中文摘要 數(shù)論作為一個古老的數(shù)學(xué)分支其中均值估計(jì)和對算術(shù)序列性質(zhì)的研究是 數(shù)論研究的一個重要內(nèi)容美籍羅馬尼亞著名數(shù)論專家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授于1 9 9 3 年在只有問題，沒有解答! 一書中，提出了1 0 5 個尚未解決的 數(shù)論問題，從此之后，許多專家學(xué)者對此進(jìn)行了深入研究與探索，取得了不少具 有重要理論價值的研究成果，極大地豐富和拓展了數(shù)論的發(fā)展 本文基于對上述s m a r a n d a c h e 問題的興趣，主要利用初等及解析的方法 對s m a r a n d a c h e 相關(guān)函數(shù)及其序列進(jìn)行了思考與研究，即研究了s m a r a n d a c h e 相關(guān)函數(shù)的均值性質(zhì)，s m a r a n d a c h e 序列的斂散性估計(jì)和極限問題具體地可 闡述如下： 1 給出了一個與著名的s m a r a n d a c h e 函數(shù)的對偶函數(shù)密切相關(guān)的數(shù)論函 數(shù)釅( n ) 的定義，并利用初等方法，運(yùn)用關(guān)于1 1 1 ( m ! ) 的漸近公式，s i n nz 的定 積分與他! ! 的關(guān)系，以及一些特殊冪級數(shù)收斂的性質(zhì)，通過對正整數(shù)n 按奇偶 性分類討論，研究了此函數(shù)的均值性質(zhì)，給出了一個較強(qiáng)的漸近公式 2 給出了s m a r a n d a c h e 冪函數(shù)s p ( n ) 和s m a r a n d a c h et o t i e n t 函數(shù)s t ( n ) 的定義，利用初等方法和解析方法研究了與這兩個函數(shù)有關(guān)的極限問題，得到 了極限l i m ，l + o 。 喜( 硼1 ) 2 睡高) 2 = 0 3 給出了s m a r a n d a c h e 交錯相鄰倒序f i b o n a c c i 序列o ( 佗) 和s m a r a n - d a c h e 可乘序列b ( n ) 的定義，利用初等方法研究了序列的極限和收斂性問題， 矧了極限熙蒜= 。以及繳薹揣是收黼 關(guān)鍵詞 s m a r a n d a c h e 函數(shù)，s m a r a n d a c h e 序列，漸近公式，無窮級數(shù)，收斂 a b s t r a c t ( 英文摘要) n u m b e rt h e o r yi sa no l dm a t h e m a t i c a lb r a n c h ，i nw h i c hi t i si m p o r t a n t t os t u d yt h em e a nv a l u ea n dp r o p e r t i e so fs o m ea r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n ds e - q u e n c e s a m e r i c a nn u m b e rt h e o r i s to fr o m a n i a n d e s c e n tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h e p r o p o s e d10 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e si nab o o kn a m e d “o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! a f t e rt h a t ，m a n yr e s e a r c h e r sa n de x p e r t s s t u d i e dt h e s ef u n c t i o n sa n ds e q u e n c e sa t t e n t i v e l y , a n do b t a i n e ds o m ei m p o r t a n t v a l u e da c h i e v e m e n t s a no ft h e s ee n r i c ha n di m p r o v eh e a v i l yt h ed e v e l o p m e n t o ft h en u m b e rt h e o r y b a s e do nt h ei n t e r e s t si nt h e s ea b o v ep r o b l e m s ，w em a i n l yu s ee l e m e n t a r y a n da n a l y t i cm e t h o d st os t u d ys m a r a n d a c h er e l a t e df u n c t i o n sa n ds m a r a n d a c h e s e q u e n c e s t h a ti st os a y , w es t u d yt h em e a nv a l u eo ft h es m a r a n d a c h er e l a t e d f u n c t i o na n dt h ec o n v e r g e n c ea n dd i v e r g e n c ee s t i m a t e so ft h es m a r a n d a c h es e - q u e n c e s s p e c