1,第五章 線性系統(tǒng)的頻率特性,2,控制系統(tǒng)的時域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號作用的性能，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時域表達式、繪制出響應曲線，從而利用時域指標直接評價系統(tǒng)的性能。因此，時域法具有直觀、準確的優(yōu)點。然而，工程實際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表達式是相當困難的，需要大量計算，只有在計算機的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時，采用時域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。,3,在工程實踐中, 往往并不需要準確地計算系統(tǒng)響應的全部過程，而是希望避開繁復的計算，簡單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法。 控制系統(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準確性等，是工程實踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。,4,頻率特性分析法 ，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達式，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點。如： 根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能, 得到定性和定量的結(jié)論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進系統(tǒng)的方法。 時域指標和頻域指標之間有對應關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗公式，簡化控制系統(tǒng)的分析與設計。,頻率特性分析法的特點,5,具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學模型作為分析與設計系統(tǒng)的依據(jù)，這對難于用理論分析的方法去建立數(shù)學模型的系統(tǒng)尤其有利。 頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應用到某些非線性系統(tǒng)中。 本章重點介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。,6,5.1.1 頻率響應 頻率響應是時間響應的特例，是控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦響應。即一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號的作用下，穩(wěn)態(tài)時輸出仍是一個與輸入同頻率的正弦信號，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號頻率的函數(shù)。 下面用用一個簡單的實例來說明頻率響應的概念：,7,示例： 如圖所示一階RC網(wǎng)絡，ui(t)與uo(t)分別為輸入與輸出信號，其傳遞函數(shù)為,G(s)=,其中T=RC，為電路的時間常數(shù)，單位為s。,8,在零初始條件下，當輸入信號為一正弦信號，即 ui(t)=Uisin t Ui與分別為輸入信號的振幅與角頻率，可以運用時域法求電路的輸出。 輸出的拉氏變換為：,Uo(s)=,對上式進行拉氏反變換可得輸出的時域表達式：,9,輸出與輸入相位差為： = -arctanT,輸入信號為 ui(t)=Uisin t,二者均僅與輸入頻率，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為：,10,5.1 頻率特性的基本概念,5.1.1 頻率特性的定義,一個線性定常系統(tǒng)，在它的輸入加一個振幅為Ar，角頻率為和初相為1的正弦信號，那么經(jīng)過一段過渡過程而達到穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)的輸出端也將輸出一同頻率的正弦 信號，只是輸出信號的振幅Ac和初相2有所變化。,11,5.1 頻率特性的基本概念,G(j)稱為系統(tǒng)的頻率特性，它表示了系統(tǒng)在正弦作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的振幅，相位隨頻率變化的關(guān)系。,稱為系統(tǒng)的幅頻特性,()= G(j) 稱為系統(tǒng)的相頻特性,頻率特性的復數(shù)形式：,12,5.1 頻率特性的基本概念,5.1.2 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系,頻率特性和傳遞函數(shù)之間的關(guān)系,。,如果已知系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)，只要用j置換其中的s，就可以得到該系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的頻率特性；反過來看，如果能用實驗方法獲得系統(tǒng)（或元部件）的頻率特性，則可由頻率特性確定出系統(tǒng)（或元部件）的傳遞函數(shù)。,13,5.1 頻率特性的基本概念,5.1.3 頻率特性的圖示方法,Nyquist圖,也稱幅相頻率特性曲線，就是當從0變化時，向量G(j)的矢端軌跡。,Nyquist圖,14,5.1 頻率特性的基本概念,Bode圖,也稱對數(shù)頻率特性，就是將A()和()分別表示在兩個圖上，橫坐標采用對數(shù)刻度。,Bode圖,對數(shù)相頻特性：縱軸均勻刻度，標以()值(單位為度)；橫軸刻度及標值方法與幅頻特性相同。,15,5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,5.2.1 比例環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：G(s)=K 頻率特性：G(j)=K 幅頻特性：A()=K 相頻特性：()=0 對數(shù)幅頻和相頻特性： L()=20lgA()=20lgK ()=0,16,5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,5.2.2 積分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：G(s)=1/s 頻率特性：G(j)= 幅頻特性：A()= 相頻特性：()=-90 對數(shù)幅頻和相頻特性： L()=20lgA()=-20lg ()=-90,17,5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,5.2.3 慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： 對數(shù)幅頻和相頻特性：,18,5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,5.2.4 微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： 對數(shù)幅頻和相頻特性：,19,5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,5.2.5 振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： 對數(shù)幅頻和相頻特性：,20,5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,5.2.6 延遲環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：G(s)=e-s 頻率特性：G(j)=1- 幅頻特性：A()=1 相頻特性： 對數(shù)幅頻和相頻特性：,21,1.