1,復變函數(shù) 第4講,本文件可從網(wǎng)址 上下載,2,有關(guān)二元函數(shù)的一些高等數(shù)學的知識,3,一，二元函數(shù)的極限和連續(xù)性 定義 設函數(shù)z=f(x,y)的定義域為D, P0(x0,y0)是D的聚點, 如果對于任意給定的正數(shù)e, 總存在正數(shù)d, 使得對于適合不等式,的一切點P(x,y)D, 都有|f(x,y)-A|e成立, 則稱A為函數(shù)z=f(x,y)當xx0,yy0時的極限, 記作,或 f(x,y)A (r0) (這里r=|PP0|),4,定義 設2元函數(shù)f(x,y)的定義域為D, P0(x0,y0)是D的聚點且P0D. 如果,則稱2元函數(shù)f(x,y)在點P0處連續(xù).,5,6,例: 設二元函數(shù)f(x,y)=x2sin2y, 則,7,第二章 解析函數(shù),8,1 解析函數(shù)的概念,9,1. 復變函數(shù)的導數(shù)與微分 i) 導數(shù)的定義 定義 設函數(shù)w=f(z)定義于區(qū)域D, z0為D中一點, 點z0+Dz不出D的范圍. 如果極限,存在, 則就說f(z)在z0可導, 此極限值就稱為f(z)在z0的導數(shù), 記作,10,也就是說, 對于任給的e0, 存在d(e)0, 使得當0|Dz|d時, 有,應當注意, 定義中z0+Dzz0(即Dz0)的方式是任意的, 定義中極限值存在的要求與z0+Dzz0的方式無關(guān), 也就是說, 當z0+Dz在區(qū)域D內(nèi)以任何方式趨于z0時, 比值,11,如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導, 就說f(z)在內(nèi)可導.,12,例1 求f(z)=z2的導數(shù) 解 因為,所以 f (z)=2z.,13,例2 問f(z)=x+2yi是否可導? 解 這里,z,x,y,O,14,設z+z沿著平行于x軸的直線趨向于z, 因而y=0. 這時極限,設z+z沿著平行于y軸的直線趨向于z, 因而x=0. 這里極限,所以f(z)=x+2yi的導數(shù)不存在.,15,復習函數(shù)的連續(xù)性 定義,則說f(z)在z0處連續(xù). 如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù), 我們說f(z)在D內(nèi)連續(xù). 定理三 函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù).,16,ii)可導與連續(xù) 容易證明, 在z0點可導的函數(shù)必定在z0點連續(xù).,17,事實上, 由在z0點可導的定義, 對于任給的e0, 相應地有一個d0, 使得當0|Dz|d時, 有,由此得f(z0+Dz)-f(z0)=f (z0)Dz+r(Dz)Dz (2.1.2),18,iii) 求導法則 與實函數(shù)同樣的辦法可得: 1) (c)=0, 其中c為復常數(shù). 2) (zn)=nzn-1, 其中n為正整數(shù). 3) f(z)g(z)=f (z)g(z). 4) f(z)g(z)=f (z)g(z)+f(z)g(z).,6) fg(z)=f (w)g(z), 其中w=g(z).,19,iv)微分的概念 設函數(shù)w=f(z)在z0可導, 則有 Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f (z0)Dz+r(Dz)Dz,因此, |r(Dz)Dz|是|Dz|的高階無窮小量, 而f (z0)Dz是函數(shù)w=f(z)的改變量Dw的線性部分, 稱為函數(shù)w=f(z)在點z0的微分, 記作 dw=f (z0)Dz (2.1.3) 如果函數(shù)在z0的微分存在, 則稱函數(shù)f(z)在z0可微.,20,dw=f (z0)Dz (2.1.3) 特別, 當f(z)=z時, 由(2.1.3)得dz=Dz. 于是(2.1.3)變?yōu)?dw=f (z)dz, 即,由此可見, 函數(shù)w=f(z)在z0可導與在z0可微是等價的. 如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微, 則稱f(z)在D內(nèi)可微.,21,2. 解析函數(shù)的概念,定義 如果函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導, 則稱f(z)在z0解析, 如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點解析, 則稱f(z)在D內(nèi)解析, 或稱f(z)是D內(nèi)的一個解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)),如果f(z)在z0不解析, 則稱z0為f(z)的奇點. 由定義可知, 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導是等價的. 但是, 函數(shù)在一點處解析和在一點處可導不等價. 即, 函數(shù)在一點處可導, 不一定在該點處解析.,22,例3 研究函數(shù)f(z)=z2, g(z)=x+2yi和h(z)=|z|2的解析性. 解 由解析函數(shù)的定義與前面例1,例2可知, f(z)=z2在復平面內(nèi)是解析的, 而g(z)=x+2yi卻處處不解析. 下面研究h(z)=|z|2的解析性. 由于,23,易見, 如果z0=0, 則當z0時, 上式的極限是零. 如果z00, 令z0+z沿直線 y-y0=k(x-x0) 趨于z0, 由于k的任意性,不趨于一個確定的值.,24,所以, 當x0時,比值,的極限不存在. 因此, h(z)=|z|2僅在z=0處可導, 而在其他點都不可導. 由定義, 它在復平面內(nèi)處處不解析.,25,例4 研究函數(shù) 的解析性.,解 因為w在復平面內(nèi)除點z=0外處處可導, 且,所以在除z=0外的復平面內(nèi), 函數(shù),處處解析, 而z=0是它的奇點.,26,根據(jù)求導法則可知,定理 1)在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個函數(shù)f(z)與g(z)的和,差,積,商(除去分母為零的點)在D內(nèi)解析. 2)設函數(shù)h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析, 函數(shù)w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析. 如果對D內(nèi)的每一個點z, 函數(shù)g(z)的對應值h都屬于G, 則復合函數(shù)w=fg(z)在D內(nèi)解析.,27,從這個定理可推知, 所有多項式在復平面內(nèi)是處處解析的, 任何一個有理分式函數(shù)P(z)/Q(z)在不含分母為零的點的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù), 使分母為零的點是它的奇點.,28,2 函數(shù)解析的充要條件,29,在工程中, 往往是要用復變函數(shù)來解決實際問題. 