǎn)化成多元線性回歸計(jì)算。 6.2.2程序框圖 圖6-6是多元線性回歸的通用計(jì)算程序框圖。,圖6-6(a) 多元線性回

16、歸的通用計(jì)算程序框圖(1),圖6-6(b) 多元線性回歸的通用計(jì)算程序框圖(2),程序框圖中的主要變量: N 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù) M多元線性模型元數(shù) X二維數(shù)組,用于存放原始數(shù)據(jù)的x值 Y一維數(shù)組,用于存放原始數(shù)據(jù)的y值,YP值 YYLLyy值 XP一維數(shù)組,用于存放值 A二維數(shù)組,用于存放m元線性方程組的系數(shù)Ljk B一維數(shù)組,用于存放m元線性方程組的常數(shù)項(xiàng)Ljy,C一維數(shù)組,用于存放多元線性模型的系數(shù)aj(j = 0,1,M) R復(fù)相關(guān)系數(shù)R0 U回歸平方和 Q殘差平方和 子程序XYF為列主元消去法求解線性方程組的程序,可參見(jiàn),圖5-2和圖5-3。 6.2.3計(jì)算實(shí)例,6.3剔除可疑數(shù)據(jù)及其計(jì)算程序

17、 6.3.1剔除可疑數(shù)據(jù)的方法 在線性回歸計(jì)算中,假定每個(gè)測(cè)定數(shù)據(jù)與回歸結(jié)果之間的誤差均在隨機(jī)誤差允許的范圍之內(nèi)。然而,由于測(cè)量誤差或過(guò)失誤差等多種原因,在一組實(shí)驗(yàn)值中,誤差往往會(huì)超出隨機(jī)誤,差的允許范圍。這些數(shù)據(jù),稱(chēng)為可疑數(shù)據(jù)。為保證回歸結(jié)果的可靠性,必須剔除這些可疑的數(shù)據(jù)。 剔除可疑數(shù)據(jù),應(yīng)當(dāng)有一個(gè)科學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)就是統(tǒng)計(jì)判據(jù),屬于統(tǒng)計(jì)判據(jù)的剔除準(zhǔn)則有多種。以一元線性回歸為例,其代數(shù)模型為y = a + bx。若自變量x無(wú)測(cè)量誤差,則y的標(biāo)準(zhǔn)偏差為,式中,n為原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù);m為回歸模型中自變量的個(gè)數(shù),對(duì)一元線性回歸m = 1;i為殘差,即 i=yi- a、b是按最小二乘法求出的最佳估計(jì)

18、值。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析,合理的數(shù)據(jù),其殘差不應(yīng)超出 的k倍。若取k = 3,便是常,用的3 準(zhǔn)則。據(jù)此,可以把殘差絕對(duì)值超過(guò)3 的個(gè)別數(shù)據(jù)(xi,yi),判為可疑數(shù)據(jù)而加以剔除。必須指出,3 準(zhǔn)則是以數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)n為前提的,當(dāng)n為有限值時(shí),3 判據(jù)并不十分可靠。下面介紹一種廣泛采用的判據(jù),即所謂肖維奈特準(zhǔn)則。 按肖維奈特準(zhǔn)則,若n次等精度測(cè)量中,有某個(gè)測(cè)量值yi,其殘差的絕對(duì)值超出k ,就可以認(rèn)為是可疑數(shù)據(jù)而予以剔除。表6-1列出了肖維奈特準(zhǔn)則中與n相對(duì)應(yīng)的k值。,表6-1肖維奈特準(zhǔn)則的n和k值,使用這個(gè)準(zhǔn)則時(shí),可根據(jù)回歸結(jié)果,對(duì)全部實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行逐級(jí)檢查,把屬于可疑數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)值選出。若發(fā)現(xiàn)不止一個(gè)可疑

