1、. 2011年商丘師范學院數學建模模擬練習承 諾 書我們仔細閱讀了商丘師范學院數學建模模擬練習的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與本隊以外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們愿意承擔由此引起的一切后果。我們的參賽報名號為： 參賽組別（本科或?？疲簠①愱爢T (簽名) ：

2、隊員1：隊員2：隊員3：2011年精品.商丘師范學院建模模擬練習編 號 專 用 頁參賽隊伍的參賽號碼：（請各個參賽隊提前填寫好）：競賽統(tǒng)一編號（由競賽組委會送至評委團前編號）：競賽評閱編號（由競賽評委團評閱前進行編號）：2011年精品.商丘師范學院數學建模模擬練習題目 汽車保險問題研究摘要本文主要研究在復雜多變的市場因素下，如何建立數學模型來判斷在實施安全帶法規(guī)后，保險公司是否可降低保險費，及在今后五年如何確定保險費。由于保險費的影響因子多，因此我們參閱了中國保監(jiān)會新修訂的機動車輛保險條款，分析主要和次要影響因子，合理假設，找到突破口。一、汽車保險公司作為一個企業(yè)，追求的是盡可能多的利潤絕不可

3、能僅僅依靠增加保險費來實現，從實際情況來看，保險費收得越高，投保人數就相應減少。為此我們建立一個利潤隨保險費變化的方程，通過求解使利潤最大，這時求得的保險費即為基本保險費，在公司贏利最大的條件下，求得第一年公司保險費為649.6元，與第0年775元相比保險費降低了。二、建立了安全帶法實行后的利潤隨保險費變化的方程，通過求解使保險公司利潤不為負，計算出了當醫(yī)療費下降20%和40%時連續(xù)5年基本保險費(見下表):主要結果：醫(yī)療費下降20%年份12345基本保險費595.15 596.85 600.59 604.94 609.95 醫(yī)療費下降40%年份12345基本保險費543.39 545.36

4、549.49 554.32 559.87 為了更切合實際，多次使用統(tǒng)計學原理，在這個基礎上注重主要影響因素，精確算出了保險費，對保險公司的規(guī)劃、管理和定位具有積極的指導意義 關鍵字：統(tǒng)計學原理 汽車保險 基本保險費 利潤保險方程精品.一、問題重述已知某汽車保險公司的保險規(guī)則，即：該公司只提供一年期的綜合保險單，若客戶在這一年內沒有提出賠償要求，則給予額外補助；客戶被分成0，1，2，3 類，新客戶屬于0 類；級別越高，從保險費中得到的回扣越多；當客戶續(xù)保時，若上一年中沒有要求賠償，則提高一個類別；若上一年中要求過賠償，則降低兩個類別或0 類；客戶不論是由于自動終止保險還是則某種原因（例如事故死亡

5、），保險公司將退還保險金的適當部分。現在政府為了減少交通事故，實施了安全帶法規(guī)這一舉措。實行安全法規(guī)以后，雖然每年的事故數量不會減少，但事故中受傷司機和乘員數肯定會減少，從而醫(yī)藥費將有所下降。根據采用這種法規(guī)的國家的統(tǒng)計資料可以知道，死亡的司機減少40，一般來講醫(yī)療費也會減少20至40。(假設當前年度該保險公司的統(tǒng)計如下表1和表2)問題一：實施安全帶法規(guī)以后保險公司所制定的保險費是應該增加還是應該減少？問題二：給出在醫(yī)療費下降20%和40%的情況下，公司今后5年每年每份保險費應定位多少？二、問題分析保險費是投保人為取得保險保障而交付給保險人的費用。汽車保險費由純保費和附加保費兩部分構成。純保費

6、用于承擔保險責任（合同中約定的死亡、傷殘等給付），附加保費用于保險公司的各項開支，這部份費用可假定是不變的。因而問題的關鍵就在于純保費的變化。純保費在數量上等于保險期間賠款的期望值。因而通過對下一年的賠款期望值的估算來確定下一年的純保費的金額。本題所要解決的主要問題也就是下一年的事故賠償費總額（由償還退回費用部分和索賠支出費用部分構成）的估算和總投保人數的估算。最后通過各類保險費的折扣率、該類的投保人數以及事故賠償費總額就可以計算出下一年基本保險費。三、模型假設1 假設每一類別中總投保人數等于續(xù)保人數與新投保人數之和；所有投保人都投全年汽車保險,即無另外約定投保；所有保險都是全額保險，不存在不