低頻段 在T1(或1/T)的區(qū)段,可以近似地認為T0,從而有,故在頻率很低時,對數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示,這稱為低頻漸近線。,22,2.高頻段 在T1(或1/T)的區(qū)段,可以近似地認為,L()為因變量，lg為自變量，因此對數(shù)頻率特性曲線是一條斜線, 斜率為-20dB/dec, 稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點為T =1/T，T 稱為轉(zhuǎn)折頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性時的一個重要參數(shù)。,23,5一階微分環(huán)節(jié)（Ts1）,1. 低頻段 在T1(或1/T)的區(qū)段,可以近似地認為 高頻漸近線是一條斜線, 斜率為20dB/dec, 當頻率變化10倍頻時,L()變化20dB。轉(zhuǎn)折頻率為T=1/T。,24,可知,一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意到修正值的符號相反。如轉(zhuǎn)折頻率處T對應的精確值是L（T）=0+3=3dB。,25,6二階振蕩環(huán)節(jié),（1）對數(shù)幅頻特性,1.低頻段 T1(或1/T)時，L() 20lg1=0dB，低頻漸近線與0dB線重合。,01,26,2.高頻段 T1(或1/T)時,并考慮到（01），有 L() -20lg(T)2= -40lg(T)=-40lgT-40lg dB 這說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線,稱為高頻漸近線。,T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點處的橫坐標，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。,27,28,（2）相頻特性,可知，當=0時，()=0；=1/T時，()=-90；時，() -180。與慣性環(huán)節(jié)相似，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線將對應于=1/T及() =-90這一點斜對稱。,振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0-180；同時的取值對曲線形狀的影響較大。,29,系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線的繪制步驟,1、分別求出w=0、 時的G(jw),2、畫出幅相曲線中間幾點,3、確定w=0 時G(jw)的變化范圍,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,5.3 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,5.3.1 系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性,設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s),對應的頻率特性為： G(j)= G1(j) G2(j) Gn(j),= A1()1() A2()2() An()n() = A( ) (),40,系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點是否斷開分為閉環(huán)頻率特性（j）與開環(huán)頻率特性Gk（j），分別對應于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（s）與開環(huán)傳遞函數(shù)Gk（s）。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性?？刂葡到y(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：,由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成,5.3.3 開環(huán)伯德圖的繪制,41,5.3 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,5.3.2 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性,則系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性為： L()=20lgA1()+20lgA2 ()+ 20lgAn() ()= 1()+2()+ n(),因此，畫出G(j)所含典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻曲線，對它們分別進行代數(shù)相加，就可以得到開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。,直接繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性的例子,42,1.基本規(guī)律 （1）由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。,順序斜率疊加法 在繪制系統(tǒng)Bode圖時，應先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。 不必將各個典型環(huán)節(jié)的L() 繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L()曲線, ()曲線描點或疊加求取。,43,（2）低頻漸近線（及其延長線）的確定,Gk（j）的低頻段表達式為,()=-v90,44,對數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達式為,可見低頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v有關(guān)。,低頻段為一條斜率為-20vdB/dec的斜線。同時，低頻漸近線（及其延長線）上在=1時,有L(1)=20lgK。