1 Fourier 級數(shù) 2 以2l為周期的函數(shù)的展開式,第十五章 傅里葉(Foueier)級數(shù),第十五章 傅里葉(Foueier)級數(shù),1 Fourier級數(shù),一 問題的提出,非正弦周期函數(shù):矩形波,不同頻率正弦波逐個疊加,由以上可以看到：一個比較復雜的周期運動可 以看作是許多不同頻率的簡諧振動的疊加,二 三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性,1.三角級數(shù),引例中的簡諧振動函數(shù),（1）,即:由三角函數(shù)組成的函項級數(shù)成為三角級數(shù),則(1)式右端的級數(shù)可改寫為,(2),得到行如(2)式的級數(shù)稱為三角級數(shù),2 三角函數(shù)系的正交性,(1) 三角函數(shù)系,即,i),ii),iii),三 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),問題,1.若能展開, 是什么?,2.展開的條件是什么?,1.傅里葉系數(shù),可得,可得,可得,從而得到傅里葉系數(shù),把以上得到的系數(shù)代入三角級數(shù),問題:,該級數(shù)稱為傅里葉級數(shù),3. 三角級數(shù)的收斂性定理:,若級數(shù) 收斂,則級數(shù),在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂.,由M判別法即得定理結(jié)論.,證,2.定理(收斂定理,狄利克雷(Dirichlet)充分條件),(2) 若函數(shù) 在 上逐段光滑,則有性質(zhì):,(3) 從幾何圖形上講,在 上逐段光滑 ,是由有限 個光滑弧段所組成,它至多有有限個第一類間斷點與角點.,a,b,(4) 收斂定理指出, 的Fourier 級數(shù)在點 X 處收斂于這點上 的左,右極限的算術(shù)平均 值 而當 在點x連續(xù)時,則有,(5) 根據(jù)收斂定理的假設(shè), 是以 為周期的函數(shù),所以 系數(shù)公式中的積分區(qū)間 可以改為長度為 的任何 區(qū)間,即:,其中C為任意實數(shù).,在具體討論函數(shù)的Fourier 級數(shù)展開式時,常只給出函數(shù) 在 (或 ) 上的解析式,但應理解為它是定 義在整個數(shù)軸上以 為周期的函數(shù).即在 以外部,分按函數(shù)在 上的對應關(guān)系作周期延拓,使,函數(shù)周期延拓后的圖象,求 的Fourier級數(shù).,函數(shù) 及周期延拓后的函數(shù)如下圖.,顯然 按段光滑,由收斂定理,它可展開成Fourier級數(shù).,由于,所以在開區(qū)間 上,當 時,上右式收斂于,從而,在 上, 的Fourier級數(shù)的圖象如下:,注意和 延拓后的圖象的比較,注,函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低的多.,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,和函數(shù)圖象為,所求函數(shù)的傅氏展開式為,注(一),對于非周期函數(shù),如果函數(shù) 只在區(qū)間 上有定義,并且滿足狄立克雷充分條件,也可展開成傅立葉級數(shù).,作法:,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在 收斂于 .,所求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式為,推廣:利用傅立葉級數(shù)展開式求出幾個特殊級數(shù)的和,正弦級數(shù)和余弦級數(shù) (Sine series and cosine series),一般說來,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項,又含有余弦項.但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項.,1.定理 設(shè) 是周期為 的函數(shù),且可積,則,證明,同理可證(2),2.定義,定理證畢.,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,和函數(shù)圖象,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個數(shù)軸上連續(xù).,非周期函數(shù)的周期性開拓,則有如下兩種情況,注(二),1.奇延拓,2.偶延拓,解,(1)求正弦級數(shù).,(2)求余弦級數(shù),三、小結(jié),1, 三角級數(shù)的定義;,2, 正交函數(shù)系的特征;,3, 三角級數(shù)的收斂定理;,5, 收斂定理;,4, 以 為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)定義;,6, 求函數(shù) 的Fourier級數(shù)的方法.,P70: 1, 2, 3, 4, 7.,思考判斷題,第十五章 傅里葉(Foueier)級數(shù),2 以2l為周期的函數(shù)的展開式,一 周期為 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù),定理,代入傅立葉級數(shù)中,則有,則有,證明,定理得證.,解,解,另一種解法:,解,設(shè) 是以 為周期的偶函數(shù),或是定義在,上的偶函數(shù),則稱,為 的余弦級數(shù),其中,若 是以 為周期的奇函數(shù),或是定義在 上的,的奇函數(shù),則稱,為 的正弦級數(shù),其中,若將定義在 (或 )上的函數(shù) 展成余弦 級數(shù)或正弦級數(shù),先把定義在 (或 )上的函數(shù)作 偶式延拓或作奇式延拓至 (或 ),設(shè)函數(shù),求 的Fourier級數(shù)展開式.,是 上的偶函級,其周期延拓后(如下圖),x,y,o,由于 是按段光滑函數(shù),故可展開成余弦級數(shù).,因為,所以,把 在 內(nèi)展成,(i) 正弦級數(shù); (ii) 余弦級數(shù).,則,(i) 為了把 展成正弦級數(shù),對 作奇式周期延拓,所以當 時,由收斂定理 得,(ii) 為了把 展成余弦級數(shù),對 作偶式周期延拓如下圖:,則,以 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)為,*二 傅立葉級數(shù)的復數(shù)形式,代入歐拉公式,即為傅里葉系數(shù)的復數(shù)形式,即得傅立葉級數(shù)的復數(shù)形式,解,三 小結(jié),2.求傅立葉級數(shù)展開式的步驟;,(1).畫圖形驗證是否滿足狄氏條件(收斂域,奇偶性);,(2).求出傅氏系數(shù);,1.以2L為周期的周期函數(shù)的傅立葉系數(shù),傅立葉 級數(shù),相應奇函