浙江省紹興市諸暨中學2014-2015學年 高二上學期期中數(shù)學試卷（實驗班）一、選擇題：（每題3分，共30分）1（3分）拋物線y=ax2的準線方程為y=1，則實數(shù)a=（）a4bc2d2（3分）函數(shù)y=cos（1+x2）+4的導數(shù)是（）a2xsin（1+x2）bsin（1+x2）c2cos（1+x2）d2xsin（1+x2）3（3分）已知橢圓，長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于（）a4b5c7d84（3分）過點p（2，2），且與有相同漸近線的雙曲線方程是（）abcd5（3分）若直線y=kx與圓（x2）2+y2=1的兩個交點關于直線2x+y+b=0對稱，則k，b的值分別為（）abcd6（3分）若點a（2，3）是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點，則相異兩點（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程是（）a2x3y+1=0b3x2y+1=0c2x3y1=0d3x2y1=07（3分）過圓x2+y2=4外一點p（4，2）作圓的兩條切線，切點分別為a，b，則abp的外接圓方程是（）a（x4）2+（y2）2=1bx2+（y2）2=4c（x+2）2+（y+1）2=5d（x2）2+（y1）2=58（3分）已知f1，f2是橢圓和雙曲線的公共焦點，p是它們的一個公共點且f1pf2=，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）abc3d29（3分）已知橢圓上到點a（0，b）距離最遠的點是b（0，b），則橢圓的離心率的取值范圍為（）abcd10（3分）在平面直角坐標系xoy中已知向量、，|=|=1，=0，點q滿足=（+），曲線c=p|=cos+sin，02，區(qū)域=p|0r|r，rr若c為兩段分離的曲線，則（）a1rr3b1r3rcr1r3d1r3r二、填空題：（每題4分，共28分）11（4分）若直線l1：mx+y（m+1）=0平行于直線l2：x+my2m=0，則m=12（4分）設p為曲線c：y=x2+2x+3上的點，且曲線c在點p處切線傾斜角的取值范圍為，則點p橫坐標的取值范圍為13（4分）過拋物線y2=4x的焦點f的直線交該拋物線于a，b兩點，o為坐標原點若|af|=3，則aob的面積為14（4分）設f1，f2分別是橢圓e：x2+=1（0b1）的左、右焦點，過點f1的直線交橢圓e于a、b兩點，若|af1|=3|f1b|，af2x軸，則橢圓e的方程為15（4分）設f為拋物線y2=4x的焦點，a，b，c為該拋物線上三點，若，則=16（4分）直線l1：y=x+a和l2：y=x+b將單位圓c：x2+y2=1分成長度相等的四段弧，則a2+b2=17（4分）過雙曲線=1（a0）的右焦點f作一條直線，當直線斜率為2時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，則雙曲線離心率的取值范圍是三、解答題：（寫出必要的文字說明，計算、推理過程，共42分）18（10分）已知圓c：x22x+y2=0，直線l：x+y4=0（1）若直線ll且被圓c截得的弦長為，求直線l的方程；（2）若點p是直線l上的動點，pa、pb與圓c相切于點a、b，求四邊形pacb面積的最小值19（10分）已知函數(shù)f（x）=（x2+bx+b）（br）（1）當b=4時，求f（x）的極值；（2）若f（x）在區(qū)間（0，）上單調遞增，求b的取值范圍20（10分）在平面直角坐標系xoy中，點m到點f（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點m的軌跡為c（）求軌跡c的方程；（）設斜率為k的直線l過定點p（2，1），求直線l與軌跡c恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍21（12分）已知橢圓c：的離心率為，橢圓c上的點到左焦點f距離的最小值與最大值之積為1（1）求橢圓c的方程；（2）直線l過橢圓c內一點m（m，0），與橢圓c交于p、q兩點對給定的m值，若存在直線l及直線母x=2上的點n，使得pnq的垂心恰為點f，求m的取值范圍浙江省紹興市諸暨中學2014-2015學年高二上學期期中數(shù)學試卷（實驗班）參考答案與試題解析一、選擇題：（每題3分，共30分）1（3分）拋物線y=ax2的準線方程為y=1，則實數(shù)a=（）a4bc2d考點：拋物線的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：拋物線方程化為標準方程，求出其準線，利用條件，即可求a的值解答：解：拋物線y=ax2，可化為，其準線方程為y=拋物線y=ax2的準線方程為y=1，a=故選b點評：本題考查拋物線的性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題2（3分）函數(shù)y=cos（1+x2）+4的導數(shù)是（）a2xsin（1+x2）bsin（1+x2）c2cos（1+x2）d2xsin（1+x2）考點：導數(shù)的運算 