- I - 結(jié)構(gòu)分析法在解題中的應(yīng)用研究 摘 要 結(jié)構(gòu)分析法是指從分析題目的結(jié)構(gòu)出發(fā)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去改變式子的原有結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)式的不斷轉(zhuǎn)化來(lái)實(shí)現(xiàn)解題的一種方法。本文在了解了什么是結(jié)構(gòu)分析法的基礎(chǔ)上，介紹了結(jié)構(gòu)分析法的特征性、差異性、層次性。 從常用的 一些結(jié)構(gòu)式分析入手，結(jié)合數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)例題，引導(dǎo)學(xué)生用結(jié)構(gòu)分析法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終熟練應(yīng)用此方法。同時(shí)本文對(duì)結(jié)構(gòu)分析法進(jìn)行了擴(kuò)展：利用結(jié)構(gòu)分析法建立數(shù)學(xué)模型以及用其教幾何定理。本文在 最后對(duì)結(jié)構(gòu)分析法進(jìn)行了總結(jié)。 關(guān)鍵詞 ： 結(jié)構(gòu)分析法；數(shù)學(xué)問(wèn)題；解答- II - 目 錄 摘 要 . I 引 言 . 1 1 研究?jī)r(jià)值 . 2 1.1 研究背景 . 2 1.2 研究問(wèn)題 . 2 1.3 研究目的及意義 . 2 2 什么是結(jié)構(gòu)分析法 . 3 2.1 結(jié)構(gòu)分析法的基本內(nèi)涵及分類 . 3 2.2 結(jié)構(gòu)的思想與方法 . 3 2.3 數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu) . 3 3 結(jié)構(gòu)分析法的應(yīng)用 . 5 3.1 利用結(jié)構(gòu)分析法的特征性解題 . 5 3.1.1 位置特征的分析 . 5 3.1.2 結(jié)構(gòu)特征的分析 . 5 3.1.3 數(shù)值特征的分析 . 6 3.2 利用結(jié)構(gòu)分析法的差異性解題 . 7 3.3 利用結(jié)構(gòu)分析法的層次性解題 . 8 4 結(jié)構(gòu)分析法的擴(kuò)展 . 11 4.1 利用結(jié)構(gòu)分析法建立數(shù)學(xué)模型 . 11 4.2 利用結(jié)構(gòu)分析法教幾何定理 . 11 5 進(jìn)一步思考 . 12 5.1 何時(shí)應(yīng)用結(jié)構(gòu)分析法 . 12 5.2 應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng) . 12 結(jié) 論 . 13 參考文獻(xiàn) . 14 致 謝 . 15 昌吉學(xué)院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì) ） 1 引 言 解數(shù)學(xué)題是學(xué)生鞏固和加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，通過(guò)運(yùn)用知識(shí)形成熟練技巧的過(guò)程，也是培養(yǎng)能力的基本實(shí)踐活動(dòng)之一。 解 數(shù)學(xué)題需要具有一定的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。目前情況下，能夠獨(dú)立解數(shù)學(xué)題的學(xué)生是不多的。如果我們能夠把結(jié)構(gòu)分析的方法交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生從題的結(jié)構(gòu)入手去解數(shù)學(xué)題，便能廣開思路，啟發(fā)學(xué)生積極思考，達(dá)到開發(fā)智力、舉一反三，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的能力。 數(shù)學(xué)題中的聯(lián)系是客觀的，但結(jié)構(gòu)卻可以是人為的，即可以根據(jù)解題的需要從不同的角度來(lái)揭示數(shù)學(xué)題的結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)的特征性、差異性和層次性使我們可以從不同的角度運(yùn)用不同的方法去解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。 結(jié)構(gòu)是指各個(gè)組成部分的搭配和排列。結(jié)構(gòu)分析法是指從分析題目的結(jié)構(gòu)出發(fā)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去改變式子的原有結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)式的不斷轉(zhuǎn)化來(lái)實(shí)現(xiàn)解題的一種方法。