第三章 函數(shù)及其圖象 第11講 反比例函數(shù),考點(diǎn)梳理過(guò)關(guān),考點(diǎn)1 反比例函數(shù)的概念 6年1考,形如y (k0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù) 拓展(1)y (k0)可以寫(xiě)成ykx1(k0)的形式；(2)y (k0)也可以寫(xiě)成xyk的形式，用它可以直接求出反比例函數(shù)系數(shù)k；(3)對(duì)于反比例函數(shù)y ，有三個(gè)不等于0：系數(shù)k0，自變量x0，函數(shù)值y0.,考點(diǎn)2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 6年4考,提示(1)在描述反比例函數(shù)圖象的增減性時(shí)，一定要注明所在的象限，單獨(dú)地說(shuō)反比例函數(shù)圖象增大或減少是錯(cuò)誤的(2)比較函數(shù)值的大小時(shí)，一定要注意是否在同一象限內(nèi)，或直接用函數(shù)圖象進(jìn)行比較如函數(shù)y 在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，若函數(shù)上有兩個(gè)點(diǎn)(x1，y1)和(x2，y2)，若x1x20，則y1y2，若x10x2，則y1y2.(3)當(dāng)系數(shù)k的值一定時(shí)，相關(guān)矩形(三角形)的面積隨之確定，但當(dāng)已知矩形(三角形)面積時(shí)，k的值要根據(jù)所在象限進(jìn)行分析,考點(diǎn)3 求反比例函數(shù)的解析式,1解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)及幾何圖形的綜合題，一般以求反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為著眼點(diǎn)，求點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法：結(jié)合圖形、圖象性質(zhì)求得函數(shù)解析式，再聯(lián)立方程組求解一般情況下會(huì)得到兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題目要求找出符合條件的坐標(biāo) 2在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積時(shí)，通常以坐標(biāo)軸上的邊為底，相對(duì)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))的絕對(duì)值為高；如果沒(méi)有坐標(biāo)軸上的邊，則用坐標(biāo)軸(或與坐標(biāo)軸平行的線)將其分割后求解,考點(diǎn)4 反比例函數(shù)的形積問(wèn)題 6年1考,(1)根據(jù)題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型； (2)設(shè)出函數(shù)解析式y(tǒng) (3)依題意求解函數(shù)解析式及有關(guān)問(wèn)題,考點(diǎn)5 反比例函數(shù)的應(yīng)用,提示實(shí)際問(wèn)題中的反比例函數(shù)，自變量的取值范圍往往受到限制，這時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象是雙曲線的一部分,典型例題運(yùn)用,類(lèi)型1 反比例函數(shù)的性質(zhì),【例1】2018原創(chuàng)關(guān)于反比例函數(shù)y ，有下列說(shuō)法：圖象過(guò)點(diǎn)(5，2)；圖象在第一、三象限；y隨x的增大而增大；圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其中正確的是 .,失分警示在描述反比例函數(shù)圖象的增減性時(shí)，一定要注明所在的象限,答案：,變式運(yùn)用1.若點(diǎn)A(5，y1)，B(3，y2)，C(2，y3)在反比例函數(shù)y 的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是( ) Ay1y3y2 By1y2y3 Cy3y2y1 Dy2y1y3,失分警示易由于盲目地運(yùn)用函數(shù)增減性而錯(cuò)選B.準(zhǔn)確理解反比例函數(shù)的增減性：(1)k0時(shí)，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；(2)k0時(shí)，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大,D 點(diǎn)A(5，y1)，B(3，y2)，C(2，y3)在反比例函數(shù)y 的圖象上，A，B點(diǎn)在第三象限，C點(diǎn)在第一象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小y3為正，一定最大，y1y2.y2y1y3.,類(lèi)型2 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,【例2】2016煙臺(tái)中考如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的面積為12，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y 的圖象上，則k的值為 .,6 如圖，連接AC，交y軸于點(diǎn)D.四邊形ABCO為菱形，ACOB，且CDAD，BDOD.菱形OABC的面積為12，CDO的面積為3.|k|6.反比例函數(shù)圖象位于第二象限，k0，則k6.,失分警示由于沒(méi)有考慮圖象的位置而錯(cuò)解為k6.認(rèn)真分析函數(shù)圖象的性質(zhì)：(1)圖象在第一、三象限時(shí)，k0；(2)圖象在第二、四象限時(shí)，k0.,變式運(yùn)用2.2017盤(pán)錦中考如圖，雙曲線y (x0)經(jīng)過(guò)ABCO的對(duì)角線交點(diǎn)D，已知邊OC在y軸上，且ACOC于點(diǎn)C，則OABC的面積是( ) A. B. C3 D6,C 點(diǎn)D為ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，雙曲線y (x0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，ACy軸，S平行四邊形ABCO4SCOD4 | |3.,類(lèi)型3 