1、數(shù)陣圖與幻方知識框架一、數(shù)陣圖定義及分類：定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.數(shù)陣：是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復合型數(shù)陣圖.二、解題方法：解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：第一步：區(qū)分數(shù)陣圖中的普通點(或方格)和關鍵點(或方格)；第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關鍵點(一般是交叉點)上設置未知數(shù)，計算這些關鍵點與相關點的數(shù)量關系，得到關鍵點上所填數(shù)的范圍；第三步：運用已經(jīng)得到的信息進行嘗試這個步驟并不是對所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對數(shù)學方法的綜合運用三、幻方起源：

2、幻方也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方幻方起源于我國，古人還為它編撰了一些神話傳說在大禹治水的年代，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都無濟于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是3行，豎著數(shù)是3列，每塊烏龜殼上都有幾個點點，正好湊成1至9的數(shù)字，可是誰也弄不清這些小點點是什么意思一次，大烏龜又從河里爬上來，一個看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點點不論橫著加、豎著加還是斜著加，結果都等于十五！”于是人們趕緊把十五份祭品獻給河神，說來也怪，河水果然從此不再泛濫了這個神奇的圖案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三階

3、幻方”，這個相等的和叫做“幻和”“洛書”就是幻和為15的三階幻方如下圖： 我國北周時期的數(shù)學家甄鸞在算數(shù)記遺里有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央”這段文字說明了九個數(shù)字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久三階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎賞月半，周圍十五月團圓”幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學習認識了解它們四、幻方定義：幻方是指橫行、豎列、對角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質的的數(shù)陣稱作三階幻方，的數(shù)陣稱作四階幻方，的稱作五階幻方如圖為三階幻方、四階幻方的標準式樣， 。五、解決這幻方常用的方法

4、：適用于所有奇數(shù)階幻方的填法有羅伯法口訣是：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連上出框時往下填，右出框時往左填排重便在下格填，右上排重一個樣 適用于三階幻方的三大法則有：求幻和： 所有數(shù)的和行數(shù)（或列數(shù)）求中心數(shù)：我們把幻方中對角線交點的數(shù)叫“中心數(shù)”，中心數(shù)幻和3角上的數(shù)=與它不同行、不同列、不同對角線的兩數(shù)和2六、數(shù)獨簡介：數(shù)獨前身為“九宮格”，最早起源于中國。數(shù)千年前，我們的祖先就發(fā)明了洛書，其特點較之現(xiàn)在的數(shù)獨更為復雜，要求縱向、橫向、斜向上的三個數(shù)字之和等于15，而非簡單的九個數(shù)字不能重復。中國古籍易經(jīng)中的“九宮圖”也源于此，故稱“洛書九宮圖”。而“九宮”之名也因易經(jīng)在中華文化發(fā)展史上的重

5、要地位而保存、沿用至今。 1783年，瑞士數(shù)學家萊昂哈德歐拉發(fā)明了一種當時稱作“拉丁方塊”（Latin Square）的游戲，這個游戲是一個nn的數(shù)字方陣，每一行和每一列都是由不重復的n個數(shù)字或者字母組成的。 19世紀70年代，美國的一家數(shù)學邏輯游戲雜志戴爾鉛筆字謎和詞語游戲（Dell Puzzle Mgzines）開始刊登現(xiàn)在稱為“數(shù)獨”的這種游戲，當時人們稱之為“數(shù)字拼圖”（Number Place），在這個時候，99的81格數(shù)字游戲才開始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戲雜志字謎通訊Nikoil（通信）上出現(xiàn)了“數(shù)獨”游戲，提出了“獨立的數(shù)字”的概念，意思就是“這個數(shù)字只能出現(xiàn)一

