第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例2019考綱考題考情1兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)。(2)負(fù)相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)。(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。2回歸方程(1)最小二乘法使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法。(2)回歸方程方程x是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回歸方程，其中，是待定參數(shù)。3回歸分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法。(2)樣本點(diǎn)的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中(，)稱為樣本點(diǎn)的中心。(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r3.841，這表明小概率事件發(fā)生。根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為5%。答案5%二、走近高考3(2017山東高考)為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為x。已知i225，i1 600，4。該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為()A160B163C166D170解析易知22.5，160。因?yàn)?，所以160422.5，解得70，所以回歸直線方程為4x70，當(dāng)x24時(shí)，9670166。故選C。答案C三、走出誤區(qū)微提醒：混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系；不知道回歸直線必過樣本點(diǎn)中心；對獨(dú)立性檢驗(yàn)K2值的意義不清楚。4兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是()ABCD解析第一個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，則是正相關(guān)；第三個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，則是負(fù)相關(guān)；第二個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒有什么規(guī)律，則是不相關(guān)，所以應(yīng)該是。答案D5某醫(yī)療機(jī)構(gòu)通過抽樣調(diào)查(樣本容量n1 000)，利用22列聯(lián)表和K2統(tǒng)計(jì)量研究患肺病是否與吸煙有關(guān)。計(jì)算得K24.453，經(jīng)查閱臨界值表知P(K23.841)0.05，現(xiàn)給出四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A在100個(gè)吸煙的人中約有95個(gè)人患肺病B若某人吸煙，那么他有95%的可能性患肺病C有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”D只有5%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”解析由已知數(shù)據(jù)可得，有10.0595%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”。故選C。答案C6某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)。根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程為0.67x54.9。零件數(shù)x/個(gè)1020304050加工時(shí)間y/min62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊看不清，則該數(shù)據(jù)為_。解析設(shè)表中那個(gè)模糊看不清的數(shù)據(jù)為m。由表中數(shù)據(jù)得30，所以樣本點(diǎn)的中心為，因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線上，所以0.673054.9，解得m68。答案68考點(diǎn)一變量相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】(1)下列四個(gè)散點(diǎn)圖中，變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系的是()(2)為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)某班學(xué)生的兩科成績得到如圖所示的散點(diǎn)圖(x軸、y軸的單位長度相同)，用回歸直線方程x近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是()A線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，的值為1.25B線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，的值為0.83C線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，的值為0.87D線性相關(guān)關(guān)系較弱，無研究價(jià)值解析(1)觀察散點(diǎn)圖可知，只有D選項(xiàng)的散點(diǎn)圖表示的是變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系。故選D。(2)由散點(diǎn)圖可以看出兩個(gè)變量所構(gòu)成的點(diǎn)在一條直線附近，所以線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，且應(yīng)為正相關(guān)，所以回歸直線方程的斜率應(yīng)為正數(shù)，且從散點(diǎn)圖觀察，回歸直線方程的斜率應(yīng)該比yx的斜率要小一些，綜上可知應(yīng)選B。答案(1)D(2)B相關(guān)關(guān)系的直觀判斷方法就是作出散點(diǎn)圖，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個(gè)變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具有相關(guān)性?！咀兪接?xùn)練】(1)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A1B0CD1(2)已知變量x和y滿足關(guān)系y0.1x1，變量y與z正相關(guān)。下列結(jié)論中正確的是()Ax與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Bx與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)Cx與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Dx與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)解析(1)完全的線性關(guān)系，且為負(fù)相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1。故選A。(2)由y0.1x1，知x與y負(fù)相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān)，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負(fù)相關(guān)，故選C。答案(1)A(2)C考點(diǎn)二線性回歸分析【例2】改革開放40年來，全國居民人均可支配收入由171元增加到2.6萬元，中等收入群體持續(xù)擴(kuò)大。我國貧困人口累計(jì)減少7.4億人，貧困發(fā)生率下降94.4個(gè)百分點(diǎn)，譜寫了人類反貧困史上的輝煌篇章。某地級市共有200 000名中學(xué)生，其中有7%的學(xué)生在2017年享受了“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，在享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個(gè)等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數(shù)之比為532，為進(jìn)一步幫助這些學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立“專項(xiàng)教育基金”，對這三個(gè)等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助1 000元、1 500元、2 000元。經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)厝司芍淠晔杖胼^上一年每增加n%，一般困難的學(xué)生中有3n%會脫貧，脫貧后將不再享受“精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有2n%轉(zhuǎn)為一般困難學(xué)生，特別困難的學(xué)生中有n%轉(zhuǎn)為很困難學(xué)生?，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地級市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中統(tǒng)計(jì)量的值，其中年份x取13時(shí)代表2013年，x取14時(shí)代表2014年，依此類推，且x與y(單位：萬元)近似滿足關(guān)系式x，(2013年至2019年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變)(yi)2(xi)(yi)0.83.11(1)估計(jì)該市2018年人均可支配年收入為多少萬元？(2)試問該市2018年的“專項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為多少萬元？附：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線方程u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，。