反比例函數(shù)的應(yīng)用,【例3】2017麗水中考麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運(yùn)往杭州市場(chǎng)進(jìn)行銷(xiāo)售，記汽車(chē)行駛時(shí)間為t小時(shí)，平均速度為v千米/小時(shí)(汽車(chē)行駛速度不超過(guò)100千米/小時(shí))根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，v，t的一組對(duì)應(yīng)值如下表： (1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v(千米/小時(shí))關(guān)于行駛時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)表達(dá)式； (2)汽車(chē)上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達(dá)杭州市場(chǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)若汽車(chē)到達(dá)杭州市場(chǎng)的行駛時(shí)間t滿足3.5t4，求平均速度v的取值范圍,思路分析：(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知v是t的反比例函數(shù)，設(shè)v ，利用待定系數(shù)法求出k即可；(2)根據(jù)時(shí)間t2.5，求出速度，即可判斷；(3)根據(jù)自變量的取值范圍，求出函數(shù)值的取值范圍即可,(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知v . v75時(shí)，t4， k754300. v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為v (2)107.52.5， 當(dāng)t2.5時(shí)， v 120100. 汽車(chē)上午7：30從麗水出發(fā)，不能在上午10：00之前到達(dá)杭州市場(chǎng) (3)3.5t4，75v 故平均速度v的取值范圍是75v,技法點(diǎn)撥解決此類(lèi)問(wèn)題，首先要分析出變量符合哪種常見(jiàn)函數(shù)，之后運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，最后根據(jù)解析式解決問(wèn)題,類(lèi)型4 反比例函數(shù)的綜合,2017淄博中考如圖，在直角坐標(biāo)系中，RtABC的直角邊AC在x軸上，ACB90，AC1，反比例函數(shù)y (k0)的圖象經(jīng)過(guò)BC邊的中點(diǎn)D(3,1) (1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式； (2)若ABC與EFG成中心對(duì)稱(chēng)，且EFG的邊FG在y軸的正半軸上，點(diǎn)E在這個(gè)函數(shù)的圖象上 求OF的長(zhǎng)； 連接AF，BE，證明四邊形ABEF是正方形,思路分析：(1)由D點(diǎn)坐標(biāo)可求得k的值，進(jìn)而求得反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)由中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知ABCEFG，由D點(diǎn)坐標(biāo)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得BC和AC的長(zhǎng)，由全等三角形的性質(zhì)可求得GE和GF，即可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得OF的長(zhǎng)；由條件可證得AOFFGE，則AFEFAB，且EFAFAB90，進(jìn)而可證得四邊形ABEF為正方形,技法點(diǎn)撥本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定等知識(shí)在(1)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在(2)中求得E點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在(2)中證得AOFFGE是解題的關(guān)鍵.,六年真題全練,命題點(diǎn)1 反比例函數(shù)的意義,12012濱州，14,4分下列函數(shù)：y2x1；y ；yx28x2；y ；y ；y 中，y是x的反比 例函數(shù)的有 .(填序號(hào)）, y2x1是一次函數(shù)；y 是反比例函數(shù)，k5；yx28x2是二次函數(shù)；y 不是反比例函 數(shù)；y 是反比例函數(shù)，k ；y 中，當(dāng)a0，且a是常數(shù)時(shí)，是反比例函數(shù)，但已知中a沒(méi)有說(shuō)明，所以不是反比例函數(shù),猜押預(yù)測(cè)1.已知y(1a)xa22是反比例函數(shù)，則a .,猜押預(yù)測(cè)2.2017杭州三模下列問(wèn)題情景中的兩個(gè)變量成反比例的是( ) A汽車(chē)沿一條公路從A地駛往B地所需的時(shí)間t與平均速度v B圓的周長(zhǎng)l與圓的半徑r C圓的面積s與圓的半徑r D在電阻不變的情況下，電流強(qiáng)度I與電壓U,1 根據(jù)題意，得a221，解得a1.又1a0，即a1，a1.,A At (S是路程，定值)，t與v成反比例，故本選項(xiàng)符合題意；B.l2r，l與r成正比例，故本選項(xiàng)不符合題意；C.sr2，s與r2成正比例，故本選項(xiàng)不符合題意；D.I ，電流強(qiáng)度I與電壓U成正比例，故本選項(xiàng)不符合題意,得分要領(lǐng)(1)掌握反比例函數(shù)的一般形式及其變形；(2)會(huì)根據(jù)實(shí)際情景寫(xiě)出對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式,命題點(diǎn)2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),22014濱州，9,3分下列函數(shù)中，圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的是 ( ) Ay3x By12x Cy Dyx21,A A當(dāng)x0時(shí)，y300，故此選項(xiàng)符合題意；B.當(dāng)x0時(shí)，y1201，故此選項(xiàng)不符合題意；C.y 的圖象是雙曲線，不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)，故此選項(xiàng)不符合題意；D.當(dāng)x0時(shí)，y0211，故此選項(xiàng)不符合題意,32013濱州，6,3分若點(diǎn)A(1，y1)，B(2，y2)都在反比例函數(shù)y (k0)的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系為( ) Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2,C k0，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小12，y1y2.,猜押預(yù)測(cè)3.2017德陽(yáng)模擬對(duì)于反比例函數(shù)y ，下列說(shuō)法：點(diǎn)(2，1)在它的圖象上；它的圖象在第一、三象限；當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小上述說(shuō)法中，正確的序號(hào)是 .