6、次”或者“這個數(shù)字必須是唯一的”，并將這個游戲命名為“數(shù)獨”（sudoku）。 一位前任香港高等法院的新西蘭籍法官高樂德（Wayne Gould）在1997年3月到日本東京旅游時，無意中發(fā)現(xiàn)了。他首先在英國的泰晤士報上發(fā)表，不久其他報紙也發(fā)表，很快便風靡全英國，之后他用了6年時間編寫了電腦程式，并將它放在網(wǎng)站上，使這個游戲很快在全世界流行。從此，這個游戲開始風靡全球。后來更因數(shù)獨的流行衍生了許多類似的數(shù)學智力拼圖游戲，例如：數(shù)和、殺手數(shù)獨。 中國大陸是在2007年2月28日正式引入數(shù)獨. 2007年2月28日，北京晚報智力休閑數(shù)獨俱樂部(數(shù)獨聯(lián)盟sudokufederation前身)在新聞大廈

7、舉行加入世界謎題聯(lián)合會的頒證儀式，會上謎題聯(lián)合會秘書長皮特-里米斯特和俱樂部會長在證書上簽字，這標志著北京晚報智力休閑俱樂部成為世界謎題聯(lián)合會的39個成員之一，這也標志著俱樂部走向國際舞臺，它將給數(shù)獨愛好者帶來更多與世界數(shù)獨愛好者們交流的機會。七、解題技巧：數(shù)獨游戲中最常規(guī)的辦法就是利用每一個空格所在的三個單元中已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)字（大小數(shù)獨一個空格只位于兩個單元之內(nèi)，但是同時多了一個大小關系作為限制條件）來縮小可選數(shù)字的范圍?？偨Y4個小技巧：1、 巧選突破口：數(shù)獨中未知的空格數(shù)目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過規(guī)則的限制來分析每一個空格的可選數(shù)字的個數(shù)，然后選擇可選數(shù)字最少的方格開始，一般來

8、說，我們會選擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數(shù)字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數(shù)字；而大小數(shù)獨中已知的數(shù)字往往非常少，這個時候大小關系更加重要，我們除了利用已知數(shù)字之外更加需要考慮大小關系的限制。2、 相對不確定法：有的時候我們不能確定2個方格中的數(shù)字，卻可以確定同一單元其他方格中肯定不會出現(xiàn)什么數(shù)字，這個就是我們說的相對不確定法。舉例說明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我們可以確定，1和2必定出現(xiàn)在A1和A2兩者之中，A行其他位置不可能出現(xiàn)1或者2.3、 相對排除法：某一單元中出現(xiàn)好幾個空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個空格的可選數(shù)字進行對比分析來確定它們中

9、的某一個或者幾個空格。舉例說明，A行中已經(jīng)確定5個數(shù)字，還有4個數(shù)字（我們假設是1、2、3、4）沒有填入，通過這4個空格所在的其他單元我們知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，這個時候我們可以分析，數(shù)字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4，我們就可以不用考慮A1，這樣就可以發(fā)現(xiàn)2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過其他辦法進行確定。4、 假設法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進行假設，當然，假設也是原則的，我們不能進行無意義的假設，假設的原則是：如果通過假設一個空格的數(shù)字，可以確定和這個空格處在同一個單元內(nèi)的其它

10、某一個或者某幾個空格的數(shù)字，那么我們就以選擇這樣的空格來假設為佳。舉例說明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，這個時候我們就應該假設B3填入2，這樣就可以確定A3填入3，B4填入1，然后以這個為基礎進行推理。例題精講一、輻射型數(shù)陣圖【例 1】 把1991，1992，1993，1994，1995分別填入圖2的5個方格中，使得橫排的三個方格中的數(shù)的和等于豎列的三個方格中的數(shù)的和。則中間方格中能填的數(shù)是_。【鞏固】 將15五個數(shù)字，分別填入右圖的五個中，使橫、豎線上的三個數(shù)字和都是10。【例 2】 請你把17這七個自然數(shù)，分別填在下圖（1）的圓圈內(nèi)，使每條直線上的三個

11、數(shù)的和都相等.應怎樣填？【鞏固】 將17七個數(shù)字，分別填入圖中的各個內(nèi)，使每條線上的三個數(shù)和相等?！纠?3】 將 111 十一個數(shù)字，填入下圖各中，使每條線段上的數(shù)字和相等?！眷柟獭?將 1020填入左下圖的內(nèi)，其中15已填好，使得每條邊上的三個數(shù)字之和都相等。二、封閉型數(shù)陣【例 4】 把2、3、4、5、6、7六個數(shù)字，分別填入中，使三角形各邊上的數(shù)字和都是12?！眷柟獭?在如圖6所示的內(nèi)填入不同的數(shù)，使得三條邊上的三個數(shù)的和都是12，若A、B、C的和為18，則三個頂點上的三個數(shù)的和是 。【例 5】 把19九個數(shù)字，分別填入下圖中，使每邊上四個數(shù)的和都是21?！眷柟獭?將至這六個數(shù)字填入圖中的