i f i c a l l y , t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ： 1 t h ed e f i n i t i o no ft h ef u n c t i o ns 料( 禮) r e l a t i n gt ot h ef a m o u ss m a r a n d a c h e d u a lf u n c t i o ni sg i v e n t h em e a nv a l u eo fs ( 凡) i ss t u d i e db yu s i n ge l e m e n t a r y m e t h o d s ，a s y m p t o t i cf o r m u l ao fl n ( 蝌) a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni n t e g r a t i o n o fs i n nza n d 佗! ! ，嬲w e l la sc e r t a i np r o p e r t i e so fp o w e rs e r i e s ，a n dc l a s s i f y i n g p o s i t i v ei n t e g e r 佗i n t oe v e na n do d d e v e n t u a l l y , as h a r p e ra s y m p t o t i cf o r m u l a f o ri t i sg i v e n 2 t h ed e f i n i t i o n so ft h es m a r a n d a c h ep o w e rf u n c t i o ns p ( k ) a n ds m a r a n - d a c h et o t i e nf u n c t i o ns t ( k ) a r eg i v e n t h el i m i ta b o u tt h e s et w of u n c t i o n si s d i s c u s s e db yu s i n gt h ee l e m e n t a r ya n da n a l y t i cm e t h o d s f i n a l l y , t h er e s u l t l l l i m 幾一 孔 七= 1 s f ( s 尸( 五) ) 2 禮 七= 1s t ( s p ( k ) ) 2 = 0i so b t a i n e d 3 t h ed e f i n i t i o n so fs m a r a n d a c h ea l t e r n a t ec o n s e c u t i v ea n dr e v e r s ef i - b o n a c c is e q u e n c e 口( 佗) a n ds m a r a n d a c h em u l t i p l es e q u e n c eb ( n ) a r eg i v e n t h e l i m i ta n dc o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sf o rt h e s es e r i e sa r es t u d i e db yu s i n gt h ee l e - m e n t 哪m e t h o d a tt h ee n d , t h er e s u l t st h a tn l i m 縱a n ( + n ) 可= 。a n dt h es e r i e s i sc o n v e r g e n ta r eo b t a i n e d k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，s m a r a n d a c h es e q u e n c e ，a s y m p t o t i cf o r m u l a ，i n f i n - i t ys e r i e s ，c o n v e r g e n c e u l 一” 彩一+“一幾 一酞 f l 西北大學(xué)學(xué)位論文知識產(chǎn)權(quán)聲明書 本人完全了解西北大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定。學(xué) 校有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版。本人 允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)西北大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或 部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制 手段保存和匯編本學(xué)位論文。同時授權(quán)中國科學(xué)技術(shù)信息研究所等機(jī)構(gòu) 將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫或其它相關(guān)數(shù)據(jù)庫。 保密論文待解密后適用本聲明。 學(xué)位論文作者簽名：j 凼啦指導(dǎo)教師簽名：三笙二墮 舢。