在解題過(guò)程中利用結(jié)構(gòu)分析法既可以幫助學(xué)生鞏固知識(shí)、培養(yǎng)能力、掌握解題方法，又可以減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。 結(jié)構(gòu)分析法在解題中的應(yīng)用研究 2 1 研究?jī)r(jià)值 1.1 研究背景 結(jié)構(gòu)分析法是數(shù)學(xué)解題中的重要方法。切實(shí)減輕學(xué)生不必要的負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，擺脫傳統(tǒng)思維模式的束縛。 1.2 研究問(wèn)題 根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思想與方法，我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)可以用結(jié)構(gòu)分析的方法來(lái)解決問(wèn)題，從而為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決以及在課堂教學(xué)中如何指導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 ，為培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維開辟了一條嶄新的途徑。 1.3 研究目的及意義 要使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)取得較好的效果，科學(xué)的方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，提高教學(xué)效率，有著十分積極的作用。結(jié)構(gòu)分析法是數(shù)學(xué)解題中的重要方法， 用結(jié)構(gòu)分析法解題的實(shí)質(zhì)，就是在理解所給題目的基礎(chǔ)上，根據(jù)解題需要，充分探尋各量及其之間的內(nèi)在聯(lián)系，使問(wèn)題分化，規(guī)律明顯。訓(xùn)練學(xué)生用結(jié)構(gòu)分析法解題，可以培養(yǎng)學(xué)生從多個(gè)側(cè)面、不同層次深入研究問(wèn)題的思維品質(zhì)，有益于讓學(xué)生的思維模式變成發(fā)散模式。 數(shù)學(xué)中有著千變?nèi)f化的問(wèn)題需要解決，這使得結(jié)構(gòu)分析法在數(shù)學(xué)解題具有相當(dāng)普 遍的意義。本文從常用的一些結(jié)構(gòu)式分析入手，對(duì)結(jié)構(gòu)分析法進(jìn)行探究。 通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)分析法的概述，讓學(xué)生了解該方法在解題中的優(yōu)勢(shì)。再 從常用的 一些結(jié)構(gòu)式分析入手，設(shè)計(jì)例題，引導(dǎo)學(xué)生用結(jié)構(gòu)分析法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終熟練應(yīng)用此方法。 昌吉學(xué)院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì) ） 3 2 什么是結(jié)構(gòu)分析法 把所要研究的問(wèn)題視為元素及其關(guān)系的總和，便是一個(gè)系統(tǒng)，元素構(gòu)成的系統(tǒng)，其功能既決定于元素的性質(zhì)又決定于元素之間的關(guān)系。元素之間特定的聯(lián)系方式叫做結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的特點(diǎn)是由元素和結(jié)構(gòu)共同決定的。從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析入手來(lái)研究解決問(wèn)題的方法，叫做結(jié)構(gòu)分析法 1。 2.1 結(jié)構(gòu)分析法的基本內(nèi)涵及分類 所謂結(jié)構(gòu)分析法就是指從分析題目的結(jié)構(gòu)出發(fā)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去改變式子的原有結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)式的不斷轉(zhuǎn)化來(lái)實(shí)現(xiàn)解題的一種方法。根據(jù)它的性質(zhì)，我們可將其歸納為三大類：結(jié)構(gòu)分析法的特征性、差異性以及層次性。其中結(jié)構(gòu)分析法的特征性又可劃分為三部分：位置特征、結(jié)構(gòu)特征以及數(shù)值特征。這使得在解題中要根據(jù)題意，選擇相適應(yīng)的性質(zhì)去解決問(wèn)題。 2.2 結(jié)構(gòu)的思想與方法 任何一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都是一個(gè)有機(jī)的數(shù)學(xué)小系統(tǒng)，這個(gè)小系統(tǒng)是由問(wèn)題中的元素及其結(jié)構(gòu)所決定的，并且這些結(jié)構(gòu)都是相互聯(lián)系的。