,45,（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定 低頻段只與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v 及開環(huán)傳遞系K 有關(guān)，而其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L()的斜率發(fā)生相應的變化。,在慣性環(huán)節(jié),的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率20dB/dec；,在一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)的轉(zhuǎn)折頻率1/處，斜率20dB/dec；,在振蕩環(huán)節(jié),的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率 40dB/dec,46,（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系,當 時,由于nm，所以高頻段的近似表達式為,()= -（n - m）90,47,對數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達式為,高頻段為一條斜率為 -20（n-m）dB/dec的斜線。 說明高頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。,()= -（n-m）90,48,2繪制步驟 利用規(guī)律，可以從低頻到高頻，將L()整條曲線一次畫出，步驟如下： 1開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標準的時間常數(shù)表達式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。 2選定Bode圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。確定坐標比例尺，由小到大標注各轉(zhuǎn)折頻率。 3確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標為 =1、縱坐標為20lgK 的點，過該點作斜率為 -20vdB/dec 的斜線。 4.由低頻向高頻延伸，每到一個轉(zhuǎn)折頻率,斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。,49,5如有必要，可對分段直線進行修正，以得到精確的對數(shù)幅頻特性，其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性 L() 通過0分貝線,即 L(c)=0或A(c)=1 時的頻率c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c 是分析與設計時的重要參數(shù)。,50,6在對數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線（可用模型板畫），將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。也可求出()的表達式，逐點描繪。低頻時有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。 7.若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達式，直接描點繪制對數(shù)相頻特性曲線。,51,繪制Bode圖,確定典型環(huán)節(jié)及其轉(zhuǎn)折頻率,5.3 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,直接繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性的例子,已知開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性,寫出系統(tǒng)標準開環(huán)傳遞函數(shù),1,2,3,比例環(huán)節(jié),微分環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié),52,5.3 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,5.3.3 最小相位和非最小相位系統(tǒng),在s右半平面上既無極點，又無零點的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)，否則，為非最小相位傳遞函數(shù)，具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。,對于最小相位系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性就可以唯一地確定相應的相頻特性和傳遞函數(shù)。因此，從系統(tǒng)建模與分析設計的角度看，只要繪出系統(tǒng)的幅頻特性，就可以確定出系統(tǒng)的數(shù)學模型（傳遞函數(shù)）。,典型環(huán)節(jié)的確定,53,5.3 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,由對數(shù)頻率特性確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù),對數(shù)幅頻曲線的低頻部分,開環(huán)放大倍 數(shù)K的確定,54,5.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),55,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有負實部，即位于s左半平面。在時域分析中判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法就是使用勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）。然而，這兩種方法都有不足之處，對于高階系統(tǒng)，非常困難且費時,也不便于研究系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)對穩(wěn)定性的影響。 特別是，如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要求出閉環(huán)特征方程，無法直接利用開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對于一個自動控制系統(tǒng)，其開環(huán)數(shù)學模型易于獲取，同時它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。,56,除勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據(jù)為奈奎斯特（Nyquist）判據(jù)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點有 1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根； 2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）。 