4.1.2圓的一般方程一、圓的一般方程1圓的一般方程的定義當時，方程表示一個圓，這個方程叫做圓的一般方程，其中圓心為_，半徑_.2圓的一般方程的推導把以為圓心，為半徑的圓的標準方程展開，并整理得.取，得： .把的左邊配方，并把常數(shù)項移到右邊，得.當且僅當_時，方程表示圓，且圓心為_，半徑長為_；當時，方程只有實數(shù)解，所以它表示一個點_；當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形3點與圓的位置關系點與圓的位置關系是：在圓內_，在圓上_，在圓外_.二、待定系數(shù)法求圓的一般方程求圓的方程常用“待定系數(shù)法”，用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：根據(jù)題意，選擇_；根據(jù)條件列出關于或的_；解出或，代入標準方程或一般方程三、軌跡和軌跡方程1軌跡和軌跡方程的定義平面上一動點M，按照一定規(guī)則運動，形成的曲線叫做動點M的軌跡.在坐標系中，這個軌跡可用一個方程表示，這個方程就是軌跡方程.2求軌跡方程的五個步驟_：建立適當?shù)淖鴺讼?，用表示曲線上任意一點M的坐標；_：寫出適合條件的點的集合；_：用坐標表示條件，列出方程；_：化方程為最簡形式；査漏、剔假：證明化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點K知識參考答案：一、1 2 3 二、標準方程或一般方程 方程組三、2建系 設點 列式 化簡 K重點圓的一般方程、用待定系數(shù)法求圓的一般方程K難點與圓有關的軌跡問題K易錯忽視圓的一般方程應滿足的條件致錯1圓的方程的判斷判斷二元二次方程是否表示圓的方法:（1）利用圓的一般方程的定義,求出利用其符號判斷.（2）將方程配方化為的形式,根據(jù)的符號判斷.【例1】判斷下列方程是否表示圓,若是,化成標準方程.(1)x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+2ay-1=0;(3)x2+y2+20x+121=0;(4)x2+y2+2ax=0.【例2】 方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圓的條件是Am1Bm1Cm1【答案】B【解析】由于二元二次方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示一個圓，則D2+E2-4F=16m2+4-20m0，解得m1或m0,故點P的軌跡是圓.又,所以圓心坐標為(-3,2),半徑r=.【例6】已知直角的斜邊為,且,求:（1）直角頂點的軌跡方程;（2）直角邊中點的軌跡方程.解法二：同解法一得且.由勾股定理得，即，化簡得.因此,直角頂點的軌跡方程為.解法三：設中點為,由中點坐標公式得,由直角三角形的性質知, ,由圓的定義知,動點的軌跡是以為圓心,以2為半徑的圓（由于三點不共線,所以應除去與軸的交點）.設,則直角頂點的軌跡方程為.（2）設點,因為是線段的中點,由中點坐標公式得 (且), ,于是有.由（1）知,點在圓上運動,將代入該方程得,即.因此動點的軌跡方程為.4忽視圓的一般方程應滿足的條件致錯【例7】已知點在圓外，求的取值范圍.【錯解】點在圓外，解得的取值范圍是【錯因分析】本題忽視了圓的一般方程表示圓的條件為，而導致錯誤【正解】方程表示圓，即，解得又點在圓外，解得或.綜上所述，的取值范圍是【易錯點睛】一個二元二次方程是否滿足表示圓的條件，這是將二元二次方程按圓的方程處理時應首先考慮的問題1圓x2y24x6y30的圓心和半徑分別為A（4，6），16 B（2，3），4C（2，3），4 D（2，3），162若方程x2y2xym0表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是A BC D3設圓的方程是，若，則原點與圓的位置關系是A在圓上B在圓外C在圓內 D不確定4與圓同圓心，且過的圓的方程是A BC D5若的斜邊的兩端點A,B的坐標分別為(-3,0)和(7,0),則直角頂點C的軌跡方程為Ax2+y2=25(y0) Bx2+y2=25C(x-2)2+y2=25(y0) D(x-2)2+y2=256圓心是（3，4），經(jīng)過點M（5，1）的圓的一般方程為 7已知圓C：x2y22x2y30，AB為圓C的一條直徑，點A（0,1），則點B的坐標為 8下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑（1）；（2）；（3）9已知方程(mR)表示一個圓.(1)求m的取值范圍.(2)若m0，求該圓半徑r的取值范圍.10已知三點坐標分別是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求過A,B,C的圓的一般方程,并判斷點M(1,4),N(6,4),P(0,1)與所求圓的位置關系.11若圓的圓心位于第三象限，那么直線一定不經(jīng)過A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限12已知兩定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于AB4C8D913當a為任意實數(shù)時,直線(a-1)x-y+a+2=0恒過定點C,則以C為圓心,為半徑的圓的方程為Ax2+y2-2x+6y=0 Bx2+y2+2x+6y=0Cx2+y2+2x-6y=0 Dx2+y2-2x-6y=014如圖，設定點，動點在圓上運動，以為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡15（2016新課標II）圓的圓心到直線的距離為1，則a=A BC D216（2016新課標I）設直線與圓相交于兩點,若,則圓的面積為 .1234511121315CABBCDBCA1【答案】C【解析】由圓的一般方程可知圓心坐標為（2，3），半徑故選C.2【答案】A【解析】由方程x2y2xym0表示圓，可得，解得.故選A.3【答案】B【解析】將原點坐標代入圓的方程得，原點在圓外4【答案】B【解析】把圓化成標準方程為，由于兩圓共圓心，可設另一個圓的方程為：，把代入所設方程，得：，所以所求的圓的方程為，化簡為：，故選B.5【答案】C【解析】線段AB的中點坐標為(2,0)，因為為直角三角形，C為直角頂點，所以點C到點(2,0)的距離為|AB|=5,所以點C(x,y)滿足=5(y0),即(x-2)2+y2=25(y0).8【解析】（1），.方程（1）不表示任何圖形（2），.方程（2）表示點（3）方程兩邊同除以2，得，.方程（3）表示圓，它的圓心為，半徑.9【解析】(1)依題意，得4(m3)24(2m1)24(5m22)0，即8m320，解得m4，所以m的取值范圍是(4，).(2)，因為m0，)，所以，所以r的取值范圍是.11【答案】D【解析】圓的圓心為（a，），則a0.直線y，其斜率k0，在y軸上的截距為0，所以直線不經(jīng)過第四象限，故選D12【答案】B【解析】設點P的坐標為(x,y),則(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2,即(x-2)2+y2=4,所以點P的軌跡是以(2,0)為圓心,2為半徑長的圓,所以點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于4.13【答案】C【解析】直線方程可化為(x+1)a-(x+y-2)=0，直線過定點,即對任意的實數(shù)a，方程恒成立，故有,解得，即直線過定點C(-1,3)，故所求圓的方程為(x+1)2+(y-3)2=10，即x2+y2+2x-6y=0.15【答案】A【