年6 月j 多日 例p 年6 月，弓日 西北大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明：所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究 工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝 的地方外，本論文不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也 不包含為獲得西北大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材 料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均己在論文中作 了明確的說明并表示謝意。 學(xué)位論文作者簽名：幼彳獺青 ) 2 。卜年6 月l 日 西北大學(xué)碩十學(xué)化論文 1 1 數(shù)論簡介 第一章緒論 在數(shù)學(xué)中，研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)，稱為數(shù)論數(shù)論作為一 門古老而又神秘的數(shù)學(xué)分支，它既是典型的純粹數(shù)學(xué)，又可以被納入日益廣泛 應(yīng)用的新應(yīng)用數(shù)學(xué)之中目前，數(shù)論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、代數(shù)編碼和密 碼學(xué)等許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，成為它們不可或缺的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)費(fèi)馬大定 理的證明和公鑰密碼體制的建立是2 0 世紀(jì)在數(shù)論領(lǐng)域中所取得的最輝煌的成 就，充分顯示了數(shù)論在現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中所占據(jù)的重要地位，以及在實(shí)際應(yīng) 用的前沿所做出的重大貢獻(xiàn) 按照研究方法的難易程度來看，數(shù)論大致上可以分為初等數(shù)論和高等數(shù)論 整除理論、同余理論和連分?jǐn)?shù)理論是初等數(shù)論的主要內(nèi)容，而高等數(shù)論包括了 更為深刻的數(shù)學(xué)研究工具和方法，如代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、算術(shù)代數(shù)幾何等 算術(shù)基本定理、中國剩余定理、歐拉定理、高斯的二次反轉(zhuǎn)定律等都是初等數(shù) 論中的經(jīng)典理論解析數(shù)論借助復(fù)變積分法、圓法、篩法等研究關(guān)于整數(shù)的問 題，例如，素?cái)?shù)分布【1 卅、哥德巴赫猜想 4 ，5 】、華林問題f 6 】以及格點(diǎn)問題等而代 數(shù)數(shù)論【7 ，8 】是將整數(shù)環(huán)的性質(zhì)的研究拓展到更一般的整環(huán)上，特別是代數(shù)數(shù)域 上，它更傾向于從代數(shù)結(jié)構(gòu)的角度去研究各類整環(huán)的性質(zhì)，從而更一般地解決 不定方程求解的問題 數(shù)論發(fā)展的歷史源遠(yuǎn)流長，早在公元前3 0 0 年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就 發(fā)現(xiàn)了數(shù)論的本質(zhì)是素?cái)?shù)，同時他自己證明了有無窮多個素?cái)?shù)這一結(jié)論而在 公元前2 5 0 年，古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼就發(fā)現(xiàn)了一種能夠求得任意大的數(shù)以 內(nèi)的全部素?cái)?shù)的篩法但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是被孤立地記載， 而沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科而黎曼在研究( 函數(shù)時，發(fā)現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)的解析 性質(zhì)和素?cái)?shù)分布之間的密切聯(lián)系，從而將數(shù)論引進(jìn)了分析的領(lǐng)域另一方面，由 于人們對費(fèi)馬大定理的證明的深切關(guān)注，所以又產(chǎn)生了代數(shù)數(shù)論的研究課題 】 第一辛緒論 隨著數(shù)學(xué)工具的不斷發(fā)展和進(jìn)一步深化，數(shù)論開始和代數(shù)幾何深刻聯(lián)系起來， 最終成為例如算術(shù)代數(shù)幾何等的深刻數(shù)學(xué)理論 由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論的實(shí)際應(yīng)用得到了更加廣泛 的拓展數(shù)論領(lǐng)域內(nèi)的許多研究成果在代數(shù)編碼、組合數(shù)學(xué)等方面都得到了廣 泛應(yīng)用據(jù)報(bào)道，現(xiàn)有國家運(yùn)用“孫子定理”來測距，而用原根和指數(shù)來計(jì)算離 散傅立葉變換等特別地，隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，用對離散的量的計(jì)算去 高度逼近連續(xù)的量而達(dá)到所要求的精度已成為可能從而，數(shù)論的發(fā)展和應(yīng)用 也會更加廣闊 1 2 研究背景與課題意義 