7、足額保險。2 假設汽車保險公司下一年的保險費預算只與基本險有關，而與附加險無關3 假設汽車保險公司死亡保險賠償只指死亡司機賠償，死亡司機人數與索賠人數比例不變。4 假設所有投保車輛都是按新車保險價值即購置價投保；所有車輛投保保險費都按一人一車投保，不考慮一人多車即車隊投保下汽車保險公司的優(yōu)惠。5. 假設每年來投保的汽車車型比即投保價值不同的車的比例不變。 6 假設注銷人數等于自動終止保險人數與死亡人數之和。自動終止保險人數與總投保人數比例不變。7. 假設題目中所給數據都是可信的。8 假設每年的新投保人數按等比例增長，頒布了法規(guī)的情況下，每個類別的死亡司機和沒有頒布法規(guī)時相比都減少40。9. 平

8、均償還退回的保險金額不變，精品.10. 平均醫(yī)療費均不變11. 每年的平均死亡賠償費不變。12. 每年的平均修理費不變。13. 每年公司日常支出不變。14. 施行了法規(guī)以后，每個類別的死亡司機比沒有施行法規(guī)時都減少40。15. 注銷人平均所得到的償還退回金金額不變。16. 新投保人數的增長率與汽車保有量的增長率間存在簡單的關系。17. 投保人數的變化不依賴于保險費的變化。18. 每輛汽車必須投保。四、變量聲明i 公司總利潤p 公司賠償費s 公司退回償還費c 公司開支用費(常量)五、模型的建立與求解5.1.1模型的建立汽車保險公司作為一個企業(yè),追求的是盡可能多的利潤。但是這不能僅僅依靠增加保險費

9、來實現,從際情況來看,保險費收得越高,投保人數就相應減少。此外,客源還受到多種因素的影響,如社會風險意識、社會汽車擁有量、國民經濟發(fā)展狀況、公司的廣告宣傳等因素。這樣,問題就必須通過一定的數據來分析,找到客戶和公司利潤之間的函數關系,為公司的后續(xù)發(fā)展做理論依據。汽車保險公司的支出主要是索賠費、讓利和正常支出。雖然車禍對于個人來說是隨機的,但是對于整個社會來說,它肯定會趨于一個穩(wěn)定值,此值可由統(tǒng)計方法計算出來，經過上述分析可以得出如下的關系:i = s - p - b - c精品.式中, i 為公司總利潤; s 表示公司總收入;p 為公司賠償費; b 為公司退還償還費; c 為公司開支用費。制定

10、基本保險費使保險公司獲得的利潤達到最大值5.1.1.a總收入的計算【1】新投保人數=汽車銷售量的增加量下面是從中國國家統(tǒng)計局獲得的一份數據表一：20012010私人汽車擁有量年份私人汽車擁有量（總計 單位：萬輛）2001770.782002969.0020031242.7720041481.66 20051848.0720062333.3220072876.2020083501.3920094575.0020106539.00估計新投保人數 中國汽車近幾年總銷量走勢圖精品.設t 表示當前年, t - 1 表示上一年, n( t ) 表示當前年新的投保人數, i 表示投保人的級數( i= 0 ,

11、 1 , 2 , 3) , ni ( t ) 表示當前年第i 級的續(xù)保人數, ni ( t) 表示當前年第i 級的總投保人數, x 表示保險費用, si 表示第i 級顧客的補貼比例,表示交通事故率,表示注銷率。由統(tǒng)計規(guī)律有精品.n( t) = n( t - 1) （1） ( t) = ( t - 1) （2）【2】根據對問題的基本假設,每年各類總投保人數，有下面的幾個關系式成立。（）0類下一年總投保人數=下一年的新投保人數+0類索賠人數0類死亡人數0類自動退保人中索賠過的人數+1類索賠人數1類死亡人數1類自動退保人中索賠過的人數+2類索賠人數2類死亡人數2類自動退保人中索賠過的人數，即： (3

12、)（4）（）1類下一年總投保人數=0類總投保人數0類注銷人數0類索賠人數+0類死亡人數+0類自動退保人中索賠過的人數+3類索賠人數3類死亡人數3類自動退保人中索賠過的人數，即： (5)（6）（）2類下一年總投保人數=1類當年投?？側藬?類降為0類的人數（即索賠人數）1類注銷人數+1類死亡人數+1類自動退保人中索賠過的人數，即： (7)（8）（）3類下一年總投保人數=3類當年總投保人數3類降為1類的人數（索賠人數）3類注銷人數+3類死亡人數+3類自動退保人中索賠過的人數+2類總投保人數2類索賠人數2類注銷人數+2類死亡人數+2類自動退保人中索賠過的人數，即：(9)（10）公司總收入為精品.式中:

13、 k1 是每年新增保險人數系數, 與公司的廣告宣傳力度、人們對保險的接受程度有關,具有一定的模糊性和統(tǒng)計規(guī)律性, 它可以根據歷年數據,利用數學實驗的方法,由下式確定n( t) = n( t - 1) k2 是老顧客續(xù)保系數,與公司對老顧客的待遇、老顧客自己的情況、以及保險費用等有關,這個相關系數比較難以確定,只能通過模型調整,依次試驗,確定最好的數值其中，中文下標“總”表示總投保人數或總索賠費用，“注”表示注銷人數，“索”表示索賠人數，“死”表示死亡人數或死亡賠償費，“自索”自動退保人中索賠過的人數。5.1.1.b賠償費的計算賠償費包括三個部分:醫(yī)藥賠償費、死亡賠償費和汽車修理費。交通事故對于

14、個人來是個隨機問題,由統(tǒng)計知識易知,在大量的人數基礎上,交通事故的發(fā)生率將趨于一個穩(wěn)定的值。死亡賠償費的計算式中: d 為總的死亡賠償費; 為第i 級的總投保人數;為死亡率; 為第i 級投保者的死亡賠償費,可以維持原值。汽車修理費的計算式中: f 為總的修理費;為交通事故率;為第i 級投保者的修理費用,可以維持原值。 醫(yī)療賠償費的計算平均醫(yī)療費：每年i類平均醫(yī)療費=i類真正受傷人數*第0年i類平均醫(yī)療費/受傷司機人數式中: m 為總的醫(yī)療賠償費; 為第i 級投保者的醫(yī)療賠償費用,可以維持原值。在新法規(guī)實行后, 由于交通事故數量不會減少,可以將死亡人數轉化為受傷人數,醫(yī)療在原來的均值基礎上按比例

15、下降。5.1.1.c退還償還費的計算式中: 為第i 級投保者注銷時的償還金額;i 為第i 級投保者的注銷比例5.1.1.d公司運營成本的計算假如在以后的時間里,投保人數基本不變化,那么公司的運營成本基本維持不變。但是隨著保人數的增加,成本也隨著增加,由于沒有統(tǒng)計資料可供咨詢,為此增加一個糾正系雖然粗糙了點,但是這樣能保持事實。c = 149萬元(0. 7 1. 2)精品.的估計可通過經驗與擬合而得到, 本模型采用1 。其實,公司現在每年將近60 多個億的保險費,以后規(guī)模的擴大和縮小都會很有限。5.2.2各項參數列表人數列表、費用列表、概率和比例列表分別見表1表3 表1 人數列表級別i 總投保人

16、數ni 新投保人數n 繼續(xù)投保人數ni0 1 665 328 384 620 1 280 7081 1 764 897 0 1 764 8972 1 154 461 0 1 154 4613 8 760058 0 8 760 058表2 費用列表(單位:元)保險費x=775級別i醫(yī)療賠償費用mi投保者修理費用ri投保者死亡賠償費用di注銷者償還金額gi01526102033984.6918211231122337005.70182282394760015.21182381480570971.16182令gi表示每個注銷投保人所獲得的償還費用，顯然其為一常量，且gi=70000000/（1826

17、4+28240+13857+324114）=182(元)表3 概率和比例列表取=1級別i注銷比例i補貼比例si交通事故發(fā)生率交通事故死亡率00.047503700.1485190.00331810.07345080.250.1485190.00331820.03604140.40.1485190.00331830.08431440.50.1485190.0033185.3.3模型的求解通過上面的分析, 問題的求解可歸結為如下模型:max i = s - p - b - c式中各個數據的計算如下p=+精品.c = 149根據假設，法規(guī)頒布了的情況下和沒有頒布法規(guī)的情況下有下列這些因素不變：新投保

18、人數，各類別總的投保人數，平均修理費，平均醫(yī)療費，平均死亡賠償費。所以有：x=；x=；xf=f;xm=m;xd=d;法規(guī)頒布了的情況下變動的因素有：死亡人數，索賠人數，注銷人數。它們的變動如下列三個式子所示:由假設8：頒布了法規(guī)的情況下，每個類別的死亡司機比沒有頒布法規(guī)時都減少40?？傻茫簒=*60%x為調整法規(guī)后的新死亡率為調整法規(guī)前的死亡率由假設3：死亡人數與索賠人數比例不變，可得：=/=(*60%)/=*60%因為注銷人數等于自動退出人數和死亡人數之和，在死亡人數變動的情況下，注銷人數可表示為：x=+*60%首先將參數k2 設為一個定值,將保險費用控制在相應范圍之內,進行循環(huán)迭代計算,以

