46 等差數列的前n項和 教材分析等差數列的前項和是數列的重要內容，也是數列研究的基本問題在現實生活中，等差數列的求和是經常遇到的一類問題等差數列的求和公式，為我們求等差數列的前項和提供了一種重要方法教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數列前項和的求法，接著推廣到一般情況，推導出等差數列的前項和公式為深化對公式的理解，通過對具體例子的研究，弄清等差數列的前項和與等差數列的項、項數、公差之間的關系，并能熟練地運用等差數列的前項和公式解決問題這節(jié)內容重點是探索掌握等差數列的前項和公式，并能應用公式解決一些實際問題，難點是前項和公式推導思路的形成教學目標1. 通過等差數列前項和公式的推導，讓學生體驗數學公式產生、形成的過程，培養(yǎng)學生抽象概括能力2. 理解和掌握等差數列的前項和公式，體會等差數列的前項和與二次函數之間的聯系，并能用公式解決一些實際問題，培養(yǎng)學生對數學的理解能力和邏輯推理能力3. 在研究公式的形成過程中，培養(yǎng)學生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學的思維方法任務分析這節(jié)內容主要涉及等差數列的前項公式及其應用對公式的推導，為便于學生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子123100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學生對等差數列求和問題的興趣，另一方面引導學生發(fā)現等差數列中任意的第項與倒數第項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律，進而發(fā)現求等差數列前項和的一般方法，這樣自然地過渡到一般等差數列的求和問題對等差數列的求和公式，要引導學生認識公式本身的結構特征，弄清前項和與等差數列的項、項數、公差之間的關系為加深對公式的理解和運用，要強化對實例的教學，并通過對具體實例的分析，引導學生學會解決問題的方法特別是對實際問題，要引導學生從實際情境中發(fā)現等差數列的模型，恰當選擇公式對于等差數列前項和公式和二次函數之間的聯系，可引導學生拓展延伸教學設計一、問題情景1. 在200多年前，有個10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問題：“123100？”時，很快地就算出了結果他是怎么算出來的呢？他發(fā)現11002993975051101，于是121001015050502. 受高斯算法啟發(fā)，你能否求出123的和3. 高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數列的前項和？二、建立模型1. 數列的前項和定義對于數列n，我們稱12n為數列n的前項和，用sn表示，即sn12n2. 等差數列的求和公式（1）如何用高斯算法來推導等差數列的前項和公式？對于公差為的等差數列n：sn1（1）（12）1（1）， 依據高斯算法，將sn表示為snn（n）（n2）n（1） 由此得到等差數列的前項和公式小結：這種方法稱為反序相加法，是數列求和的一種常用方法（2）結合通項公式n1（1），又能得怎樣的公式？（）兩個公式有什么相同點和不同點，各反映了等差數列的什么性質？學生討論后，教師總結：相同點是利用二者求和都須知道首項1和項數；不同點是前者還須要知道n，后者還須要知道因此，在應用時要依據已知條件合適地選取公式公式本身也反映了等差數列的性質：前者反映了等差數列的任意的第項與倒數第項的和都等于首、末兩項之和，后者反映了等差數的前項和是關于的沒有常數項的“二次函數”三、解釋應用例題1. 根據下列各題中的條件，求相應的等差數列n的前項和sn（1）1 4，8 18，8（2）1145，0.7，n32注：恰當選用公式進行計算2. 已知一個等差數列n前10項的和是310，前20項的和是1220由這些條件能確定這個等差數列的前項和的公式嗎？分析：將已知條件代入等差數列前項和的公式后，可得到兩個關于1與的關系式，它們都是關于1與的二元一次方程，由此可以求得1與，從而得到所求前項和的公式解：由題意知注：（1）教師引導學生認識到等差數列前項和公式，就是一個關于n，1，或者1，的方程，使學生能把方程思想和前項和公式相結合，再結合通項公式，對1，n及sn這五個量知其三便可求其二（2）本題的解法還有很多，教學時可鼓勵學生探索其他的解法例如，3. 2000年11月14日教育部下發(fā)了關于在中小學實施“校校通”工程的通知某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費500萬元為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？教師引學生分析：每年“校校通”工程的經費數構成公差為的等差數列問題實質是求該數列的前10項的和解：根據題意，從20012010年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元所以，可以建立一個等差數列n，表示從2001年起各年投入的資金，其中，1500，50那么，到2010年（10），投入的資金總額為答：從20012010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元注：教師引導學生規(guī)范應用題的解題步驟4. 已知數列n的前項和sn2，求這個數列的通項公式這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據由此可知，數列n是一個首項為，公差為2的等差數列思考：一般地，數列n前項和sna2b（a），這時n是等差數列嗎？為什么？練習1. 一名技術人員計劃用下面的辦法測試一種賽車：從時速10開始，每隔2速度提高20如果測試時間是30，測試距離是多長？2. 已知數列n的前項的和為sn24，求這個數列的通項公式3. 求集合m21，n*，且60的元素個數，并求這些元素的和四、拓展延伸1. 數列n前項和sn為snpn2qn（，為常數且），則n成等差數列的條件是什么？2. 已知等差數列5，4，3，的前項和為sn，求使sn最大的序號的值分析1：等差數列的前項和公式可以寫成sn2 （1），所以sn可以看成函數x2（1 ）（n*）當時的函數值另一方面，容易知道sn關于的圖像是一條拋物線上的一些點因此，我們可以利用二次函數來求的值解：由題意知，等差數列5，4，3，的公差為，所以于是，當取與最接近的整數即7或8時，sn取最大值分析2：因為公差 ，所以此數列為遞減數列，如果知道從哪一項開始它后邊的項全為負的，而它之前的項是正的或者是零，那么就知道前多少項的和最大了即使然后從中求出點評這篇案例從具體的實例出發(fā)，引出等差數列的求和問題，在設計上，設計者注意激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，通過等差數列求和公式的探索過程，培養(yǎng)學生觀察、探索、發(fā)現規(guī)律、解決問題的能力對例題、練習的安排，這篇案例注意由淺入深，