3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對系統(tǒng)的分析與設計； 4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。,57,5.4 頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,5.4.1 奈奎斯特（Nyguist）穩(wěn)定判據(jù),奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是，當頻率從0 ，系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線逆時針繞(-1，j0)點的角度為p。其中p為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)位于s右半平面的極點數(shù)。 也可以敘述為：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是當由0時，開環(huán)幅相頻率特性在點(-1，j0)左側(cè)負實軸上正、負穿越的次數(shù)之差為p/2，p為開環(huán)傳遞函數(shù)正實部極點個數(shù) 。,值得說明的是，當開環(huán)幅相頻率特性起始于負實軸上或終止于負定軸上時，穿越次數(shù)定義為1/2次。若開環(huán)幅相頻率特性在點（1，j0）左側(cè)負實軸上負穿越的次數(shù)大于正穿越的次數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。,58,5.4 頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這些開環(huán)幅相特性曲線的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？,59,5.4.3 簡化奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),1. 繪制由0變到+ 時的開環(huán)幅相頻率特性G(j) 由0變到+ 時的開環(huán)幅相頻率特性 G(j) 逆時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)為 N ， 已知系統(tǒng)開環(huán)右極點數(shù)為 P ，則系統(tǒng)閉環(huán)右極點個數(shù)為 Z （不包括虛軸上的極點）： Z = P -2 N 當Nyquist曲線G(j) 通過(-l, j0)點時,表明在s平面虛軸上有閉環(huán)極點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定。,60,開環(huán)頻率特性曲線逆時針穿越（-，-1）區(qū)間時，隨增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N+。 反之，開環(huán)頻率特性曲線順時針穿越（-，-1）區(qū)間時，隨增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負穿越N-。 頻率特性曲線包圍(-1,j0)點的情況，就可以利用頻率特性曲線在負實軸（-，-1）區(qū)間的正、負穿越來表達。,2.采用穿越的概念簡化復雜曲線包圍次數(shù)的計算,由0變到+ 時開環(huán)頻率特性曲線要形成對(-1,j0)點的一次包圍，勢必穿越（-，-1）區(qū)間一次。,61,由0變到+ 時的開環(huán)幅相頻率特性G(j)對(-1,j0)點的總包圍次數(shù)為 N = （ N+ - N- ） 利用正、負穿越情況的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)敘述為： Z = P -2（ N+ - N- ）,注意奈氏曲線在 (-1,j0)點以右負實軸上相位有變化不算穿越。,62,3.半次穿越 奈氏曲線始于或至于(-1,j0)點以左負實軸，稱為一個半次穿越，如圖所示。 例5.9某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,由于曲線始于（-3，j0）點，故順時針包圍（-1，j0）點的次數(shù)為1/2，N-=1/2。由于開環(huán)右極點數(shù)為P=0，故 Z = P-2（ 0 - N- ） = P-2N- =1 閉環(huán)系統(tǒng)有一個右極點，閉環(huán)不穩(wěn)定。,63,5.4.2 奈奎斯特對數(shù)穩(wěn)定判據(jù),當由0變化時，在開環(huán)對數(shù)幅頻率特性曲線L()0dB的頻段內(nèi)，相頻特性曲線()對-180線的正穿越與負穿越次數(shù)之差為p/2（p為s平面右半部分開環(huán)極點數(shù)目），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng) 不穩(wěn)定。,5.4 頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,奈奎斯特對數(shù)穩(wěn)定判據(jù),64,5.5 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,65,當系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，且接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)時，雖然從理論上講，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,但實際上，系統(tǒng)可能已處于不穩(wěn)定狀態(tài)。其原因可能是在建立系統(tǒng)數(shù)學模型時，采用了線性化等近似處理方法；或系統(tǒng)參數(shù)測量不準確；或系統(tǒng)參數(shù)在工作中發(fā)生變化等。 因此要求系統(tǒng)保有一定的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度），這樣才可以保證不致于分析設計過程中的簡化處理，或系統(tǒng)的參數(shù)變化等因素而導致系統(tǒng)在實際運行中出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。 系統(tǒng)穩(wěn)定裕度用于表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度，經(jīng)常作為控制系統(tǒng)的頻率域性能指標。,66,可知：K值較小時，系統(tǒng)穩(wěn)定；K值較大時，系統(tǒng)不穩(wěn)定的；K取兩者間的某個值時，Nyquist曲線通過(-1,j0)點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)Nyquist曲線與實軸交點坐標離(-1, j0)點的距離，可作為表征系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的一個指標。,通常用相角裕量和幅值裕量hg表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。