19、公司每年追求的最大利潤作為目標,在公司贏利最大的條件下，公司保險費為649.6元，即保險費降低了。六、問題二的求解： i = s - p - b - c式中各個數據的計算如下p=+c = 149i=-(+)-149(取=1) (11)根據假設，法規(guī)頒布了的情況下和沒有頒布法規(guī)的情況下有下列這些因素不變：新投保人數，各類別總的投保人數，平均修理費，平均死亡賠償費。法規(guī)頒布了的情況下變動的因素有：死亡人數，索賠人數，注銷人數。它們的變動如下列三個式子所示:由假設8：頒布了法規(guī)的情況下，每個類別的死亡司機比沒有頒布法規(guī)時都減少40?？傻茫簒=*60%精品.x為調整法規(guī)后的新死亡率為調整法規(guī)前的死亡率

20、由假設3：死亡人數與索賠人數比例不變，可得：=/=(*60%)/=*60%因為注銷人數等于自動退出人數和死亡人數之和，在死亡人數變動的情況下，注銷人數可表示為：x=+*60%最重要的是平均醫(yī)療費已經改變；問題二分為兩種情況：a、醫(yī)療費用下降20%第一年總醫(yī)療費用=第0年總醫(yī)療費用*80%第n年（n=2,3,4,5）總醫(yī)療費用=第(n1)年醫(yī)療費用*第n年投保人數/第（n1）年投保人數年度12345總醫(yī)療費用17948075371819785416185916931019158624491993201365總投保人數（zt）：zt=ztn0+ ztn1+ ztn2+ ztn3 第n年支出費用=第

21、0年支出費用/第0年總投保人數*第n年總投保人數第n年償還費用=can/ca0*182n表示第n年償還的費用，0表示第0年償還的費用.由(11)式計算（即使其利潤不小于0）可得其基本保險費：醫(yī)療費下降20%年份12345基本保險費615.15 636.85 660.59 684.94 709.95 由計算可得：醫(yī)療費用下降20%年度總投保人數支出償還費用總賠償費用總費用總醫(yī)療費用基本保險費113421814 149860509.670404266.25493845399851587187741794807537595.1533412213608602 151946080.171384064.4

22、8505005288652733830301819785416596.8510358313903120 155234505.372928962.24523475652054629199881859169310600.5903542414327079 159968195.475152843.49548901849457241395331915862449604.9387024514905430 166425739.978186589.21582478974960694020781993201365609.946809b、醫(yī)療費用下降40%第一年總醫(yī)療費用=第0年總醫(yī)療費用*60%第n年（n=2,

23、3,4,5）總醫(yī)療費用=第(n1)年醫(yī)療費用*第n年投保人數/第（n1）年投保人數年度12345總醫(yī)療費用13461056531364839062139437698214368968361494901024精品.由(11)式計算（即使其利潤不小于0）可得其基本保險費：實際應收如下表：醫(yī)療費下降40%年份12345基本保險費563.39 585.36 609.49 634.32 659.87 由計算可得：醫(yī)療費用下降40%年度總投保人數支出償還費用總賠償費用總費用總醫(yī)療費用基本保險費113421814 149860509.670404266.254489752114471001689013461

24、05653543.3873045213608602 151946080.171384064.48459510653248184366761364839062545.359384313903120 155234505.372928962.24476996419349981276601394376982549.4913469414327079 159968195.475152843.49501005288252451739211436896836554.3206429514905430 166425739.978186589.21532648940855711017371494901024559.

25、8699317兩種情況下各年份基本保險費的變化圖像注：根據中國目前國情，通貨膨脹嚴重，物價飛漲。為此我們專門查找資料，估計未來幾年的保險費用，都應該在每年原有基礎上增加20元，這樣才能達到收益的目的。七、模型優(yōu)缺點分析：本文所作的模型是分析了很多實際情況，有些情況由于數據的不確定性只能依據常識把其理想化，而且題目中給出的只有本年的數據，具有極大的偶然性，導致一些誤差不可避免。精品.具體的誤差主要來自我們做出簡化模型的假設。比如：平均維修費和平均醫(yī)療費是不可能經過幾年后都沒有絲毫變化的；因事故受傷而獲益的人也有可能退保；每年新投保人數并不只是跟汽車的增長量有關系；幾年以來公司不可能在發(fā)展上沒有絲毫變化。八、模型的評價：本文所作的模型是在對實際情況作了一些假設