(填上所有你認(rèn)為正確的序號(hào)), 當(dāng)x2時(shí)，y1.點(diǎn)(2，1)在它的圖象上，正確；又k20，正確，錯(cuò)誤,猜押預(yù)測(cè)4.2017諸城三模函數(shù)yaxa與y (a0)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( ),得分要領(lǐng)(1)熟記反比例函數(shù)的系數(shù)與圖象位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(2)明確反比例函數(shù)的增減性要分象限討論,D A由反比例函數(shù)圖象，得a0，則對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)yaxa圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.由反比例函數(shù)圖象，得a0，則對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)yaxa圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.由反比例函數(shù)圖象得a0，則對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)yaxa圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.由反比例函數(shù)圖象，得a0，則對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)yaxa圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，故D選項(xiàng)正確,命題點(diǎn)3 反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義,42015濱州，12,4分如圖，在x軸的上方，直角BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)若BOA的兩邊分別與函數(shù)y ，y 的圖象交于B，A兩點(diǎn)，則OAB大小的變化趨勢(shì)為( ) A逐漸變小 B逐漸變大 C時(shí)大時(shí)小 D保持不變,D 如圖，過(guò)點(diǎn)A作ACx軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BDx軸于點(diǎn)D，則AOCOBD.設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a， )，則AC ，OCa，SAOC a 1，同理可得SOBD ， 2， tanOAB ，OAB是定值,52016濱州，17,4分如圖，已知點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)y 的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函數(shù)y 的圖象上，ab0，ABCDx軸，AB，CD在x軸的兩側(cè)，AB ，CD ，AB與CD間的距離為6，則ab的值是 .,3 設(shè)點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)為y1，點(diǎn)C，D的縱坐標(biāo)為y2，則點(diǎn)A 6，y14，y2 2.連接OA，OB，延長(zhǎng)AB交y軸于點(diǎn)E，如圖所示SOABSOAESOBE ab3.,62014濱州，17,4分如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)O是原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸上，菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6和4，反比例函數(shù)y (x0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值為 .,6 菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6和4，C(3,2)或(2,3)點(diǎn)C在反比例函數(shù)y 的圖象上，2 ，解得k6.,猜押預(yù)測(cè)5.2017邢臺(tái)模擬如圖，已知矩形OABC面積為 ，它的對(duì)角線OB與雙曲線y 相交于點(diǎn)D，且OBOD53，則k的值為( ) A6 B12 C24 D36,B 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，由題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為 矩形OABC的面積 解得xy12，圖象在第一 象限，kxy12.,得分要領(lǐng)重點(diǎn)掌握反比例函數(shù)的系數(shù)k與對(duì)應(yīng)的矩形或三角形的面積之間的關(guān)系,命題點(diǎn)4 反比例函數(shù)綜合題,72017濱州，12,3分在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線AB垂直于x軸于點(diǎn)C(點(diǎn)C在原點(diǎn)的右側(cè))，并分別與直線yx和雙曲線y 相交于點(diǎn)A，B，且ACBC4，則OAB的面積為 ( ),A 如圖，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,0)，則A(m，m)，B AC m，BC ACBC4，m 4.解得m2,猜押預(yù)測(cè)6.2017夏津一模函數(shù)y1x(x0)，y2 (x0)的圖象如圖所示，則結(jié)論：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2)；當(dāng)x2時(shí)，y2y1；當(dāng)x1時(shí)，BC3；當(dāng)x逐漸增大時(shí)，y1隨著x的增大而增大，y2隨著x的增大而減小其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ., 將y1x(x0)，y2 (x0)聯(lián)立，得 由于x0，解得 故A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)；由圖可知，當(dāng)x 2時(shí)，y1y2；當(dāng)x1時(shí)，y11，y24，則BC413；當(dāng)x逐漸增大時(shí)，y1隨著x的增大而增大，y2隨著x的增大而減小正確的結(jié)論為.,猜押預(yù)測(cè)7.2016商河二模如圖，點(diǎn)P