數(shù)論作為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，隨著其它數(shù)學(xué)學(xué)科的不斷深入發(fā)展，數(shù)論 的研究范圍不斷地?cái)U(kuò)展，研究方法不斷地更新，同時也引起了越來越多的數(shù)學(xué) 家以及廣大數(shù)學(xué)愛好者的重視與興趣在數(shù)論研究中，函數(shù)的均值性質(zhì) g - 1 3 是 其研究的一個重要課題，同時它也是研究各種數(shù)論問題不可缺少的工具自變 t 量他為某個整數(shù)的函數(shù)稱之為數(shù)論函數(shù)，由于這類函數(shù)均取值于整數(shù)，從而在 很多情形下它們可以看成是特殊的序列來處理雖然很多重要的數(shù)論函數(shù)的單 個取值很不規(guī)則，然而它們的均值，m ) 卻能體現(xiàn)出很好的規(guī)律性【1 4 - 1 9 | ，因 n z 而研究數(shù)論函數(shù)的均值性質(zhì)就顯得重要且有意義關(guān)于一些特殊數(shù)論函數(shù)及其 序列的算術(shù)性質(zhì)，特別是均值性質(zhì)的研究一直以來都是數(shù)論研究領(lǐng)域內(nèi)的重要 問題，并且許多著名的數(shù)論難題都與之密切相關(guān)，從而在這一領(lǐng)域內(nèi)取得的任 何實(shí)質(zhì)性進(jìn)展都將對數(shù)論的發(fā)展起到重要的推動作用 羅馬尼亞數(shù)論專家s m a r a n d a c h e 2 0 】教授提出了1 0 5 個關(guān)尚未解決的數(shù)學(xué) 問題，許多專家學(xué)者對此進(jìn)行了深入的研究，并取得了不少具有重要理論價值 的研究成剁2 1 2 9 | 2 西北大學(xué)碩士學(xué)化論文 例如，w a n gy o n g x i n g 2 6 】研究了s m a r a n d a c h e 函數(shù)s ( n ) 的均值性質(zhì)，得到 了漸近公式 三跏，= 鑫+ 。( 爰) ， 樂茂華教授f 2 7 】證明了方程 s ( 喜佗七) = 妒c n ，魚s c 克， 僅有一個正整數(shù)解，其中，歐拉函數(shù)妒( 禮) 【1 】定義為不超過n 且與n 互素的正整 數(shù)的個數(shù) x u e s h e j i a o 2 8 】研究了s m a r a n d a c h e 對偶函數(shù)伊( n ) 的均值性質(zhì)，得到了 如下的一個漸近公式 晌zs * ，( 。 - - - - a _ ( e _ 1 ) z + 。( 1 n i n l i l 2x 孑) z h o uh u a n q i n 2 9 】研究了關(guān)于s p ( n ) 的無窮級數(shù)的收斂問題，證明了結(jié)論： 對于任意的復(fù)數(shù)s ，若有r e ( s ) 1 ，則可得 去， 七：1 ，2 ； ( s ) “ 工一 熹一攀， 七：3 ； ( s ) 4 s “ 志一掣4 + 掣9 ，5 ( ( s ) s s ” 一 本文基于對s m a r a n d a c h e 函數(shù)序列及其相關(guān)的一些問題的興趣，應(yīng)用初等 數(shù)論，解析數(shù)論等基本知識對提出的幾個數(shù)論中未解決的問題進(jìn)行研究，主要 研究了s m a r a n d a c h e 相關(guān)函數(shù)及其序列的均值性質(zhì)及收斂性問題，從而得出許 多有趣的結(jié)果 3 去 d + z 一舊蠱 | l 、l，_ 佗一0，一r掣 噼 式公近漸 “一?！耙??！耙?。 一一一 、， _ 、1 ，n一) ，l_c p 一一 、，一， 1 1 二浮踹 巴f 第一蘋緒論 1 3 主要成果和內(nèi)容組織 本文主要研究了s m a r a n d a c h e 相關(guān)函數(shù)及其序列的性質(zhì)，包括與s m a r a n d a c h e 對偶函數(shù)密切相關(guān)的函數(shù)護(hù)+ ( 佗) 的均值問題，關(guān)于s m a r a n d a c h e 冪函數(shù) 和s m a r a n d a c h et o t i e n t 函數(shù)的極限以及s m a r a n d a c h e 交錯相鄰倒序f i b o n a c c i 序列和s m a r a n d a c h e 可乘序列的收斂性問題這些內(nèi)容分布在第二至四章具 體說來，本文的主要成果和內(nèi)容組織如下： 1 第二章首先給出了一個與著名的s m a r a n d a c h e 函數(shù)的對偶函數(shù)密切相 關(guān)的數(shù)論函數(shù)驢4 ( 禮) 的定義，然后利用初等方法，分類思想，研究了此函數(shù)的 均值性質(zhì)，給出了一個較強(qiáng)的漸近公式 2 第三章給出了s m a r a n d a c h e 冪函數(shù)s p ( n ) 和s m a r a n d a c h et o t i e n t 函 數(shù)( 竹，) 的定義，利用初等方法和解析方法研究了與這兩個函數(shù)有關(guān)的極限問 題 3 第四章給出了s m a r a n d a c h e 交錯相鄰倒序f i b o n a c c i 序列和s m a r a n - d a c h e 可乘序列的定義，利用初等方法研究了與這兩個序列有關(guān)的極限和收斂 性問題 4 西北大學(xué)碩士學(xué)伊論文 第二章 關(guān)于數(shù)論函數(shù)s 料( n ) 的均值估計(jì)問題 2 1 引言及結(jié)論 