解(1)因?yàn)?1314151617)15，所以(xi)2(2)2(1)2122210，所以0.1，0.80.1150.7，所以0.1x0.7。當(dāng)x18時(shí)，2018年人均可支配年收入y0.1180.71.1(萬元)。(2)由題意知2017年時(shí)該市享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生共200 0007%14 000人。一般困難、很困難、特別困難的中學(xué)生依次有7 000人、4 200人、2 800人，2018年人均可支配年收入比2017年增長0.110%。故2018年該市特別困難的中學(xué)生有2 800(110%)2 520人，很困難的學(xué)生有4 200(120%)2 80010%3 640人，一般困難的學(xué)生有7 000(130%)4 20020%5 740人。所以2018年的“專項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為5 7400.13 6400.152 5200.21 624(萬元)。1對變量值的預(yù)測主要是由給出的變量的值預(yù)測與其有相關(guān)關(guān)系的變量的值，一般方法是：若已知回歸直線方程，則直接將數(shù)值代入求得預(yù)測值。2回歸模型的擬合效果主要有兩種途徑判斷(1)利用數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，觀察數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)與回歸直線的位置關(guān)系進(jìn)行分析；(2)利用殘差進(jìn)行分析，最簡單的作法是選擇數(shù)據(jù)中的具有代表性的點(diǎn)進(jìn)行預(yù)報(bào)，比較預(yù)報(bào)值與真實(shí)值的差距進(jìn)行分析?！咀兪接?xùn)練】(2018全國卷)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖。為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型。根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，17)建立模型：30.413.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，7)建立模型：9917.5t。(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由。解(1)利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為30.413.519226.1(億元)。利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為9917.59256.5(億元)。(2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠。理由如下：a從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線30.413.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢。2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型9917.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠。b從計(jì)算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠。以上2種理由，答出其中一種或其他合理理由均可?？键c(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)【例3】(2018全國卷)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式。為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人。第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式。根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2，P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高。理由如下：由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘。因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高。由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘。因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高。由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高。由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布。又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高。以上4種理由，答出其中一種或其他合理理由均可。(2)由莖葉圖知m80。列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于K2106.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異。1在22列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足adbc0。|adbc|越小，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|adbc|越大，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng)。2解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論。獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式K2計(jì)算K2的觀測值k；(3)比較觀測值k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷?！咀兪接?xùn)練】某省會城市地鐵將于2019年6月開始運(yùn)營，為此召開了一個(gè)價(jià)格聽證會，擬定價(jià)格后又進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下：月收入(單位：百元)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75贊成定價(jià)者人數(shù)123534認(rèn)為價(jià)格偏高者人數(shù)4812521(1)若以區(qū)間的中點(diǎn)值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差異是多少(結(jié)果保留2位小數(shù))；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表，分析是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”。月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計(jì)認(rèn)為價(jià)格偏高者贊成定價(jià)者總計(jì)附：K2。P(K2k0)0.050.01k03.8416.635解(1)“贊成定價(jià)者”的月平均收入為x150.56。“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入為x238.75，所以“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是x1x250.5638.7511.81(百元)。(2)根據(jù)條件可得22列聯(lián)表如下：月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計(jì)認(rèn)為價(jià)格偏高者32932贊成定價(jià)者71118總計(jì)104050K26.2726.635，所以沒有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”。1(配合例2使用)如圖是某企業(yè)2012年至2018年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖。注：年份代碼17分別對應(yīng)年份20122018。(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y和t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程，預(yù)測2019年該企業(yè)的污水凈化量；(3)請用數(shù)據(jù)說明回歸方程預(yù)報(bào)的效果。參考數(shù)據(jù)：54，(ti)(yi)21，3.74，(yii)2。參考公式：相關(guān)系數(shù)r，線性回歸方程t，。反映回歸效果的公式為：R21，其中R2越接近于1，表示回歸的效果越好。解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)得，4，(ti)228，(yi)218，所以r0.935。因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.935，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，所以可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系。(2)因?yàn)?4，所以54451，所以y關(guān)于t的線性回歸方程為tt51。將2019年對應(yīng)的t8代入得85157，所以預(yù)測2019年該企業(yè)污水凈化量約為57噸。(3)因?yàn)镽21110.875，所以“污水凈化量的差異”有87.5%是由年份引起的，這說明回歸方程預(yù)報(bào)的效果是良好的。2(配合例3使用)近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展起源于二十世紀(jì)初，它是在概率論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的工作則可以追溯到遠(yuǎn)古的“結(jié)繩記事”和二十四史中大量的關(guān)于我國人口、錢糧、水文、天文、地震等資料的記錄。近幾年，霧霾來襲，對某市該年11月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：表一日期123