習(xí)題211、若自然數(shù)不是完全平方數(shù)，證明是無理數(shù)。證明：若不是無理數(shù)，設(shè)，于是而，故不整除整除，記，故，即為完全平方數(shù)，矛盾。假設(shè)不成立。 2、設(shè)是兩個不同的實(shí)數(shù)，證明之間一定存在有理數(shù)。證明：不妨設(shè)，則存在，使得 又因?yàn)榇嬖谡麛?shù)，使得 由，是有理數(shù)。3、設(shè)為無理數(shù)，證明存在無窮多個有理數(shù)，使得，證明：假設(shè)只有個有理數(shù)滿足，設(shè)為其中為有理數(shù)，且對于區(qū)間顯然，而為有理數(shù)，且 滿足要求，故假設(shè)不成立。習(xí)題221、求下列數(shù)集的上，下確界 上確界為1（不達(dá)到），下確界為0（達(dá)到）上確界為（不達(dá)到），下確界為2（達(dá)到）上確界為1（不達(dá)到），下確界為-1（不達(dá)到）上確界為1（不達(dá)到）下確界為0（達(dá)到）2、 設(shè)驗(yàn)證證明： ，即是的一個下界 若，則由有理數(shù)集在實(shí)數(shù)系中的稠密性，存在，且為有理數(shù)，于是，即存在不是的下界。3、用定義證明上（下）確界的唯一性證明一：假設(shè)均為下確界，且，不妨設(shè)。由于是下確界，則對，必存在,使得，這與是下確界矛盾。4、試證收斂數(shù)列必有上確界和下確界，且上、下確界至少有一個屬于該數(shù)列，趨于的數(shù)列必有下確界，趨于的數(shù)列必有上確界。證明： 由于收斂數(shù)列必定有界。根據(jù)確界存在原理，該收斂數(shù)列必有上確界和下確界。 若，則對于各項(xiàng)均為常數(shù)的數(shù)列，其上下確界顯然均屬于該數(shù)列。 對于各項(xiàng)不恒為常數(shù)的數(shù)列，記，則或存在或存在或這種都存在。作的充分小的鄰域使它不包含或不包含，或均不在此鄰域內(nèi)。 在這三種情況下，這個鄰域的外部都只有中的有限個元素，則將達(dá)到上確界，將達(dá)到下確界，上下確界均可達(dá)到。由， 可得，上下確界將至少有一個屬于該數(shù)列。 設(shè)，則，當(dāng)時，取，則。若時，于是取，則。5、 證明：單減有下界的數(shù)列必有極限。證明：設(shè)數(shù)列單減有下界，由確界存在原理，必有下確界，設(shè)，由下確界定義可知： ，對，使得。因單減，故當(dāng)時，即，即。習(xí)題231、 用區(qū)間套證明：有下界的數(shù)集必有下確界。證明：設(shè)是的一個下界，而不是的下界令，若是的下界，則取 若不是的下界，則取令，若是的下界，則取 若不是的下界，則取重復(fù)上述步驟，得到一閉區(qū)間套滿足：是的下界，不是的下界。由閉區(qū)間套定理，且。下證。 對，由于是的下界推出，而。把視為常數(shù)列，由極限的單調(diào)性知，即是的一個下界。 ，即，當(dāng)充分大時，而不是的下界，故 也不是的下界。由的任意性知，任何比大的數(shù)均不是的下界。綜合，是的下確界。2、設(shè)在上無界，證明必定存在，使得在的任意鄰域內(nèi)無界。證明：反證法，若，存在的某一鄰域，使得在此鄰域內(nèi)有界，對于，由于在的某一鄰域內(nèi)有界，故在該鄰域內(nèi)取，使得，于是在內(nèi)有界。對于由于在的某一鄰域內(nèi)有界，故在該鄰域內(nèi)取，使得，于是在區(qū)間內(nèi)有界。重復(fù)上述步驟，得到一區(qū)間套滿足：在及內(nèi)有界。由區(qū)間套定理，存在，故在上有界，對于點(diǎn)，在的某一鄰域內(nèi)也有界，從而在整個區(qū)間上有界，矛盾。3、設(shè)，在上滿足，若在上連續(xù)在上單增，證明存在，使=0。證明：記，且有令，若，則存在，使，得證。若，則取若，則取令，若，則原命題得證。若，則取若，則取重復(fù)上述步驟，得到一閉區(qū)間套，且具有一下性質(zhì)：若在此過程中某一中點(diǎn)，使，結(jié)論成立。否則由區(qū)間套定理，使得。下證，在上單增，故，又故。 由歸結(jié)原理= =令，有，從而。習(xí)題 241 、證明下列數(shù)列發(fā)散。 解 當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，奇子列和偶子列收斂于不同的數(shù)，故發(fā)散。