數(shù)學(xué) 結(jié)構(gòu)決定著解題的方法，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著解題方法，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提示著解題方法：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的多樣性決定著解題方法的多樣性；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的特殊性決定著解題方法的特殊性。這就是結(jié)構(gòu)的思想和方法的基本內(nèi)涵。根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思想與方法，我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)可以用結(jié)構(gòu)分析的方法來(lái)尋找問(wèn)題解決的方法，從而為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決以及在課堂教學(xué)中如何指導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維開辟了一條嶄新的途徑。 2.3 數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu) 所謂數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就是指組成數(shù)學(xué)問(wèn)題的各個(gè)組成部分的搭配形式及其聯(lián)系。根據(jù)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，我們可以把數(shù) 學(xué)結(jié)構(gòu)分為代數(shù)結(jié)構(gòu)（數(shù)的特征）、幾何結(jié)構(gòu)（形的特征） 以及數(shù)形結(jié)構(gòu)（數(shù)形結(jié)合的特征）；另外根據(jù)在數(shù)學(xué)問(wèn)題中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)的明顯與否，可分為顯結(jié)構(gòu)與隱結(jié)構(gòu)（或抽象結(jié)構(gòu)與直觀結(jié)構(gòu)）；根據(jù)繁簡(jiǎn)還可分為復(fù)雜結(jié)構(gòu)與簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)；又從命題的構(gòu)成角度還可分為條件結(jié)構(gòu)與結(jié)論結(jié)構(gòu)等等 2。 把一道數(shù)學(xué)綜合題看作一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱大系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)綜合題中，一般存在著若干個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程，把一個(gè)過(guò)程視為一個(gè)子系統(tǒng)，每個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程中的各種都可看作系統(tǒng)的元素，各種以及各個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程之間的特定聯(lián)系方式就是數(shù)學(xué)綜合題的結(jié)構(gòu)。對(duì)于較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)綜合題，則 需從幾個(gè)層次去研究它的結(jié)構(gòu)。第一個(gè)層次的結(jié)構(gòu)是跟據(jù)解題需要結(jié)構(gòu)分析法在解題中的應(yīng)用研究 4 而確定的子系統(tǒng)，以及每一個(gè)子系統(tǒng)因需要而選取的主要元素之間特定的聯(lián)系方式和作用，這個(gè)層次的結(jié)構(gòu)給出了解題所需的一些量及相互關(guān)系。第二個(gè)層次的結(jié)構(gòu)是根據(jù)解題需要而描述的各子系統(tǒng)之間的聯(lián)系和作用，這個(gè)層次的結(jié)構(gòu)給出了不同數(shù)學(xué)過(guò)程所遵循的法則和規(guī)律，從而打開從已知到未知、從題設(shè)到結(jié)論的通道。 昌吉學(xué)院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì) ） 5 3 結(jié)構(gòu)分析法的應(yīng)用 3.1 利用結(jié)構(gòu)分析法的特征性解題 3.1.1 位置特征的分析 利用所給題目中式子中元素的 位置特征，聯(lián)系其性質(zhì)，從而找到解題的捷徑。 例 1 已知 1a 07 b ，則 ba 的值是多少 ? 