學科教育論文-積分中的對稱性【摘要】介紹幾種常見對稱性在重積分、曲線積分及曲面積分的計算過程中的幾個結(jié)論?！娟P(guān)鍵詞】積分；輪換對稱性；奇對稱；偶對稱在積分的計算過程中，當積分區(qū)域具有某種對稱性時，如果被積函數(shù)具有某種特性，這時可以利用對稱性簡化積分的計算。這里所討論的對稱性主要包括兩個方面：積分區(qū)域關(guān)于坐標軸（或坐標面）的對稱性和積分區(qū)域的輪換對稱性。設(shè)Dn為一積分區(qū)域，所謂積分區(qū)域的輪換對稱性是指當任一點P(x1,x2,xn)Dn時，有Pi(xi,xi+1,xn,x1,x2,xi-1)Dn,i=1,2,n。在一元函數(shù)積分學中，我們有下面所熟悉結(jié)論：若f(x)在閉區(qū)間-a,a上連續(xù)，則有a-af(x)dx=0,f(-x)=-f(x)2JF(Za0f(x)dxJF),f(-x)=f(x)利用這一性質(zhì)，可以簡化較復雜的定積分的計算。對重積分、曲線積分及曲面積分也有類似的結(jié)論。下面我們根據(jù)積分范圍的不同來介紹對稱性在各類積分計算中的幾點應用。1對稱性在重積分計算中的應用Df(x,y)d方面的應用。結(jié)論1若f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可積，且區(qū)域D關(guān)于y軸（或x軸）對稱，則有Df(x,y)d=0,f(x)為關(guān)于x（或y）的奇函數(shù)Df(x,y)d=2D1f(x,y)d,f(x,y)為關(guān)于x（或y）的偶函數(shù)。其中D1為區(qū)域D被y軸（或x軸）所分割的兩個對稱區(qū)域之一。結(jié)論2若f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可積，且區(qū)域D關(guān)于原點成中心對稱，則有：Df(x,y)d=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)關(guān)于原點成奇對稱；Df(x,y)d=2D1f(x,y)d=2D2f(x,y)d,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)關(guān)于原點成偶對稱,其中D1、D2關(guān)于原點對稱，且D1+D2=0。結(jié)論3若f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可積，且區(qū)域D關(guān)于直線L對稱，則有：Df(x,y)d=0,f(x,y)關(guān)于直線L奇對稱；Df(x,y)d=2D1f(x,y)d,f(x,y)關(guān)于偶對稱。其中D1為區(qū)域D被直線L所分割的兩個對稱區(qū)域之一。說明：若對D內(nèi)關(guān)于直線L對稱的任意兩點P、Q，都有f(P)=-f(Q),(f(P)=f(Q)，則稱f(x,y)關(guān)于直線L奇（偶）對稱。特別地，若區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，則當點(x,y)D時，有(y,x)D，這時積分區(qū)域D關(guān)于x、y具有輪換對稱性。這時我們有：Df(x,y)d=12Df(x,y)+f(y,x)d若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)關(guān)于直線y=xDf(x,y)d=0；若f(x,y)=f(y,x)，即f(x,y)關(guān)于直線y=x偶Df(x,y)d=2D1f(x,y)d。f(x,y,z)d時，也有類似的結(jié)論。若積分區(qū)域關(guān)于面xoy面（或yoz面或zox面）對稱，記1為區(qū)域被坐標面所分割的兩個對稱區(qū)域之一。則有：f(x,y,z)d=0,f(x,y,z)為關(guān)于z（或x或y）的奇函數(shù)；f(x,y,z)d=21f(x,y,z)d,f(x,y,z)為關(guān)于z（或x或y）的偶函數(shù)。若積分區(qū)域關(guān)于x,y,z具有輪換對稱性，即當(x,y,z)時，(y,z,x),(z,x,y)f(x,y,z)d=f(y,z,x)d=f(z,x,y)d=13f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)d2對稱性在曲線積分計算中的應用2.1對稱性在第一類曲線積分計算中的應用結(jié)論1若積分曲線L關(guān)于x軸（或y軸）對稱，記L1為曲線L被坐標軸所分割的兩個對稱區(qū)域之一，則有：Lf(x,y)ds=0,f(x,y)為關(guān)于y（或x）的奇函數(shù)；Lf(x,y)ds=2L1f(x,y)ds,f(x,y)為關(guān)于y（或x）的偶函數(shù)。結(jié)論2若積分曲線L關(guān)于直線y=x對稱，則當點(x,y)L時，有(y,x)L，即L關(guān)于x,y具有輪換對稱性，這時有：Lf(x,y)ds=Lf(y,x)ds=12Lf(x,y)+f(y,x)ds若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)關(guān)于直線y=x奇對稱，則Lf(x,y)ds=0；若f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)關(guān)于直線y=x偶對稱，則Lf(x,y)ds=2L1f(y,x)ds。其中L1為曲線L被直線y=x所分割的兩個對稱區(qū)域之一。2.2對稱性在第二類曲線積分計算中的應用設(shè)有曲線積分I=LP(x,y)dx，其中L為光滑的有向曲線弧，如果L關(guān)于某條直線（包括坐標軸）對稱，這時利用對稱性計算上述曲線積分時，不僅要考慮P(x,y)的大小和符號，還要考慮投影元素dx的符號。當積分方向和坐標軸正向之夾角小于2時，投影元素為正，否則為負。一般地，我們有：結(jié)論若積分曲線L關(guān)于某直線對稱，記