為奇數(shù)時 當(dāng)為偶數(shù)時 奇子列和偶子列收斂于不同的數(shù)，故發(fā)散。2、證明單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是其存在一個收斂子列。證明：僅證單調(diào)遞增數(shù)列收斂的充要條件是其存在一個收斂子列。單增數(shù)列收斂，其自身將是它的一個收斂子列，必要性得證設(shè)單增數(shù)列有一個收斂子列因?yàn)樽恿幸彩菃卧鰯?shù)列，所以它的極限即為上確界下證 ，若，則，而由于，能找到，使得，而，即，有。 使，而單增，有，由，可知有，取，則時有于是，即即當(dāng)時，故，充分性得證3、設(shè)存在，證明。證明 存在，設(shè)為，由歸結(jié)原理，當(dāng)時，且當(dāng)故 4、在的某鄰域內(nèi)且，證明：。證明 ，當(dāng)充分大時，將落在的某個鄰域之內(nèi)，從而。令，由夾逼準(zhǔn)則，再由歸結(jié)原理有。5、設(shè)在的某個鄰域內(nèi)有定義，若對任意滿足下列條件的數(shù)列，都有，證明。證明 若，則，當(dāng)時，取，存在，當(dāng)時，取，當(dāng)時， 取，當(dāng)時，取，當(dāng)時，繼續(xù)下去可得數(shù)列滿足，且使得。這與矛盾。6、證明：的充要條件時：對每個嚴(yán)格單調(diào)遞增的正無窮大的數(shù)列都有。證明：必要性。當(dāng)時，則對于當(dāng)時有，故，即。充分性。設(shè)當(dāng)時，取取取繼續(xù)下去可得到一嚴(yán)格單增的數(shù)列,矛盾。習(xí)題 251、設(shè)是有界數(shù)列，若滿足，證明存在和子列，使。證明 因是有界數(shù)列，由致密性定理，存在收斂子列，設(shè)。因?yàn)?，故收斂，故必有界），因此存在收斂子列，再由可得子?滿足，從而。2 、有界數(shù)列發(fā)散，證明：存在兩個子列收斂于不同的極限。證明 由于數(shù)列有界，于是必存在收斂子列。若收斂于相同的極限，則將收斂，矛盾。 補(bǔ)充證明：若為點(diǎn)集的聚點(diǎn)，則中含有異于的數(shù)列收斂于證明：根據(jù)聚點(diǎn)定義：，則中至少存在中的異于的一個點(diǎn)。 取，則 取，則 取，則得到中的一個點(diǎn)列滿足條件： 在中令，有，即即中存在異于的點(diǎn)列收斂于。反之，結(jié)論也正確。證明：中存在異于的點(diǎn)列收斂于當(dāng)時，取，有即中至少存在中異于點(diǎn)的點(diǎn)，由聚點(diǎn)的定義，為點(diǎn)集的聚點(diǎn)。習(xí)題 261 、設(shè)在內(nèi)有定義，若，及，使得，有。證明：，有。證明 因?yàn)榍?，使時。在上每一點(diǎn)都找到這樣的，這些開區(qū)間的全體覆蓋。由有限覆蓋定理，必存在有限個開區(qū)間覆蓋。記為，設(shè)，且相應(yīng)的為且顯然有若屬于，則若屬于不同的鄰域，設(shè)，且，取可得綜上原命題得證。2設(shè)在上連續(xù)且恒正，試用有限覆蓋定理：在上有正的下界。證明：在處，有，根據(jù)實(shí)數(shù)的稠密性，使得，由極限的局部保號性，使，有再根據(jù)的任意性，在上每一點(diǎn)均能找到這樣的，這些開區(qū)間的全體構(gòu)成一開區(qū)間，且覆蓋，由有限覆蓋定理，必存在有限個鄰域覆蓋，設(shè)為，相應(yīng)的為，取，顯然，對，有，即證存在正的下界。3 用有限覆蓋定理證明閉區(qū)間套定理證明： （1）證明閉區(qū)間套存在公共點(diǎn)。假設(shè)不存在公共點(diǎn)。則，存在開鄰域，至少有某一個與不相交，于是時，更與不相交。由有限覆蓋定理，存在有限開區(qū)間把閉區(qū)間覆蓋。由上可知，當(dāng)時，與均不相交 ，當(dāng)時，與均不相交 ，當(dāng)時，與均不相交取，當(dāng)時，均與不相交，即與這些不相交，這與矛盾。（2） ，因是的公共點(diǎn)，即，有即，而由可知，從而，又，故。（3）唯一性；設(shè)存在，但是，由夾逼準(zhǔn)則，令，有。 習(xí)題2-71 用柯西收斂原理判定下列數(shù)列的收斂性。（1）解 ，取，則當(dāng)時，有（2）解 ，取,當(dāng)時，有2 滿足下列條件的數(shù)列是不是柯西數(shù)列？（1），解 時，（2）故，故是柯西列