結(jié)構(gòu)分析易看出此式子為加式，加數(shù)分別是絕對(duì)值、根式， a 、 b 又為加數(shù)的組成部分，且整個(gè)式子所得和為零。 利用式子位置上的特征，可知和為零，分兩種情況：兩加數(shù)互為相反 數(shù)兩加數(shù)都為零。又根據(jù)絕對(duì)值和根式的性質(zhì)，可知都是大于或等于零的，即第二種情況。因此題目中兩加數(shù)都為零，即 07,01 ba 7,1 ba 6)7(1 ba 傳統(tǒng)的思維模式大多以“去絕對(duì)值、去根號(hào)”著手解決問(wèn)題，逐步計(jì)算出 a 與 b 的值，最終求得 ba 的值。而運(yùn)用結(jié)構(gòu)分析法，發(fā)散思維、分析題意、發(fā)現(xiàn)其位置的特征性，使問(wèn)題簡(jiǎn)化，使所要計(jì)算的式子更為簡(jiǎn)單，不易出錯(cuò)。 3.1.2 結(jié)構(gòu)特征的分析 利用題目中式子結(jié)構(gòu)上的特征，去改變題目原有結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到簡(jiǎn)便解題的效果。 分式問(wèn)題是一類常見的問(wèn)題。若是化簡(jiǎn)題，一般是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)分子分母分別作出處理，產(chǎn)生公因式后再約去；若是證明題一般采用對(duì)角相乘，等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式后再處理。不過(guò)證明題也可以對(duì)左、右兩邊進(jìn)行化簡(jiǎn)處理 3。 例 2 化簡(jiǎn) 2co s2sin1 2co s2sin1 結(jié)構(gòu)分析觀察問(wèn)題中的“ 2sin1 、 2cos1 、 2sin 2cos ” 這些重要且常用的變形格式，利用這些式子結(jié)構(gòu)上的特征，去改變題目原有結(jié)構(gòu)。 方法一： 原式 = c o ss in2c o s2 c o ss in2s in2 22 =cossin 結(jié)構(gòu)分析法在解題中的應(yīng)用研究 6 = tan 方法二： 分子分母同時(shí)乘以 )2c o s2(s in1 得 原式 = 2c o s2s in2 2c o s22c o s22 =2sin 2cos1 = tan 傳統(tǒng)的思維模式，對(duì)于方法一的解答過(guò)程較為熟練。但此方法的運(yùn)用是在熟記二倍角公式的基礎(chǔ)上。對(duì)于方法二，則是運(yùn)用結(jié)構(gòu)分析法，發(fā)散思維后發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)特征：分母可看作“平方差”的一部分，將分母“湊”成“平方差”形式后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)分子與分母的次數(shù)相同，且有相同因子。因此可直接約分，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。 3.1.3 數(shù)值特征的分析 數(shù)值特征就是通過(guò)分析題意，找出命 題中的數(shù)值的特征，運(yùn)用數(shù)學(xué)手段：抽象思維和邏輯推理，從而達(dá)到問(wèn)題的解決。 例 3 甲、乙兩人共有 260 本書，其中甲的書有 13% 是專業(yè)書，乙的書有 12.5% 是專業(yè)書，問(wèn)甲有多少本非專業(yè)書？ 結(jié)構(gòu)分析：甲的書中，專業(yè)書占10013%13 乙的書中，專業(yè)書占81100 5.12%5.12 由數(shù)值的特性，甲的專業(yè)書占10013，此分?jǐn)?shù)是不可約的，故甲的書的總數(shù)是 100 的倍數(shù)，即 100 或 200 。同理，乙的書的總數(shù)能夠被 8 整除。 因此，如果甲有 200 本書，則乙有 60 本， 60 不能被 8 整除，不合題意?？?得甲有書應(yīng)為 100 本。 所求甲的非專業(yè)書： 8713%)-(1100 本 例 4 2003!3!2!1! 的個(gè)位數(shù)是？ 結(jié)構(gòu)分析易知從 !5 到 !2003 ，由數(shù)值的特征性，每個(gè)數(shù)字里面既有因子 2 ，也有因子 5 ，尾數(shù)必然為 0 。 故考慮原式的個(gè)位數(shù)，只需考慮 4!3!2!1! 的尾數(shù)即可。 易得個(gè)位數(shù)為 3 4621 昌吉學(xué)院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì) ） 7 傳統(tǒng)的思維模式對(duì)于例 3 來(lái)說(shuō)，所給條件不足，無(wú)法找出相應(yīng)的等量關(guān)系，無(wú)從下手；而例 4 則是數(shù)值過(guò)大，用傳統(tǒng)方法不宜求解。而運(yùn)用結(jié)構(gòu)分析法，發(fā)散思維，可發(fā)現(xiàn)其數(shù)值的特征性，簡(jiǎn)化問(wèn)題。 3.2 利用結(jié)構(gòu)分析法的差異性解題 差異分析法是通過(guò)分析條件與結(jié)論之間的異同點(diǎn)，并不斷減少差異 (目標(biāo)差 ) 來(lái)完成解題的方法 4。