而實際問題中遇到的復變函數(shù), 通常都是某個實變函數(shù)延拓而來的. 即, 如果原來有一個實變函數(shù)f(x), 自變量是實數(shù), 函數(shù)值也是實數(shù), 則將x用一個復數(shù)代替, 就產(chǎn)生了一個自變量和函數(shù)值都是復數(shù)的復變函數(shù). 事實上我們只關(guān)心這樣的復變函數(shù). 比如說 實變函數(shù)f(x)=x2-x+1, 則相應的延拓的復變函數(shù)就是f(z)=z2-z+1. 經(jīng)常就是實變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構(gòu)成的初等函數(shù)延拓到復變函數(shù).,30,假設f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數(shù), 我們也可以將它看作是變量x,y的二元函數(shù), 則對x求偏導和對y求偏導, 得兩個公式,31,考察一個函數(shù)在一點可導(或可微)應當滿足什么條件. 設函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi), 并且在D內(nèi)一點z=x+iy可導. 由(2.1.2)式可知, 對于充分小的|Dz|=|Dx+iDy|0, 有 f(z+Dz)-f(z)=f (z)Dz+r(Dz)Dz, 其中,32,f(z+Dz)-f(z)=f (z)Dz+r(Dz)Dz, 在上式中令f(z+Dz)-f(z)=Du+iDv, f (z)=a+ib, r(Dz)=r1+ir2. 上式寫為 Du+iDv=(a+ib)(Dx+iDy)+(r1+ir2)(Dx+iDy) =(aDx-bDy+r1Dx-r2Dy) +i(bDx+aDy+r2Dx+r1Dy). 從而就有 Du=aDx-bDy+r1Dx-r2Dy, Dv=bDx+aDy+r2Dx+r1Dy. 且當Dz0,即Dx0,Dy0時, r(Dz)0, 即有r10,r20.,33,f (z)=a+ib f(z+Dz)-f(z)=Du+iDv Du=aDx-bDy+r1Dx-r2Dy, Dv=bDx+aDy+r2Dx+r1Dy. 因此得知u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微, 而且滿足方程,34,方程,(2.2.1),稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程.,35,定理一 設函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi), 而f(z)在D內(nèi)一點z=x+iy可導的充分必要條件是: u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微, 并且在該點滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程,36,證 條件的必要性已經(jīng)證明, 現(xiàn)證充分性, 由于 f(z+Dz)-f(z)=u(x+Dx,y+Dy)-u(x,y) +iv(x+Dx,y+Dy)-v(x,y) =Du+iDv, 又因為u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微, 可知,x,y0時,ek0, (k=1,2,3,4),37,根據(jù)柯西-黎曼方程,所以,因此,38,或,因為,故當Dz趨于零時, 上式最后兩項都趨于零, 因此,即函數(shù)f(z)在點z=x+iy處可導. 證畢.,39,由定理一證明的未尾及柯西-黎曼方程, 立即可以得到函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy處的導數(shù)公式:,40,根據(jù)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的定義及定理一, 就得到了判斷函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的一個充要條件.,定理二 函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微, 并滿足柯西-黎曼方程(2.2.1).,41,例1 判斷下列函數(shù)在何處可導, 在何處解析:,解 1) 因為u=x, v=-y,可知柯西-黎曼方程不滿足, 所以 w =z 在復平面內(nèi)處處不可導, 處處不解析,42,2) 因為u=excos y, v=exsin y,柯西-黎曼方程成立, 由于上面四個偏導數(shù)都是連續(xù)的, 所以f(z)在復平面內(nèi)處處可導, 處處解析, 且根據(jù)(2.2.2)式有 f (z)=ex(cos y+isin y)=f(z) 今后將知道這個函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.,43,3) 由w=zRe(z)=x2+ixy, 得u=x2, v=xy, 所以,容易看出, 這四個偏導數(shù)處處連續(xù), 但僅當x=y=0時, 它們才滿足柯西-黎曼方程, 因而函數(shù)僅在z=0可導, 但在復平面內(nèi)任何地方都不解析.,44,例2 設函數(shù)f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 問常數(shù)a,b,c,d取何值時, f(z)在復平面內(nèi)處處解析? 解 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 從而要使ux=vy, uy=-vx, 只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by. 因此, 當a=2, b=-1, c=-1, d=2時, 此函數(shù)在復平面內(nèi)處處解析, 這時 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2) =(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2,45,例3 如果f (z)在區(qū)域D處處為零, 則f(z)在D內(nèi)為一常數(shù). 證 因為,所以u=常數(shù), v=常數(shù), 因而f(z)在D內(nèi)是常數(shù).,46,例4 如果f(z)=u+iv為一解析函數(shù), 且f (z)0, 則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交, 其中c1, c2為常數(shù). 證 由于f (z)