專題：導數(shù)的概念及應用分析：根據(jù)復合函數(shù)的導數(shù)的運算法則求導即可解答：解：y=sin（1+x2）2x=2xsin（1+x2），故選：d點評：本題主要考查了復合函數(shù)的求導，屬于基礎題3（3分）已知橢圓，長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于（）a4b5c7d8考點：橢圓的簡單性質 專題：計算題分析：先把橢圓方程轉換成標準方程，進而根據(jù)焦距求得m解答：解：將橢圓的方程轉化為標準形式為，顯然m210m，即m6，解得m=8故選d點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質要求學生對橢圓中對長軸和短軸即及焦距的關系要明了4（3分）過點p（2，2），且與有相同漸近線的雙曲線方程是（）abcd考點：雙曲線的簡單性質 專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：設所求的雙曲線方程是 =k，由點p（2，2）在雙曲線方程上，求出k值，即得所求的雙曲線方程解答：解：由題意知，可設所求的雙曲線方程是=k，點p（2，2）在雙曲線方程上，所以，k=2，故所求的雙曲線方程是，故選b點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，解題的關鍵是根據(jù)漸近線方程相同設所求的雙曲線方程是 =k，屬于基礎題5（3分）若直線y=kx與圓（x2）2+y2=1的兩個交點關于直線2x+y+b=0對稱，則k，b的值分別為（）abcd考點：直線與圓的位置關系；關于點、直線對稱的圓的方程 專題：計算題；直線與圓分析：利用對稱知識，求出直線的斜率，對稱軸經(jīng)過圓的圓心即可求出b解答：解：因為直線y=kx與圓（x2）2+y2=1的兩個交點關于直線2x+y+b=0對稱，直線2x+y+b=0的斜率為2，所以k=并且直線經(jīng)過圓的圓心，所以圓心（2，0）在直線2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=4故選a點評：本題考查直線與圓的位置關系，對稱直線方程的應用，考查分析問題解決問題與計算能力6（3分）若點a（2，3）是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點，則相異兩點（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程是（）a2x3y+1=0b3x2y+1=0c2x3y1=0d3x2y1=0考點：直線的兩點式方程；兩條直線的交點坐標 專題：計算題分析：把點a（2，3）代入線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的方程，發(fā)現(xiàn)點（a1，b1）和（a2，b2）都在同一條直線 2x3y+1=0上，從而得到點（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程解答：解：a（2，3）是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點，2a13b1+1=0，且2a23b2+1=0，兩點（a1，b1）和（a2，b2）都在同一條直線 2x3y+1=0上，故 點（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程是2x3y+1=0，答案選 a點評：本題考查兩直線交點的坐標和點在直線上的條件7（3分）過圓x2+y2=4外一點p（4，2）作圓的兩條切線，切點分別為a，b，則abp的外接圓方程是（）a（x4）2+（y2）2=1bx2+（y2）2=4c（x+2）2+（y+1）2=5d（x2）2+（y1）2=5考點：直線與圓的位置關系 