12、六個圓圈中(每個數(shù)字只能使用一次)，使每條邊上的數(shù)字和相等那么，每條邊上的數(shù)字和是 三、復合型數(shù)陣圖【例 6】 右邊的一排方格中，除、外，每個方格中的字都表示一個數(shù)(不同的字可以表示相同的數(shù))，已知其中任何個連續(xù)方格中的數(shù)相加起來都為，則“走”+“進”+“數(shù)”+“學”+“花”+“園”= 【鞏固】 請在下圖中每個方格中填一個數(shù)，使橫行任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是15，豎列任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18 【例 7】 如圖所示，圓圈中分別填人0到9這10個數(shù)，且每個正方形頂點上的四個數(shù)之和都是18，則中間兩個數(shù)A與B的和是_?！眷柟獭?將18這八個數(shù)分別填入右圖的中，使兩個大圓上的五個數(shù)之

13、和都等于21?！纠?8】 把18的數(shù)填到下圖中，使每個四邊形中頂點的數(shù)字和相等?！眷柟獭?把210九個數(shù)字，分別填入下圖中，使每條直線上的三個數(shù)和為15。四、數(shù)陣圖與數(shù)論【例 9】 把09這十個數(shù)字填到右圖的圓圈內(nèi)，使得五條線上的數(shù)字和構成一個等差數(shù)列，而且這個等差數(shù)列的各項之和為55，那么這個等差數(shù)列的公差有種可能的取值【鞏固】 將填入下圖的中，使得任意兩個相鄰的數(shù)之和都不是，的倍數(shù)五、數(shù)獨【例 10】 在下圖中的每個填入一位適當?shù)臄?shù)字，使每一行、每一列、每一宮中包含數(shù)字1到4，并且每個數(shù)字只出現(xiàn)一次?！眷柟獭?如圖44方格被分成了五塊；請你在每格中填入l、2、3、4中的一個，使得每行、每列

14、的四個數(shù)各不相同，且每塊上所填數(shù)的和都相等。則A、B、C、D四處所填數(shù)字之和是 。六、幻方【例 11】 的正方形中，在每個格子里分別填入的個數(shù)字，要求每行每列及對角線上的三個數(shù)的和相等（請給出至少一種填法）【鞏固】 的正方形格子中，在每個格子里分別填入的個數(shù)字，要求每行每列及對角線上的三個數(shù)的和相等（請給出至少一種填法）【例 12】 在圖的九個方格里，每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)的和都相等，則N= ?！眷柟獭?在下面兩幅圖的每個空格中，填入7個自然數(shù)，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和等于21課堂檢測【隨練1】 將19九個數(shù)字，填入下圖各中，使縱、橫兩條線上的數(shù)字和相等?！倦S練2】 將17這七個自然數(shù)填入左下圖的七個內(nèi)，使得每條邊上的三個數(shù)之和都等于10。【隨練3】 將18 八個數(shù)字，分別填入下圖中，使每個面的四個數(shù)和相等?！倦S練4】 如圖，請將1個1，2個2，3個3，7個7，8個8填入66的表格中，使得相同的數(shù)所在的方格都連在一起（相連的兩個方格必須有公共邊）；現(xiàn)在已經(jīng)給出了其中8個方格的數(shù)，并且知道A、B、C、D、E、F各不相同，那么，六位數(shù) 是_。家庭作業(yè)【作業(yè)1】 把15這五個數(shù)分別填在左下圖中的方格中，使得橫行三數(shù)之和與豎列三數(shù)之和都等于9。【作業(yè)2】 把15這五個數(shù)填入下頁左上圖中的里(已填入5)，使兩條直線上的三個數(shù)之和相等?！咀鳂I(yè)3】 把15這五個數(shù)填