差異分析法，可以從函數(shù)名上的差異入手，可以從字母上的差異 入手，也可以從結(jié)構(gòu)上的差異入手。下面著重從結(jié)構(gòu)上的差異入手。從結(jié)構(gòu)上入手，可以分“局部結(jié)構(gòu)、整體結(jié)構(gòu)和等價(jià)形式”等多種情況。 例 5 已知 000 cba ， ，求證： abba 22 bccb 22 acca 22 結(jié)構(gòu)分析 1 從字母上的差異入手 觀察得“左 邊有 b ，右邊無(wú) b ”，并且發(fā)現(xiàn)消除左邊的 b 比較困難。若簡(jiǎn)單地取 0b ，顯然不行（左邊是變大還是變小無(wú)法確定）。 2 去掉根號(hào) 從式子局部看，要去掉三個(gè)根號(hào)，必須把左邊根號(hào)里的式子適當(dāng)縮小后湊成完全平方的形式，右邊根號(hào)里的式子適當(dāng)放大后湊成完全平方的形式，但發(fā)現(xiàn)這樣做很難解決問(wèn)題。 從式子整體看， 可采用兩邊平方的辦法去掉根號(hào)，根據(jù)題目中的等價(jià)形式來(lái)設(shè)法解決該題。作以下嘗試：因兩邊非負(fù)，平方后不改變不等號(hào)的方向。 acbbcabbccbabba 22222 2)(2 (1) 若右式 0 ，則 （ 1） 式成立 若右式 0 ，則（ 1）式兩邊平方得等價(jià)形式 222222222 222333 a b ccabbcacacbba (2) （ 2） 式等價(jià)于 0)()()( 222222222 bcacacabbcabcacbba (3) （ 3） 式顯然成立 此法是利用式子的等價(jià)形式，轉(zhuǎn)化為新的目標(biāo)差，再逐步消除新的目標(biāo)差。 3 看形式能否與距離公式聯(lián)系起來(lái) abba 22 =43)2(22 bba ，設(shè) )0,(aA ， )23,2(1 bbB 結(jié)構(gòu)分析法在解題中的應(yīng)用研究 8 bccb 22 =43)2(22 ccb ，設(shè) )0,(2 bB ， )23,2( ccC acca 22 43)2(22 cca ，即 )0,(aA 、 )23,2( ccC兩點(diǎn)間的距離 于是，原題就轉(zhuǎn)化為證明： ACCBAB 21 此式容易聯(lián)想到三角形兩邊之和大于第三邊，但距目標(biāo)還有差異，因?yàn)?1B 、 2B 并非同一點(diǎn)。如何消除這種差異 ? 1B 、 2B 中取一點(diǎn)作嘗試。 ACCBAB 11 （或 ACCBAB 22 ） 如果能夠說(shuō)明 CBCB 12 或 21 ABAB 中的一種情況成立，那么問(wèn)題就徹底解決。 顯然， 2AB 2)( ba abba 222 122 ABabba 成立。 當(dāng)然，同理可說(shuō)明 CBCB 12 成立。 這種方法滲透了重要的數(shù)形結(jié)合思想。 以上例子說(shuō)明了這樣一個(gè)觀點(diǎn)，從結(jié)構(gòu)分析法的差異性入手時(shí)，可以從局部結(jié)構(gòu)出發(fā)，也可以從整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，證明題也并非一定是從左到右進(jìn)行，可以用它的等價(jià)形式，一次次轉(zhuǎn)化為新的目標(biāo)差，最后消除目標(biāo)差，而且這個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化可以是代數(shù)與代數(shù)間的轉(zhuǎn)化， 也可以是代數(shù)與幾何之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化。 應(yīng)用結(jié)構(gòu)分析法的差異性時(shí)，要仔細(xì)觀察、分析所給條件與結(jié)論之間的目標(biāo)差。有時(shí)不易被發(fā)現(xiàn)，這樣一來(lái)誰(shuí)都無(wú)法快速解決。因此只有靠教學(xué)活動(dòng)中不斷探究、不斷嘗試、不斷積累經(jīng)驗(yàn)來(lái)加以完善 5。 3.3 利用結(jié)構(gòu)分析法的層次性解題 用結(jié)構(gòu)分析法解數(shù)學(xué)綜合題的思想基礎(chǔ)是觀察、分析與聯(lián)想。其物質(zhì)基礎(chǔ)是各種元素之間的聯(lián)系，它們組合成千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題，需要我們?nèi)ソ鉀Q，這使得結(jié)構(gòu)分析法在數(shù)學(xué)解題中具有相當(dāng)普遍的意義。目標(biāo) 準(zhǔn)則 方案，運(yùn)用層次分析法聯(lián)系一般材料。從是什么、為什么、怎么樣 （影響、作用、意義等）、怎么辦（對(duì)策、措施）入手。有時(shí)也通過(guò)與幾何構(gòu)型相結(jié)合，利用空間想象能力解決問(wèn)題。 例 66 ABC 中， 60A ，最大邊和最小邊的長(zhǎng)分別是 032273 2 xx 的兩根，求 ABC 的內(nèi)切圓的面積。 