在數(shù)論中，一個定義在整數(shù)集合上的函數(shù)被稱為數(shù)論函數(shù)我們定義一 個新的數(shù)論函數(shù)擴(kuò)( n ) 如下：對于任意正整數(shù)扎，當(dāng)2ln 時，艫( 佗) = 2 m ， 其中m 為使得( 2 仇) ! ! in 的最大正整數(shù)，( 2 仇) l l = 2 4 ( 2 m ) ；當(dāng)2tn 時， s ( 扎) = 2 m 一1 ，其中m 為使得( 2 m 一1 ) ! ! in 的最大的正整數(shù)，( 2 m 一1 ) ! ! = 1 3 5 ( 2 m 一1 ) 即 釅( n ) ： m a x 2 m ：m ，( 2 m ”2 i 耐， 如果佗為偶數(shù)； im a x ( 2 m 一1 ) ：m n ，( 2 m 一1 ) ! ! i 釓) ，如果n 為奇數(shù) 例如s 料( 扎) 的前幾個值為s 料( 1 ) = 1 ，s ( 2 ) = 2 ，s 料( 3 ) = 3 ，s ( 4 ) = 2 ，s ( 5 ) = 1 ，s # ( 6 ) = 2 ，s 料( 7 ) = 1 ，s ( 8 ) = 4 ，s 抖( 9 ) = 3 ，驢幸( 1 0 ) = 2 ，關(guān)于這一函數(shù)，至今似乎沒有人研究，甚至還不知道它的基本性質(zhì)! 至 少在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中我們沒有看到有人研究這個函數(shù)然而這一函數(shù)與著名 的s m a r a n d a c h e 函數(shù)的對偶函數(shù)s + ( n ) 【2 8 恥刪密切相關(guān)，因而其研究工作有 一定的理論意義本章的主要目的是利用初等方法研究函數(shù)s 料( 幾) 的均值性 質(zhì)，給出一個較強(qiáng)的漸近公式具體地說也就是證明了下面定理 唧一( 2 e ”- 3 + 2 e ；，! 一e - 2d y ) + 0 ( h 2 礬 n ( x 、 ?！?7 2 2 定理的證明 在這一部分，我們來完成定理的證明為此，先給出下面的 5 第一二章關(guān)于數(shù)論函數(shù)s ”( n ) 的均值估計(jì)問題 引理2 1 ：設(shè)x 1 為任意實(shí)數(shù)，則有漸近公式 證明：參閱文獻(xiàn) 9 】 1 n ( 鯽) = x l nx z + o ( 1 n x ) 引理2 2 ：設(shè)7 , 為任意正整數(shù)，則有恒等式 卜= ( n 一1 ) ! ! 丌 一 2 n ! ! ( n 一1 ) ! 1 2i ( 扎+ 1 ) ； 2h 證明：記此積分為厶，利用分部積分法可得，厶= 一o 詈s i n ，l 一1 zd c o s z = ( 禮一1 ) ，n 一2 一( 仡一1 ) 厶，則，n = 竺 厶一2 ，n 一2 = 熹箋，n 一4 ，反復(fù)利用這些 遞推公式即可得到引理2 2 則 下面利用引理2 1 及引理2 2 來完成定理的證明首先令 研= fs ( 2 n ) 及島= - 2 n z ( 2 n 一1 ) s 霉 s ( 2 死一1 ) ， s ( 禮) = 艫+ ( 2 n ) + s * * ( 2 n - 1 ) = & + 島 ( 2 1 ) n z 對于研，注意到 2 n o o ( 2 n - 1 ) 上：e ，我們有 2 r a m 2 e2 戎1 i j 伺 & = 礦( 2 佗) = 2 m = 2 n z 2 m ( 2 m ( ( e h ) 托f 二一 ( 2 m ) ! ! z 2 m 2 m 2 m ( 2 m + 2 ) ! 1 2 m ( 2 m + 2 ) ! !) + 0 ( 一z 薹( 赤一 + ol f j 3 i 一：i 2 、 + of f2 ml ( 2 瓤z = ( 2 e 一2 ) z + 島l + ol ( 2 m ) ! ! s z 其中研1 = 一z 而對于d 2 仇) ( 2 m ) ! ! s z 2 ( 2 m + 2 ) ! 1 2 m 2 m ，) ( 2 2 ) l nx ，由引理2 1 得m l nm i n x ，從而得到m l n x ，則f2 m ( 2 m ) ! ! z f2 1 nx 2 i n 2z ，故 j 二- j ( 2 價) ! ! 霉 0 而對于s n = 一z ( 2 m ) ! ! z 的最小的正整數(shù)，即 ( ( 2 仇) ! 1 2 仇) = o ( i n 2x ) + zf 二一 ( 2 m ) ! ! o 2 m ( 2 m + 2 ) ! ! k = m i n m n + ：( 2 m ) ! ! z ) 7 設(shè)k 是使得( 2 七) ! ! 抄但 吵m圳 ，l 一 瞄 ， 一 ， e 二、 2 2z l 一2 ez= 嶁加 第一：章關(guān)于數(shù)論函數(shù)s “f n ) 的均值估計(jì)問題 于是 ) ! ! 柚_ 2 ) ! ! g 耐y 的泰勒展開式為薹嘉，其余項(xiàng) 從而得到 所以 肋，= 熹。羔= 高盎c 0 0 1 ， 腳) = 薪( 0 z 、 7 2 函2 k 一至志2 m 。 一(一2 ) ! !山蘭三(+ 2 ) ! ! 。 ( 2 3 ) 下面估計(jì)s i x ，因?yàn)? 2 后) ! ! x ，( 2 k 一2 ) ! ! x ，則由引理2 1 可 知( k 一1 ) l n x ，故 而2 xf j ：一 m = k 0 0 此2 xf ：一 m = k 所以結(jié)合( 2 2 ) 式立刻得到 對于& ，同樣可得 2 m z ( 2 m + 2 ) ! ! 