專題：計算題分析：根據(jù)已知圓的方程找出圓心坐標，發(fā)現(xiàn)圓心為坐標原點，根據(jù)題意可知，abp的外接圓即為四邊形oapb的外接圓，從而得到線段op為外接圓的直徑，其中點為外接圓的圓心，根據(jù)p和o兩點的坐標利用兩點間的距離公式求出|op|的長即為外接圓的直徑，除以2求出半徑，利用中點坐標公式求出線段op的中點即為外接圓的圓心，根據(jù)求出的圓心坐標和半徑寫出外接圓的方程即可解答：解：由圓x2+y2=4，得到圓心o坐標為（0，0），abp的外接圓為四邊形oapb的外接圓，又p（4，2），外接圓的直徑為|op|=2，半徑為，外接圓的圓心為線段op的中點是（，），即（2，1），則abp的外接圓方程是（x2）2+（y1）2=5故選d點評：此題考查了直線與圓的位置關系，要求學生熟練運用兩點間的距離公式及中點坐標公式根據(jù)題意得到abp的外接圓為四邊形oapb的外接圓是本題的突破點8（3分）已知f1，f2是橢圓和雙曲線的公共焦點，p是它們的一個公共點且f1pf2=，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）abc3d2考點：橢圓的簡單性質；余弦定理；雙曲線的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：根據(jù)雙曲線和橢圓的性質和關系，結合余弦定理即可得到結論解答：解：設橢圓的長半軸為a，雙曲線的實半軸為a1，（aa1），半焦距為c，由橢圓和雙曲線的定義可知，設|pf1|=r1，|pf2|=r2，|f1f2|=2c，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2f1pf2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在橢圓中，化簡為即4c2=4a23r1r2，即，在雙曲線中，化簡為即4c2=4a12+r1r2，即，聯(lián)立得，=4，由柯西不等式得（1+）（）（1+）2，即（）=即，d當且僅當時取等號，法2：設橢圓的長半軸為a1，雙曲線的實半軸為a2，（a1a2），半焦距為c，由橢圓和雙曲線的定義可知，設|pf1|=r1，|pf2|=r2，|f1f2|=2c，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2f1pf2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos=（r1）2+（r2）2r1r2，由，得，=，令m=，當時，m，即的最大值為，故選：a點評：本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關鍵難度較大9（3分）已知橢圓上到點a（0，b）距離最遠的點是b（0，b），則橢圓的離心率的取值范圍為（）abcd考點：橢圓的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：設點p（x，y）是橢圓上的任意一點，利用兩點間的距離公式可得：|pa|2=x2+（yb）2=f（y），由于橢圓上的點p到點a（0，b）距離最遠的點是b（0，b），利用二次函數(shù)的單調性可知：f（y）在（b，b）單調遞減，可得，即可得出離心率的取值范圍解答：解：設點p（x，y）是橢圓上的任意一點，則，化為|pa|2=x2+（yb）2=f（y），橢圓上的點p到點a（0，b）距離最遠的點是b（0，b），由二次函數(shù)的單調性可知：f（y）在（b，b）單調遞減，化為c2b2=a2c2，即2c2a2，又e0離心率的取值范圍是故選：c點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、兩點間的距離公式、二次函數(shù)的單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題10（3分）在平面直角坐標系xoy中已知向量、，|=|=1，=0，點q滿足=（+），曲線c=p|=cos+sin，02，區(qū)域=p|0r|r，rr若c為兩段分離的曲線，則（）a1rr3b1r3rcr1r3d1r3r考點：向量在幾何中的應用 專題：平面向量及應用；直線與圓分析：不妨令=（1，0），=（0，1），則p點的軌跡為單位圓，=p|（0r|r，rr表示的平面區(qū)域為：以q點為圓心，內徑為r，外徑為r的圓環(huán)，若c為兩段分離的曲線，則單位圓與圓環(huán)的內外圓均相交，進而根據(jù)圓圓相交的充要條件得到答案解答：解：平面直角坐標系xoy中已知向量、，|=|=1，=0，不妨令=（1，0），=（0，1），則=（+）=（，），=cos+sin=（cos，sin），故p點的軌跡為單位圓，=p|（0r|r，rr表示的平面區(qū)域為：以q點為圓心，內徑為r，外徑為r的圓環(huán)，若c為兩段分離的曲線，則單位圓與圓環(huán)的內外圓均相交，故|oq|1rr|oq|+1，|oq|=2，故1rr3，故選：a點評：本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，其中根據(jù)已知分析出p的軌跡及=p|（0r|r，rr表示的平面區(qū)域，是解答的關鍵二、填空題：（每題4分，共28分）11（4分）若直線l1：mx+y（m+1）=0平行于直線l2：x+my2m=0，則m=1考點：直線的一般式方程與直線的平行關系 