結(jié)構(gòu)分析如圖 3-1，此問(wèn)題的待求是 ABC 內(nèi)切圓的面積 S ，由于 S 與內(nèi)切圓半徑 r 直接相關(guān)，而 r 又聯(lián)系著 ABC 的邊長(zhǎng)，因此取下列數(shù)學(xué)過(guò)程及這些過(guò)程中作為系統(tǒng)要素的各個(gè)之間的關(guān)系為本題第一個(gè)層次的結(jié)構(gòu)： 昌吉學(xué)院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì) ） 9 圖 3-1 1 ABC 中， 60A ，最大邊和最小邊的長(zhǎng)分別是 032273 2 xx 的兩根，求ABC 的周長(zhǎng)。 在這個(gè)過(guò)程中，需要關(guān)注 ABC 的邊長(zhǎng)與方程 032273 2 xx 的根的關(guān)系。為此選擇子系統(tǒng)的要素為： A ， ABC 的邊 AB 、 BC 及周長(zhǎng) P ， 方程 032273 2 xx 的兩根 1x 、 2x 。 因?yàn)?60A ，所以 A 的對(duì)邊 BC 不是最大邊也不是最小邊，由題設(shè)和余弦定理，有： 1xAB 、 2xBC （ 1） BCACABP （ 2） AABACABACBC c o s2222 （ 3） 2 已知三角形的周長(zhǎng)，求內(nèi)切圓的面積。 這個(gè)過(guò)程中，選取 ABC 的周長(zhǎng) P ， ABC 的面積ABCS和AOBS，AOCS，BOCS和內(nèi)切圓半徑 r 作為子系統(tǒng)的要素。其關(guān)系有： B O CA O CA O BA B C SSSS （ 4） rABS AOB 21 （ 5） rACS AOC 21 （ 6） rBCS BOC 21 （ 7） 本題第二個(gè)層次的結(jié)構(gòu)是不同子系統(tǒng)之間縱、橫聯(lián)系的溝 通，由此從已知量引向待求量 ： 由（ 1）聯(lián)想到韋達(dá)定理有 ： 9327 ABAC （ 8） 結(jié)構(gòu)分析法在解題中的應(yīng)用研究 10 332 ABAC （ 9） 將 （ 8） 、 （ 9） 代入 （ 3） ： 4932813)( 22 ACABABACBC , 即 7BC 。將 7BC 代入 （ 5） 結(jié)合（ 8）得 1679 P 由 （ 4） 、 （ 5） 、 （ 6） 、 （ 7） 得： ABCS= rBCACAB )(21 rrP 821 而ABCS 60s in21 ACAB 2133223 338 3388 r，即33r 故 ABC 內(nèi)切圓的面積3)33( 2 S 一個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是由觀察者的需要來(lái)確定的，因而我們有可能從不同側(cè)面以不同觀點(diǎn)來(lái)揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，從而尋求多種解 決問(wèn)題的途徑。 昌吉學(xué)院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì) ） 11 4 結(jié)構(gòu)分析法的擴(kuò)展 4.1 利用結(jié)構(gòu)分析法建立數(shù)學(xué)模型 結(jié)構(gòu)分析法的層次性，可將人的主觀判斷用數(shù)量形式表達(dá)和處理。它把復(fù)雜問(wèn)題分解成各個(gè)組成因素，又將這些因素按支配關(guān)系分組形成遞階層次結(jié)構(gòu)。并通過(guò)兩兩比較的方式確定層次中諸因素的相對(duì)重要性。然后綜合決策者的判斷，確定決策方案相對(duì)重要性的總的排序。整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了人的決策思維的基本特征 分解、判斷、綜合。改變了長(zhǎng)期以來(lái)決策者與決策分析之間難于溝通的狀態(tài)。因而在眾多領(lǐng)域中得到應(yīng)用。在歷年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，有不少參賽小組 使用該方法，通過(guò)建立內(nèi)部獨(dú)立的遞階層次結(jié)構(gòu)來(lái)解決問(wèn)題 7。 例如：通過(guò)結(jié)構(gòu)分析法的層次分析，在深入分析實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個(gè)因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次。同一層的諸因素從屬于上層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的作用，而同一層的各因素之間盡量相互獨(dú)立。最上層為目標(biāo)層，通常只有一個(gè)因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則過(guò)多時(shí)（比如多于九個(gè)）應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層 8。進(jìn)而建立層次結(jié)構(gòu)模型。 