19、數(shù)據(jù),則應(yīng)把其中殘差絕對(duì)值最大者剔除,然后重新計(jì)算 值。根據(jù)新的 值,再次用肖維奈特準(zhǔn)則進(jìn)行檢查。每次只剔除一個(gè)可疑數(shù)據(jù),其余數(shù)據(jù)重新進(jìn)行回歸,直至回歸所用的數(shù)據(jù)中不再含有可疑數(shù)據(jù)為止。 6.3.2剔除可疑數(shù)據(jù)的計(jì)算程序框圖,圖6-7是具有剔除可疑數(shù)據(jù)功能的一元線性回歸通用計(jì)算程序框圖,整個(gè)計(jì)算過(guò)程分為輸入原始數(shù)據(jù)、一元線性回歸計(jì)算、確定肖維奈特準(zhǔn)則的k值、確定殘差絕對(duì)值最大的數(shù)據(jù)點(diǎn)、剔除最可疑數(shù)據(jù)點(diǎn)(即殘差絕對(duì)值最大的數(shù)據(jù)點(diǎn))。,圖6-7具有剔除可疑數(shù)據(jù)功能的一元線性回歸通用計(jì)算程序框圖,程序框圖中的主要變量: N原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)或剔除可疑數(shù)據(jù)后的合格數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù) N1可疑數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù) X一維數(shù)組,用于

20、存放原始數(shù)據(jù)及合格數(shù)據(jù)中的x值 Y一維數(shù)組,用于存放原始數(shù)據(jù)或合格數(shù)據(jù)中的y值,X1一維數(shù)組,用于存放可疑數(shù)據(jù)點(diǎn)的x值 Y1一維數(shù)組,用于存放可疑數(shù)據(jù)點(diǎn)的y值 A回歸直線截距 B回歸直線斜率 R簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù),SD標(biāo)準(zhǔn)偏差 ER平均相對(duì)誤差 DALTA絕對(duì)值最大的殘差 ID殘差絕對(duì)值最大的數(shù)據(jù)點(diǎn)序號(hào) U肖維奈特準(zhǔn)則的k值,子程序LINEAR1A為一元線性回歸計(jì)算子程序,比例6-1中的子程序LINEAR1增加了標(biāo)準(zhǔn)偏差和平均相對(duì)誤差的計(jì)算;子程序RULES為肖維奈特準(zhǔn)則中k值的計(jì)算程序。 采用類(lèi)似的方法,可以編寫(xiě)能剔除可疑數(shù)據(jù)的多元線性回歸計(jì)算程序框圖。 6.3.3計(jì)算實(shí)例,6.4多項(xiàng)式擬合 在化

21、學(xué)化工的實(shí)驗(yàn)或科研中,經(jīng)常需要從一組測(cè)定數(shù)據(jù),例如從n對(duì)(xi,yi)數(shù)據(jù),去求自變量x和因變量y的近似函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) = p(x)。從圖形上看,這是由給定的n個(gè)點(diǎn)(xi,yi)(i = 1,2,n)作曲線,擬合。 在曲線擬合中,多項(xiàng)式擬合問(wèn)題占特殊的地位。任何函數(shù)在一個(gè)比較小的范圍內(nèi),可以用多項(xiàng)式任意逼近。因此,在比較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中,可以不問(wèn)y與各因素的確切關(guān)系,而用多項(xiàng)式擬合進(jìn)行分析和計(jì)算。,下面以多項(xiàng)式擬合為例,說(shuō)明曲線擬合的方法和計(jì)算程序。 6.4.1方法概述 設(shè)用下列m次多項(xiàng)式 :,擬合一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i = 1,2,n),即曲線y = f (x)上已給定n個(gè)點(diǎn),用多項(xiàng)式求作該曲線的近似圖形。這一問(wèn)題與前述的插值問(wèn)題有類(lèi)似之處。但插值問(wèn)題要求近似曲線y = p (x)嚴(yán)格地通過(guò)所給的n個(gè)點(diǎn),這一要求將會(huì)使近似曲線y = p (x)保留數(shù)據(jù)的全部測(cè)試點(diǎn)的測(cè)量誤差。如果個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差很大,那么插值的效果顯然是不夠理想的。鑒于這種情況,考慮放棄嚴(yán)格通過(guò)所有結(jié)點(diǎn)(xi,yi)這一要求,而采用別的方法去構(gòu)造近似曲線,以盡可能反映所給數(shù)據(jù)的總趨勢(shì)。曲線擬合的常,用方法仍然是最小二乘法,即殘差平方和最小法。 若以i代表結(jié)點(diǎn)處的殘差