第四章,大數(shù)定律和中心極限定理,一. 切比雪夫不等式,若r.v.X的期望和方差存在，則對任意0，有,這就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等價的形式：,1 大數(shù)定率,例 已知某種股票每股價格X的平均值為1元，標準差為0.1元，求a,使股價超過1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解:由切比雪夫不等式,令,一.依概率收斂,設Xn為隨機變量序列，X為隨機變量，若任給0, 使得,則稱Xn依概率收斂于X. 可記為,如,意思是:當,a,時,Xn落在,內(nèi)的概率越來越大.,二.幾個常用的大數(shù)定律,1.切比雪夫大數(shù)定律 設Xk,k=1,2,.為獨立的隨機變量序列，且有相同的數(shù)學期望，及方差20，則,即若任給0, 使得,證明:由切比雪夫不等式,這里,故,2.貝努利大數(shù)定律 設進行n次獨立重復試驗，每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，記fn為n次試驗中事件A發(fā)生的頻率，則,證明:設,第i次試驗事件A發(fā)生,第i次試驗事件A不發(fā)生,則,由切比雪夫大數(shù)定理,3. 辛欽大數(shù)定律 若Xk,k=1.2,.為獨立同分布隨機變量序列, EXk= , k=1, 2, 則,推論:若Xi,i=1.2,.為獨立同分布隨機變量 序列, E(X1k)= , 則,2 中心極限定理 一.依分布收斂,設Xn為隨機變量序列，X為隨機變量，其對應的分布函數(shù)分別為Fn(x), F(x). 若在F(x)的連續(xù)點，有,則稱Xn依分布收斂于X. 可記為,二.幾個常用的中心極限定理,1.獨立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg) 設Xn為獨立同分布隨機變量序列，若EXk=，DXk= 2 ，k=1, 2, , 則Xn滿足中心極限定理。 根據(jù)上述定理，當n充分大時,例1.將一顆骰子連擲100次，則點數(shù)之和不少于500的概率是多少？,解:設 Xk為第k 次擲出的點數(shù),k=1,2,100,則 X1,X100獨立同分布.,由中心極限定理,設隨機變量n(n=1, 2, .)服從參數(shù)為n, p(0p1)的二項分布，則,2.德莫佛-拉普拉斯中心極限定理(De Moivre-Laplace),證明:設,第i次試驗事件A發(fā)生,第i次試驗事件A不發(fā)生,則,由中心極限定理,結論得證,例2 在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領得1000元，問： (1)保險公司虧本的概率有多大？ (2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于60000元，賠償金至多可設為多少？,解 : 設X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6%， 設Y表示保險公司一年的利潤， Y=1000012-1000X 于是由中心極限定理 (1)PY0=P1000012-1000X0 =1PX120 1 (7.75)=0;,PY60000=P1000012-aX60000 =PX60000/a0.9;,（2）設賠償金為a元，則令,由中心極限定理,上式等價于,例3 根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.,由題給條件知，諸Xi獨立，,16只元件的壽命的總和為,解: 設第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100, D(Xi)=10000,依題意，所求為P(Y1920),由題給條件知,諸Xi獨立,16只元件的壽命的總和為,解: 設第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依題意，所求為P(Y1920),由于E(Y)=1600,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,例4. (供電問題)某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車. 設開工率為0.6, 并設每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.,問應供應多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?,用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，,解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，,每次試驗觀察該臺車床在某時刻是否工 作，工作概率為0.6，共進行200次試驗.,依題意，,XB(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：,求滿足,設需N臺車床工作，,（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，N臺工作所需電力即N千瓦.）,由德莫佛-拉普拉斯極限定理,近似N(0,1),于是 P(XN)= P(0XN),這里 np=120, np(1-p)=48,由3準則， 此項為0。,查正態(tài)分布函數(shù)表得,由 0.999，,從中解得N141.5,即所求N=142.,也就是說, 應供應142 千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn).,例5 在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.,問對序列Xk,能否應用大數(shù)定律？,諸Xk 獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.,解:,即對任意的0,解:,諸Xk 獨立同分布，且期望存在，故能使用 大數(shù)定律.,(2) 至少應取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?,解：設應取球n次，0出現(xiàn)頻率為,由中心極限定理,近似N(0,1),近似N(0,1),欲使,即,查表得,從中解得,即至少應取球3458次 才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.,(3) 用中心極限定理計算在100次抽取中