研= ( 2 e 一2 ) z + 0 ( i n 2z ) 島= 釅( 2 n 一1 ) = ( 2 n - 1 ) s z ( 2 m 一1 ) ( 2 n - 1 ) s z s “( 2 n 1 ) = 2 m 一1 8 = d ( 1 i l z ) 由哮 z 、， 礎(chǔ) 生z 一p一動 而 一扣一動 而一一e一”可癲再壩 三一：一q d 面： 卻 動 一馴 + 1 一+ m i 脅 阿 吵 南 吵 叼= & 西北大學(xué)頤十學(xué)f z 論文 其中 ( 2 m - - 1 ) = ( 2 m 一1 ) ( 2 m - 1 ) m n 2 z( 2 m - 1 ) ! ! x ( 2 m + 1 ) t 2 n 2 西壽砸 ( 2 m + 1 ) t n 2 2 階裂2 ，( 南 一 南 ) ( 2 m _ 1 ) ( ( 2 m - 1 ) ! ! 。 2 m - 12 m 1 ( 2 m 一1 ) ! !( 2 m + 1 ) ! ! ( 2 4 ) 半徑尺= i 驄半= + o 。，從而利用冪級數(shù)一致收斂的性質(zhì)可 ( 2 m + 1 ) ! ! = 薹志測掣刊+ x , i e i 邶) - o 朋常鼢方程 9 第一二章關(guān)于數(shù)論函數(shù)s ”( n ) 的均值估計(jì)問題 的常數(shù)變易法求解刪，m 壹- - - - 1 面= 一l + e 1 le - 測 & l = z - ( 小2 e 0 1e 出) 對于。( 。2 m 一。心z ( 2 m - - i ) ) ，由引理2 2 可得 z 詈s t n 2 m + 1z 如= 揣，z 暑s t n 2 m z d z = 三垡掰 故( 2 m ) ! ! 蠆7 1 ( 2 m + 1 ) ! ! ，( 2 m 一1 ) ! ! ( 2 m ) ! ! 則( 2 m 一2 ) ! ! 三( 2 m 1 ) ! ! z ( 嗇 r 、 = z 量( 志 = z ( 志 =z ( 兩可1 + 12 m 1 1 ) ! !( 2 m + 1 ) ! ! o 。 m = k 面而+ 南2 m ) (+ 1 ) ! ! 廠 ( 2 m + 1 ) ! ! ( 2 5 ) 由( 2 k 一1 ) ! ! z ，( 2 k 一3 ) ! ! z ，于是可得2 7 r ( 2 k 一4 ) ! ! ( 2 k 一3 ) ! ! z ，從 而南刊h 以地薹赤蚴量赤“橢 = 0 ( 1 ) ， 砸 未加 1 | z2 西北大學(xué)碩士學(xué)化論文 所以 2 = z 結(jié)合( 2 4 ) 式可得 研1 + 量南 = o ( 1 n z l 島= z ( 一1 + 2 e f oe 一護(hù)匆) + 。( ，n 2 z ) 因此由研及$ 的估計(jì)式可得 p 洳卜& + 島= 2 e ；- 2 ) x + s l l + 0 ( 。2 曩z2 m ) n z 、f 2 m 111 例如，s p ( n ) 的前幾項(xiàng)是：s p ( 1 ) = 1 ，s p ( 2 ) = 2 ，s p ( 3 ) = 3 ，s p ( 4 ) = 2 ， s p ( 5 ) = 5 ，s p ( 6 ) = 6 ，s p ( 7 ) = 7 ，s p ( 8 ) = 4 ，s p ( 9 ) = 3 ，s p ( i o ) = 1 0 ， s p ( 1 1 ) = 1 1 ，s p ( 1 2 ) = 6 ，s p ( 1 3 ) = 1 3 ，s p ( 1 4 ) = 1 4 ，s p ( 1 5 ) = 1 5 ，s p ( 1 6 ) = 4 ，s p ( 1 7 ) = 1 7 ，s p ( 1 8 ) = 6 ，s p ( 1 9 ) = 1 ，s p ( 2 0 ) = 1 0 ，在文獻(xiàn)f 2 0 】 中，s m a r a n d a c h e 教授讓我們研究函數(shù)s p ( n ) 的性質(zhì)從s p ( n ) 的定義，我 們很容易得到下面的結(jié)論：如果1 1 , = 礦，k p k + 1 a ( 后+ 1 ) p 七+ l ，則 有s p ( n ) = p k + 1 ，其中0 k o t 一1 即 s p ( n ) = p ，如果1 q p ； 礦，如果p - 4 - 1 a 2 p 2 ； p 3 ，如果2 p 2 + 1 q 印3 ； 礦，如果( q 一1 ) p q 一1 + 1 o l a p a 設(shè)t t = p 1 p 呈2 霹7 ，如果對所有的q i ( i = 1 ，2 ，r ) ，o t i p i ，則有s p ( n ) = u ( 扎) ，其中u ( 佗) = i i p ，i i 表示幾的不同素因子的乘積顯然可得s p ( n ) 是 p i np l n 不可乘函數(shù)例如，s p ( 8 ) = 4 ，s p ( 3 ) = 3 ，s p ( 2 4 ) = 6 s p ( 3 ) xs p ( 8 ) 但 是對大多數(shù)的佗而言，我們有s p ( n ) = 幾p p i 幾 關(guān)于這個函數(shù)，不少學(xué)者進(jìn)行了研究，并得出了一些結(jié)論【2 9 3 洶7 】，例如在 文獻(xiàn) 3 5 】中，徐哲峰博士研究了s p ( n ) 的均值問題，并得到了一個較強(qiáng)的均值 1 2 西北歹：學(xué)碩士學(xué)化論文 至州歸互1 2 2 耳( 1 一志- , ) + 。( 秈e ) ， n 0 ，存在一個( e ) ，使得對于所有的n ( e ) ，有 妒( n ) ( 1 - - e ) 蒜， 其中c 為常數(shù) 證明：參閱文獻(xiàn)【1 3 】 1 3 第二章一個和s m a r a n d a c h e 冪函數(shù)有關(guān)的極限 引理3 2 ：對于歐拉函數(shù)妒( 忍) ，設(shè)n 為正整數(shù)，則有漸近公式 麗1 = 紫。