4.2 利用結(jié)構(gòu)分析法 教幾何定理 教學(xué)案例：用句子結(jié)構(gòu)分析法教幾何定理 幾何中的垂徑定理及其推論非常相似，只是條件和結(jié)論的位置不同而已，往往學(xué)生難以區(qū)分和辨別。針對(duì)這種周惑，可以分析句子結(jié)構(gòu)的方法進(jìn)行教學(xué)，如對(duì)句子劃分結(jié)構(gòu)成分。 垂徑定理：（垂直于弦的）直徑平分弦平分（這條弦所對(duì)的）兩條弧。因此定理精簡(jiǎn)到主謂賓成分為“直徑平分弦和弧”，這樣便于記憶條件和結(jié)論。 再如：在推論中，（平分弦的）直徑垂直于這條弦且平分（這條弦所對(duì)的）兩條弧，精簡(jiǎn)成：直徑垂直弦且平分兩條弧。 推論中的條件和結(jié)論也容易記憶了。通過(guò)這種分析句子結(jié)構(gòu)的方法，學(xué) 生更容易理解和區(qū)分垂徑定理和推論，從而更容易記憶和運(yùn)用于解題中 9。 結(jié)構(gòu)分析法在解題中的應(yīng)用研究 12 5 進(jìn)一步思考 5.1 何時(shí)應(yīng)用結(jié)構(gòu)分析法 當(dāng)問(wèn)題較為復(fù)雜，無(wú)法及時(shí)解答。此時(shí)觀察題目結(jié)構(gòu)，分析其元素之間的聯(lián)系，再聯(lián)想到結(jié)構(gòu)分析法的三個(gè)性質(zhì)，用合適的性質(zhì)進(jìn)行解答。 結(jié)構(gòu)分析法中特征性的應(yīng)用是最易判別的。它取決于給題目中元素的位置、特殊結(jié)構(gòu)及數(shù)值。此性質(zhì)的應(yīng)用較易，可直接觀察判斷；結(jié)構(gòu)分析法的差異性，多運(yùn)用于證明題。觀察、分析其所給條件和結(jié)論的目標(biāo)差，從條件和結(jié)論同時(shí)入手，不斷轉(zhuǎn)化目標(biāo)差，最終解決問(wèn)題；而結(jié)構(gòu)分析法的層次性，多用于解 決數(shù)學(xué)綜合題。一般將系統(tǒng)要素的各個(gè)之間的關(guān)系作為第一個(gè)層次的結(jié)構(gòu)，第二個(gè)層次的結(jié)構(gòu)是不同子系統(tǒng)之間縱、橫聯(lián)系的溝通，由此從已知量引向待求量。 5.2 應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng) 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定著解題的方法，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著解題方法，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提示著解題方法：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的多樣性決定著解題方法的多樣性；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的特殊性決定著解題方法的特殊性。因此做題時(shí)要根據(jù)所給題目的結(jié)構(gòu)來(lái)決定用哪個(gè)性質(zhì)解題更為簡(jiǎn)便。 例如：應(yīng)用結(jié)構(gòu)分析法層次性解答數(shù)學(xué)題時(shí)，應(yīng)對(duì)系統(tǒng)所涉及的各個(gè)因素作出詳細(xì)的分析，研究它們之間的關(guān)系。同時(shí)必須注意系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)應(yīng)滿 足內(nèi)部獨(dú)立的遞階層次要求，還要注意它們之間是否是線性關(guān)系，否則不能用層次分析法。 昌吉學(xué)院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設(shè)計(jì) ） 13 結(jié) 論 通過(guò)以上示例我們不難看出在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中到處都蘊(yùn)含著結(jié)構(gòu)的思想與方法。因此在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決及課堂教學(xué)中只要我們善于抓住數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)這一根本去進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化、聯(lián)想、構(gòu)造，解題途徑便有規(guī)律可循，自然可做到游刃有余、輕松自如。最后需要指出的是，引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用結(jié)構(gòu)思想去解數(shù)學(xué)題還能培養(yǎng)學(xué)生善于從多個(gè)側(cè)面、多個(gè)角度、多個(gè)層次去研究事物之間的聯(lián)系。這樣便容易從傳統(tǒng)思維的模式進(jìn)入發(fā)散性思維的模式。因此，還 可以達(dá)到培養(yǎng)發(fā)散性思維能力的目的。 結(jié)構(gòu)的思想與方法它不僅是一