第4課時(shí)基本不等式 一 考綱點(diǎn)擊1 了解基本不等式的證明過程 2 會用基本不等式解決簡單的最大 小 值問題 二 命題趨勢1 從考查內(nèi)容看 主要考查利用不等式求最值 且常與函數(shù) 數(shù)列 解析幾何等結(jié)合在一起考查 2 從考查形式看 主要以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 考查最值的求法 也可滲透在解答題中 難度一般不大 屬中低檔題 a 0 b 0 a b 2ab 2 x y 小 x y 大 1 在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí) 要把握不等式成立的三個(gè)條件 就是 一正 各項(xiàng)均為正 二定 積或和為定值 三相等 等號能否取得 若忽略了某個(gè)條件 就會出現(xiàn)錯(cuò)誤 2 基本不等式的幾種變形公式及應(yīng)用 1 對于基本不等式 不僅要記住原始形式 而且還要掌握它的幾種常見的變形形式及公式的逆運(yùn)用等 如 歸納提升 利用基本不等式求最值需注意的問題 1 各數(shù) 或式 均為正 2 和或積為定值 3 判斷等號能否成立 即一正 二定 三相等 這三個(gè)條件缺一不可 4 當(dāng)多次使用基本不等式時(shí) 一定要注意每次能否保證等號成立 并且要注意多次取等號的條件是否一致 即多次等號能否同時(shí)成立 5 為了創(chuàng)造使用基本不等式的條件 常需要對求值的式子進(jìn)行恒等變形 運(yùn)用基本不等式求最值的關(guān)鍵在于湊配 和 與 積 并且在湊配過程中注意等號成立的條件 歸納提升 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況 證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā) 借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理 經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題 針對訓(xùn)練3 2013 四川 設(shè)p1 p2 pn為平面 內(nèi)的n個(gè)點(diǎn) 在平面 內(nèi)的所有點(diǎn)中 若點(diǎn)p到點(diǎn)p1 p2 pn的距離之和最小 則稱點(diǎn)p為點(diǎn)p1 p2 pn的一個(gè) 中位點(diǎn) 例如 線段ab上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)a b的中位點(diǎn) 現(xiàn)有下列命題 若三個(gè)點(diǎn)a b c共線 c在線段ab上 則c是a b c的中位點(diǎn) 直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn) 若四個(gè)點(diǎn)a b c d共線 則它們的中位點(diǎn)存在且唯一 梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn) 其中的真命題是 寫出所有真命題的序號 p是平面內(nèi)任一點(diǎn) 點(diǎn)o為p在直線ab上的射影 pa pb pc pd oa ob oc od 2 bc cd ab 由p的任意性知 只要o點(diǎn)落在線段bc上即可 錯(cuò) 對 設(shè)梯形abcd的對角線ac bd相交于o點(diǎn) 由于 pa pc ac pb pd bd pa pc pb pd ac bd ao ob oc od 即o為該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一的中位點(diǎn) 答案 方法探究 拆 拼 湊的典范 本題求和式的最小值 故可選用基本不等式 為了使積為定值 故需對原式進(jìn)行配湊 關(guān)鍵點(diǎn)在于使目標(biāo)出現(xiàn)定積 同時(shí)要注意項(xiàng)必須為正數(shù) 故需