( 警) ， 其中細(xì)砉器一薹幫 證明：參閱文獻(xiàn) 3 9 下面完成定理的證明我們把整數(shù)區(qū)間【1 ，叫中的所有整數(shù)k 分成如下兩 個子集合a 和b 其中，a 表示【1 ，叫中的s q u a r e - f r e e 數(shù)，b 表示不屬于a 的 所有的【1 ，佗】中的整數(shù)的集合，則有 羨麗麗12 苫麗茹麗+ 善麗茹研乏乏( 妒( s p ( 忍) ) ) 2急( 妒( s 尸( 七) ) ) 2 。急( 妒( s p ( 七) ) ) 2 從子集a 的定義可得 蚓理3 艮容易得到南_ d ( hh ”注意到篆譬- d ( 1 ) 如 果k b ，則k 可表示為k = 1 m ，其中l(wèi) 是s q u a r e - f r e e 數(shù)，m 是s q u a r e - f u u 數(shù) 令s 記薈南測從跚帥蚶) 的性質(zhì)，可得 s f 二1 一z 怎z 2 p l m p 2 p 驄( 1 一三) 2 h 9 f 2 引( 1 一去) l m 。 。 ：r 上3 - 幽魚生 急p 2 2 2 妒2 ( 。m ) 布 糊 一 布 m | l 南 、liii， h i 黟 噼 2 彬 m ，-ii 西北大學(xué)碩士學(xué)化論文 刪驢渺則高2 器御m 鈾u 一舢 p l m 數(shù)論函數(shù)a ( k ) 定義如下： a ( k ) = 1 ，如果k 是s q u a r e - f u l l 數(shù)： 0 ，其它 注意到孝黠是可乘函數(shù)根據(jù)歐拉乘積公式，( 見文獻(xiàn) 1 2 】和【1 3 ) 有 卜薹器= 珥( 1 + 赤) 根據(jù)p e r r o n 從式 1 2 】，對于6 = 1 + 而1 ，t 1 ，可得 七 0 是解析的，取c ：- 1 一，則有、7 s 。 1 1 1n 熹( e 郇，等幽+ e 郇，等蚺 注意到 郇) 等如+5 ，弘。萬d yy 2 ：) = o ( 1 n n ， 且 e ，等幽= 。( 6 等如) = 。( 擊) 類似地，還有e 郇，芋幽= 。( 擊) 眥 黑：o ( 1 n n ) 急u 2 ( 后) “ 1 5 口( n ) 2 u 2 ( 死) ) 等如) 瓠 ，-l 第二章一個和s m a r a n d a c h e 冪函數(shù)有關(guān)的極限 所以 羨麗1 叫l(wèi) ( 1 nh ) 2 ) ( 3 1 ) 現(xiàn)在我們來估計(jì)羨高，從州州定義 很容易得到州啦n 令n = p 芋p 呈2 p 孑。記n 的標(biāo)準(zhǔn)素?cái)?shù)分解式，則s p ( n ) = p f l 謬p 爭，其 中屈21 所以，p 爭一1 l 一1 ) p 爭一1 2 1 ) p 爭一1 0 s 一1 ) 衍t 一1 ( p l 一 1 ) p 呈2 1 ( 仇一1 ) p 呈。一1 0 8 1 ) ，從而妒( p 爭p 爭毋) 妒芋t 諺：s ) ， 即妒( s 尸( n ) ) 妒( n ) ，由引理3 2 ，有 羨廁1 乏麗1 = 幫。( 警) ( 3 2 ) 結(jié)合式3 1 和3 2 ，可得，當(dāng)佗一o 。時， o 妻k = l ( 贏) 2 睡高) 2 從而定理成立 里( 璺2 ：型型：2 寫一o 一( 幫h + a + 。( 警) ) 2 西北大學(xué)碩十學(xué)化論文 第四章與兩個s m a r a n d a c h e 序列有關(guān)的問題 4 1 引言及結(jié)論 對任意正整數(shù)n ，s m a r a n d a c h e 交錯相鄰倒序f i b o n a c c i 序列口( 佗) | 3 8 4 0 】定 義為a ( 1 ) = 1 ，a ( 2 ) = 1 1 ，a ( 3 ) = 1 1 2 ，a ( 4 ) = 3 2 1 1 ，a ( 5 ) = 1 1 2 3 5 ，n ( 6 ) = 8 5 3 2 1 1 ，a ( 7 ) = 1 1 2 3 5 8 1 3 ，a ( s ) = 2 1 1 3 8 5 3 2 1 1 ，a ( 9 ) = 1 1 2 3 5 8 1 3 2 1 3 4 ， s m a r a n d a c h e 可乘序列6 ( n ) 【3 8 ，4 0 】定義為6 ( 1 ) = 1 ，6 ( 2 ) = 2 4 ，b ( 3 ) = 3 6 9 ，b ( 4 ) = 4 8 1 2 1 6 ，b ( 5 ) = 5 1 0 1 5 2 0 2 5 ，b ( 6 ) = 6 1 2 1 8 2 4 3 0 3 6 ，b ( 7 ) = 7 1 4 2 1 2 8 3 5 4 2 4 9 ，b ( 8 ) = 8 1 6 2 4 3 2 4 0 4 8 5 6 6 4 ，b ( 9 ) = 9 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 ， 這兩個序列均是s m a r a n d a c h e 教授提出的，見文獻(xiàn) 3 8 】，并在此文獻(xiàn)中， s m a r a n d a c h e 教授建議我們研究這兩個序列的性質(zhì)關(guān)于這個問題，似乎沒 人研究，至少在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中很少見而在文獻(xiàn)【3 8 】中( 第3 章，問題6 和問 黝腳c e r u s s 瀨授獻(xiàn)研辯列蒜和級數(shù)薹揣的收齜 問題，并對極限進(jìn)行估計(jì)及其它相關(guān)性質(zhì)本章的主要目的是用初等方法研究 這些問題，得到定理 定理4 1 ：對于s m a r a n d a c h e 交錯相鄰倒序f i b o n a c c i 序列口( n ) ，成 立熙蒜- o 定理4 2 