專題：直線與圓分析：由題意可得=，解之即可解答：解：直線l1：mx+y（m+1）=0平行于直線l2：x+my2m=0，=，解得m=1故答案為：1點評：本題考查直線的一般式方程和平行關系，屬基礎題12（4分）設p為曲線c：y=x2+2x+3上的點，且曲線c在點p處切線傾斜角的取值范圍為，則點p橫坐標的取值范圍為考點：直線的傾斜角；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 專題：計算題分析：切線的斜率k=tan設切點為p（x0，y0），k=y|x=x0=2x0+2，上此可知點p橫坐標的取值范圍解答：解：切線的斜率k=tan=設切點為p（x0，y0），于是k=y|x=x0=2x0+2，x0答案點評：本題考查圓錐曲線的基本性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答13（4分）過拋物線y2=4x的焦點f的直線交該拋物線于a，b兩點，o為坐標原點若|af|=3，則aob的面積為考點：拋物線的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：設直線ab的傾斜角為，利用|af|=3，可得點a到準線l：x=1的距離為3，從而cos=，進而可求|bf|，|ab|，由此可求aob的面積解答：解：設直線ab的傾斜角為（0）及|bf|=m，|af|=3，點a到準線l：x=1的距離為3，2+3cos=3，即cos=，則sin=m=2+mcos（）m=aob的面積為s=故答案為：點評：本題考查拋物線的定義，考查三角形的面積的計算，確定拋物線的弦長是解題的關鍵14（4分）設f1，f2分別是橢圓e：x2+=1（0b1）的左、右焦點，過點f1的直線交橢圓e于a、b兩點，若|af1|=3|f1b|，af2x軸，則橢圓e的方程為x2+=1考點：橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：求出b（c，b2），代入橢圓方程，結合1=b2+c2，即可求出橢圓的方程解答：解：由題意，f1（c，0），f2（c，0），af2x軸，|af2|=b2，a點坐標為（c，b2），設b（x，y），則|af1|=3|f1b|，（cc，b2）=3（x+c，y）b（c，b2），代入橢圓方程可得，1=b2+c2，b2=，c2=，x2+=1故答案為：x2+=1點評：本題考查橢圓的方程與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題15（4分）設f為拋物線y2=4x的焦點，a，b，c為該拋物線上三點，若，則=6考點：拋物線的應用 專題：計算題分析：先設a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標和準線方程，再依據(jù) =0，判斷點f是abc重心，進而可求x1+x2+x3的值最后根據(jù)拋物線的定義求得答案解答：解：設a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3）拋物線焦點坐標f（1，0），準線方程：x=1=，點f是abc重心則x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|fa|=x1（1）=x1+1|fb|=x2（1）=x2+1|fc|=x3（1）=x3+1|fa|+|fb|+|fc|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故答案為：6點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質，平面向量的基礎知識考查了學生分析問題和解決問題的能力解本題的關鍵是判斷出f點為三角形的重心16（4分）直線l1：y=x+a和l2：y=x+b將單位圓c：x2+y2=1分成長度相等的四段弧，則a2+b2=2考點：直線與圓的位置關系 專題：計算題；直線與圓分析：由題意可得，圓心（0，0）到兩條直線的距離相等，且每段弧長都是圓周的，即=cos45，由此求得a2+b2的值解答：解：由題意可得，圓心（0，0）到兩條直線的距離相等，且每段弧長都是圓周的，=cos45=，a2+b2=2，故答案為：2點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，得到=cos45是解題的關鍵，屬于基礎題17（4分）過雙曲線=1（a0）的右焦點f作一條直線，當直線斜率為2時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，則雙曲線離心率的取值范圍是（，）考點：雙曲線的簡單性質 