,67,相角穩(wěn)定裕度的物理意義在于：對于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，在=c處，系統(tǒng)的相角如果再減小角度，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；減小的角度大于后，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。為了使最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定的, 必須為正值。 穩(wěn)定系統(tǒng) 0, 越大,系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越高。 相位裕度是設計控制系統(tǒng)時的一個重要依據(jù)，描述系統(tǒng)的阻尼程度。,68,5.5.3 幅值裕量,Nyquist曲線與負實軸交點處幅值的倒數(shù)稱為幅值裕量，記為hg。,69,幅值穩(wěn)定裕度的物理意義為：對于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，若系統(tǒng)在相角穿越頻率g 處幅值增大hg 倍（或?qū)?shù)幅值上升Lh分貝），則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定系統(tǒng)hg 1, Lh(dB)0, hg越大，相對穩(wěn)定性越高。 對非最小相位系統(tǒng)，只有0且hg1時，才能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對最小相位系統(tǒng)，有時僅需兩者之一即可，一般取。,以分貝數(shù)表示時：,70,系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖的對應關(guān)系,Bode圖與Nyquist圖之間具有對應關(guān)系，所以在Nyquist圖上的分析結(jié)論可以移植到Bode圖上加以應用。 c 為幅值穿越頻率(或幅值交接頻率),特性曲線與單位圓（0dB線）交接處的頻率； g為相位穿越頻率(相位交接頻率),特性曲線與負實軸（-180o線）交接處的頻率。,71,由圖可見，對一結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的最小相位系統(tǒng)，當開環(huán)傳遞系數(shù)增加時，由于L(c) 曲線上升，導致幅值穿越頻率c 右移，從而使得相位裕度與幅值裕度都下降，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。,72,5.5.4 系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量 僅用相位裕量或幅值裕量都不足以充分說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于最小相位系統(tǒng)，只有當、Lh均為正時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。為了確保系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，使系統(tǒng)具有滿意的性能，、Lh都應該有合適的取值。,73,從控制工程實踐得出，系統(tǒng)應具有3060的相位裕量，幅值裕量大于6dB（即Kg2）。對于最小相位系統(tǒng),開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性之間有確定的對應關(guān)系。 要求相位裕量應在3060之間,意味著開環(huán)對數(shù)幅頻特性在穿越頻率 c 上的斜率必須小于-40dB/十倍頻, 通常取-20dB/dec，且具有一定的寬度。 適當?shù)南辔辉Ａ亢头翟Ａ?可以防止系統(tǒng)中元件的參數(shù)和特性在工作過程中的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生不良的影響，并可以提高系統(tǒng)抗高頻干擾的能力。,74,根據(jù)穩(wěn)定裕量的概念，當某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定時，還可根據(jù)要求的穩(wěn)定裕量如的取值確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)。 首先，根據(jù)開環(huán)傳遞系數(shù)的某個取值繪出開環(huán)伯德圖，（）曲線上相位大于-180，并與-180距離正好為所對應的那一點的頻率就是所需的幅值穿越頻率c。 然后將L（）在坐標系中上下平移，使之正好在此點穿越0分貝線，就確定了滿足要求的系統(tǒng)開環(huán)伯德圖，其相位裕量為要求的取值。最后，求出此刻L（）所對應的開環(huán)傳遞系數(shù)。,75,5.6 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性,76,開環(huán)頻率特性來分析和設計系統(tǒng)，是工程設計中常用的方法。在進一步的分析和設計系統(tǒng)時，也常要利用閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性。由于閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)零極點較難獲取，因此一般無法直接根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)繪制閉環(huán)頻率特性。系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的求取有不同的方法，但一般是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性來求閉環(huán)頻率特性。,77,78,幅值穿越頻率c與相位穿越頻率g，相位裕量與幅值裕量都是控制系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標，頻域指標是表征系統(tǒng)動態(tài)性能的間接指標。由于時域指標（穩(wěn)態(tài)誤差ess、最大超調(diào)量%、調(diào)節(jié)時間ts 等）反映系統(tǒng)性能更為直接、正確。因此需要探討開環(huán)頻域指標與時域指標之間的關(guān)系，以便于由開環(huán)頻域指標分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。 對于最小相位系統(tǒng)來說，對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性存在著一一對應的關(guān)系，反映系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，能夠據(jù)此推出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()，就能了解系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能。