對于s m 盯a n d 礎(chǔ)e 可乘蒯級數(shù)三o o 而b ( n ) 是收斂的 4 2 定理的證明 首先證明第一個定理 如果n 是奇數(shù)，則從a ( n ) 的定義可將a ( n ) 表示為以下形式： 口( n ) = f ( 1 ) f ( 2 ) f ( n ) ，n ( n + 1 ) = f ( n + 1 ) f ( n ) f ( 1 ) ， 其中f ( n ) 為f i b o n a c c i 序列 1 7 第網(wǎng)幸j i j 叮個s m a r a n d a c h e 序列有關(guān)的問題 設(shè)a n 為基于1 0 的f ( n ) 的數(shù)字位數(shù)，則 a ( n ) = f ( n ) + f ( n - 1 ) 1 0 a “+ f ( 扎一2 ) 1 0 口n + q n 一1 + + f ( 1 ) l o q n + q n 一1 + + ， 口( n + 1 ) = f ( i ) + e ( 2 ) 1 0 口1 + f ( 3 ) 1 0 a 1 + n 2 + + v ( n + 1 ) 1 0 口1 + q 2 + + 口t i 。 所以 a ( n )一，v ( n ) + v ( n 一1 ) 1 0 q n + + f ( 1 ) 1 0 a n + q n l + + q 2 a ( n + 1 ) 一f ( n + 1 ) 1 0 c q + r 2 + a n 竺1 2 2 十i 至( 蘭二1 2 + + ! 盟 、，、，i、， 一 1 0 a ：+ + 口n 。l o a ：+ + q n l 。l o a ： f ( n + 1 ) 對于1 k n ，因?yàn)閒 ( k ) 的位數(shù)是o l k ，可假設(shè)f ( k ) = a l 1 0 d t 一1 + a 2 1 0 口女一2 + + a 口 ，其中0 a is9 且1 i q 憊從而 f ( k ) 10 a 1 + a 2 + + 口k 因此，當(dāng)佗_ o 。時， 即 口1 1 0 口k 一1 + a 2 1 0 a 一2 + + a q k 1 0 q l + q 2 + + a k 9 ( 1 + 1 0 1 + 1 0 2 + + 1 0 x a ) l o a ：+ a 2 + + a k i + 1 1 0 ( 1 1 0 一毗) l o a ：+ a 2 + + a k 一1 + 1 1 0 a ：熹+ a 2 + + a k1 擊1 0 k 一 一一 一1 。蒜坐生焉鏟蒜加 如果幾是偶數(shù)，則有 熙蒜a o f l 一l n 十上j n ( n ) = f ( i ) + f ( 2 ) 1 0 口1 + f ( 3 ) 1 0 a 1 + a 2 + + v ( n ) 1 0 q ，+ n ：+ + q n ， a ( n + 1 ) = f ( 竹+ 1 ) + f ( 佗) 1 0 口n + 1 + f ( n - 1 ) 1 0 a 時1 + o ”+ + f ( 1 ) 1 0 q n + 1 + d n + + 的 西北大學(xué)碩十學(xué)位論文 用類似的方法估計(jì)值虱警 可，得到 a ( n )f ( 1 ) + f ( 2 ) 1 0 a 1 + f ( 3 ) 1 0 a ，+ n ：+ + f ( n ) 1 0 口t + a 。+ + q n t a(n+1)一loa2+as+qn+l 對每一個1 k n ，相類似地，令f ( k ) = a l 1 0 a t 一1 + a 2 1 0 a k 一2 + + n 口。， 則有 f ( k ) 1 0 n l + q 2 + + a 女一1 ( a l 1 0 q k 一1 + 口2 1 0 a k 一2 + + a a k ) 1 0 q 1 + q 2 + + c 。k - 1 _ _ 。_ _ - 。i _ - - _ - - _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ - _ - - - _ _ _ _ 一= = ：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ _ _ _ = _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - 一 l o a 2 + a s + + a n + l1 0 a 2 + a s + + q n + 1 呈! ! ! 旦二：! 旦二：! 竺：二：生 一l o a k + l + a k + 2 + + a t i + 1 l o a k + l + a k + 三2 + 麗1 一 + a n + 1 一 因此 o 云揣i 爵i 五石+ 面孓；品晶+ + t 面妄擊了 南( 1 + 1 0 1 + 1 0 2 + + 1 0 1 一n ) ) 羔加 所以l i m 黑：0 完成第一個定理的證明 n - - - , 0 0a ln 十工j 現(xiàn)在證明第二個定理 對序列6 ( n ) = n ( 2 n ) ( z n ) ( 佗n ) ，令7 ( n ) 記基于1 0 的艫的數(shù)字位 數(shù)，通過觀察，有7 ( 2 ) = 7 ( 3 ) = 1 ，7 ( 4 ) = 2 ，7 ( 1 0 ) = 3 ，- y ( 4 0 ) = 4 ，- y ( 1 0 0 ) = 5 ，7 ( 4 0 0 ) = 6 ，3 , ( 1 0 0 0 ) = 7 ，當(dāng)n 從4 1 0 口變化到1 0 0 + 1 時，- r ( n ) 漸增 即7 ( 4 1 0 q ) = 2 a + 2 ，且- y ( 1 0 a + 1 ) = 2 a + 3 ，其中o t = 0 ，1 ，2 ， 對每一個正整n ，明顯的有k 佗k ( n + 1 )