專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：先確定雙曲線的漸近線斜率23，再根據(jù)=，即可求得雙曲線離心率的取值范圍解答：解：由題意可得雙曲線的漸近線斜率23，=e雙曲線離心率的取值范圍為（，）故答案為：（，）點評：本題考查雙曲線的性質，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是利用=，屬于中檔題三、解答題：（寫出必要的文字說明，計算、推理過程，共42分）18（10分）已知圓c：x22x+y2=0，直線l：x+y4=0（1）若直線ll且被圓c截得的弦長為，求直線l的方程；（2）若點p是直線l上的動點，pa、pb與圓c相切于點a、b，求四邊形pacb面積的最小值考點：直線和圓的方程的應用 專題：直線與圓分析：（1）設出直線l方程，利用弦長為，結合勾股定理，即可求直線l的方程；（2）表示出s四邊形pacb=2spac=|pa|ac|，s四邊形pacb=2spac=|pa|ac|，而pa2=pc2r2=pc21，所以當pc取最小值時，pa取得最小值，從而可得結論解答：解：（1）因為直線ll，所以直線l的斜率為1，設直線l方程為y=x+b，因為截得弦長為，所以圓心c到直線l的距離為，即，解得或，所以直線l方程為：或（5分）（2）s四邊形pacb=2spac=|pa|ac|，因為|ac|=r=1，所以當|pa|取得最小值時四邊形pacb的面積最小因為pa2=pc2r2=pc21，所以當pc取最小值時，pa取得最小值，由點到直線的距離公式可得，所以（10分）點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查四邊形面積的計算，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題19（10分）已知函數(shù)f（x）=（x2+bx+b）（br）（1）當b=4時，求f（x）的極值；（2）若f（x）在區(qū)間（0，）上單調遞增，求b的取值范圍考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 專題：導數(shù)的綜合應用分析：（1）把b=4代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)的零點對定義域分段，由導函數(shù)在各區(qū)間段內的符號判斷原函數(shù)的單調性，從而求得極值；（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)在區(qū)間（0，）上大于等于0恒成立，得到對任意x（0，）恒成立由單調性求出的范圍得答案解答：解：（1）當b=4時，f（x）=（x2+4x+4）=（x），則=由f（x）=0，得x=2或x=0當x2時，f（x）0，f（x）在（，2）上為減函數(shù)當2x0時，f（x）0，f（x）在（2，0）上為增函數(shù)當0x時，f（x）0，f（x）在（0，）上為減函數(shù)當x=2時，f（x）取極小值為0當x=0時，f（x）取極大值為4；（2）由f（x）=（x2+bx+b），得：=由f（x）在區(qū)間（0，）上單調遞增，得f（x）0對任意x（0，）恒成立即5x23bx+2x0對任意x（0，）恒成立對任意x（0，）恒成立b的取值范圍是點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，考查了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題20（10分）在平面直角坐標系xoy中，點m到點f（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點m的軌跡為c（）求軌跡c的方程；（）設斜率為k的直線l過定點p（2，1），求直線l與軌跡c恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：（）設出m點的坐標，直接由題意列等式，整理后即可得到m的軌跡c的方程；（）設出直線l的方程為y1=k（x+2），和（）中的軌跡方程聯(lián)立化為關于y的一元二次方程，求出判別式，再在直線y1=k（x+2）中取y=0得到然后分判別式小于0、等于0、大于0結合x00求解使直線l與軌跡c恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍解答：解：（）設m（x，y），依題意得：|mf|=|x|+1，即，化簡得，y2=2|x|+2x點m的軌跡c的方程為；（）在點m的軌跡c中，記c1：y2=4x（x0），c2：y=0（x0）