,79,本節(jié)介紹開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()的形狀與系統(tǒng)性能的關(guān)系，并研究頻域指標與時域指標的關(guān)系，以及根據(jù)頻域指標估算系統(tǒng)的時域響應性能的方法。,80,5.5 用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能,開環(huán)頻率特性頻段的劃分,開環(huán)頻率特性第一個轉(zhuǎn)折點前的部分,開環(huán)頻率特性截止頻率c前后的區(qū)間,開環(huán)頻率特性 10c后的區(qū)間,點點看,81,5.5 用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能,5.5.1 開環(huán)頻率特性低頻段與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系,開環(huán)放大倍 數(shù)K的確定,0型系統(tǒng)(0分貝線高度20 lgK),n型系統(tǒng) (K Kn ),-20n,K和ess的關(guān)系,82,5.6.2 開環(huán)對數(shù)幅頻特性L（)中頻段與系統(tǒng)動態(tài)性能關(guān)系,由開環(huán)頻率特性來研究系統(tǒng)的動態(tài)性能,一般是用對數(shù)幅頻特性的幅值穿越頻率c和相位裕量這兩個特征量，這兩個特征量都與系統(tǒng)中頻段的形狀有關(guān)。 開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()的中頻段是指L()曲線在幅值穿越頻率c附近的區(qū)段，在波德圖一般是L()從大約+30dB過渡到約-15dB的范圍內(nèi)。 下面以一例題來說明系統(tǒng)開環(huán)波德圖中頻段形狀與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。,83,例5.15某單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下（T1 T2） ，分析中頻段形狀與相位裕量間的關(guān)系。,解：繪制系統(tǒng)開環(huán)L()如圖所示，調(diào)節(jié)開環(huán)傳遞系數(shù)K的大小，使L()以不同的斜率穿越0分貝線。由圖可見，此系統(tǒng)不僅增加放大系數(shù)時會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性,降低放大系數(shù)也將降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,84,當1、 2確定， c處于1、 2之間的幾何中心點時， 值有極大值。,L()在低頻段與高頻段的斜率為-40dB/dec，這兩段所對應的()相位值較小，所以當以斜率-20dB/dec穿越0分貝線時，所對應的較大。同時希望 受其他斜率段的影響較小，所以c應該遠離其他斜率段，即中頻段也應該有一定的寬度，保證對應的值(對其他系統(tǒng)同樣適用)。,85,5.5 用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能,5.5.2 開環(huán)頻率特性中頻段與系統(tǒng)暫態(tài)性能指標的關(guān)系,和%的關(guān)系,越小，%越大； 越大，%越小。為使二階系統(tǒng)不致于振蕩得太厲害以及調(diào)節(jié)時間過長，一般希望30 70, c ts的關(guān)系,如果兩個二階系統(tǒng)的相同，則它們的最大超調(diào)量也相同，c較大的系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時間ts較短。,86,對于二階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標與時域指標之間有準確的數(shù)學關(guān)系。 二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為,1. 二階系統(tǒng)與系統(tǒng)平穩(wěn)性之間的關(guān)系,根據(jù)給定的相角裕度可以查得反映系統(tǒng)動態(tài)特性的時域指標最大超調(diào)量% ，反之亦然，二者之間為一一對應的確定的關(guān)系。增大，隨之增大， %減小。,87,2.二階系統(tǒng)c 、與系統(tǒng)快速性之間的關(guān)系,當要求系統(tǒng)具有相當?shù)撵`敏度時，c應該較大。從物理意義上解釋，c越大，說明系統(tǒng)能夠響應的輸入信號的頻率越高，也就是跟蹤輸入信號的速度越快，系統(tǒng)的慣性較小，即快速性好。,由以上分析可知，對二階系統(tǒng)，tsc與成反比；當給定后，ts與c成反比；,88,3高階系統(tǒng)開環(huán)頻域指標與時域指標之間的關(guān)系 高階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標（、c）與時域指標（%，ts）之間的對應關(guān)系比較復雜，通常采用經(jīng)驗公式來近似。這樣在實際應用中，仍然可以用開環(huán)頻域指標去估算系統(tǒng)的時域性能。 1)高階系統(tǒng)的超調(diào)量與相角裕度的關(guān)系通常用下述近似公式估算：,2)高階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間與相角裕度的關(guān)系通常用下述近似公式估算,89,由以上對二階系統(tǒng)與高階系統(tǒng)的分析可知，如果兩個同階的系統(tǒng)，其相同，那么它們的超調(diào)量大致是相同的，而幅值穿越頻率c越大的系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時間ts越短。,繪制函數(shù)關(guān)系如圖所示，對于高階系統(tǒng)，一般上升，最大超調(diào)量%與調(diào)整時間ts都明顯下降，系統(tǒng)動態(tài)性能改善。,90,5.5 用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能,5.6.3 開環(huán)頻率特性高頻段對系統(tǒng)性能的影響,高頻段系統(tǒng)閉環(huán)幅頻近似等于開環(huán)幅頻。因此，開環(huán)對數(shù)幅頻特性高頻段的幅值，直接反映了系統(tǒng)對輸入端高頻信號的抑制能力，高頻段分貝越低，系統(tǒng)抗干擾能力越強。,（1）如果要求具有一階或二階無靜差特性，則開環(huán)對數(shù)幅頻特性的低頻段應有-20或-40的斜率。為保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，低頻段應有較高的增益。 （2）開環(huán)對數(shù)幅頻特性以-20斜率穿過0 dB線，且具有一定的中頻寬度。這樣系統(tǒng)就有一定的穩(wěn)定裕度，以保證閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的平穩(wěn)性。 （3）具有盡可能大的0 dB頻率c，以提高閉環(huán)系統(tǒng)的快速性。 （4）為了提高系統(tǒng)抗高頻干撓的能力，開環(huán)對數(shù)幅頻率特性高頻段應有較大的斜率。,在控制系統(tǒng)中，系