專題：球的切接問題 一知識點(diǎn) 1 正方體的內(nèi)切球：球與正方體的每個(gè)面都相切，切點(diǎn)為每個(gè)面的中心，顯然球心為正方體的中心。設(shè)正方體的棱長為，球半徑為。如圖1，截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；2與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖2作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。3正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如圖3，以對角面作截面圖得，圓為矩形的外接圓，易得。圖1圖2圖3圖44.正四面體的外接球和內(nèi)切球 如圖4所示，設(shè)點(diǎn)是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為由圖形的對稱性知，點(diǎn)也是外接球的球心設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為正四面體的表面積小結(jié):正四面體內(nèi)切球半徑是高的，外接球半徑是高的5.長方體的外接球：即正方體的各頂點(diǎn)都在球面上。 設(shè)長方體的棱長分別為a，b，c。怎么作平面截圖來反映半徑和邊長的關(guān)系？2R 聯(lián)想正方體的外接球，過長方體的對角面的作截截面圖 a （4） 結(jié)論：由圖形（4）我們可以發(fā)現(xiàn)外接球的半徑二、題型與方法歸類例1、（1）若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_本題主要考查簡單的組合體和球的表面積畫出球的軸截面可得，球的直徑是正方體的對角線，所以有球的半徑R，則該球的表面積為S4R227.故填27 (2) 求棱長為1的正四面體外接球的體積R，V球R3()3.變式練習(xí):1已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積()A16B20 C24 D322已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于()A2 B. C. D.3. 半徑為R的球的外切圓柱(球與圓柱的側(cè)面、兩底面都相切)的表面積為_，體積為_例2、已知A、B、C、D是球O面上的四個(gè)點(diǎn)，OA、OB、OC兩兩垂直，且OA1,OB2,OC3，求球的體積與表面積。球 的表面積S=變式訓(xùn)練：如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AC=，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為A. B. C. D. 例3.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖2所示，其中俯視圖是頂角為的等腰三角形，則該三棱錐的外接球體積為 球體積為. 高考題演練1.一個(gè)四面體各棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ） A.3 B4 C D62.正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的側(cè)面是正方形，若底面的邊長為a，則該正六棱柱的外接球的表面積是（ ）A4a2 B 5a2 C8a2 D10a23.長方體三條棱長分別是AA=1，AB=2，AD=4，則從A點(diǎn)出發(fā)，沿長方體的表面到C的最短矩離是（ ）A5 B7 C D 4.已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ） 5.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60，E為AB的中點(diǎn)，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P，則PDCE三棱錐的外接球的體積為（）A B C D 6.已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，則棱錐OABCD的體積為 7.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，已知這個(gè)球的表面積為3，則正方體的棱長 8.一個(gè)正方體的全面積為a2，它的頂點(diǎn)全都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為 9.長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是 10.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 答案：1.解答： 由于正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，所以正方體的棱長為：1，所以正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，所以球的半徑為：所以球的表面積為：4R2=32.解答： 正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的側(cè)面是正方形，若底面的邊長為a，底面對角線的長度為：2a；所以該正六棱柱的外接球的半徑為：=所以該正六棱柱的外接球的表面積是：4r2=5a23.解答：從A點(diǎn)出發(fā)，沿長方體的表面到C有3條不同的途徑，分別從與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)面出發(fā)，根據(jù)勾股定理得到長度分別是 ，5，比較三條路徑的長度，得到最短的距離是54. D5. 解：易證所得三棱錐為正四面體，它的棱長為1，故外接球半徑為，外接球的體積為6.解答： 矩形的對角線的長為：，所以球心到矩形的距離為：=2，所以棱錐OABCD的體積為：=8故答案為：87.解答： 球的表面積為3，球的半徑為正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，正方體的對角線為球的直徑設(shè)正方體的棱長為a，則 a=18.解答： 設(shè)球的半徑為R，則正方體的對角線長為2R，來源:學(xué)+科+網(wǎng)依題意知 R2=a2，即R2=a2，S球=4R2=4a2=故答案為：9.解答： 長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，所以長方體的對角線就是球的直徑，長方體的對角線為：，所以球的半徑為：；則這個(gè)球的表