第四講最短路線 教師 吳瓊電話 2019 11 2 2 2020 2 6 看圖思考 為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢 綠地里本沒(méi)有路 走的人多了 禁止踐踏 兩點(diǎn)之間 線段最短 愛(ài)護(hù)草坪 3 2020 2 6 將軍飲馬問(wèn)題 兩線段之和最短這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了 傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者 名叫海倫 一天 一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他 向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題 將軍每天騎馬從城堡A出發(fā) 到城堡B 途中馬要到小溪邊飲水一次 將軍問(wèn)怎樣走路程最短 這就是被稱(chēng)為 將軍飲馬 而廣為流傳的問(wèn)題 4 2020 2 6 P 兩點(diǎn)之間線段最短 根據(jù) B A 一 兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè) 例1 如圖 古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B 途中馬要到小溪邊飲水一次 問(wèn)將軍怎樣走路程最短 最短路線 將軍飲馬 A P B 5 拓展1 已知美羊羊在A地玩耍 這時(shí)喜羊羊在小溪的對(duì)面C玩耍 并且AC兩地是關(guān)于小溪的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 它倆在小溪的任意一點(diǎn)E處匯合 再一起回家的最短路線是什么 A C B M N 將軍飲馬 6 例2 如圖 一位將軍騎馬從城堡A到城堡B 途中馬要到河邊飲水一次 問(wèn) 這位將軍怎樣走路程最短 A B 河 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè) 二 一次軸對(duì)稱(chēng) 7 B C 例2作法 1 作點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B 2 連結(jié)B A 交MN于點(diǎn)C 所以點(diǎn)C就是所求的點(diǎn) M N 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè) 二 一次軸對(duì)稱(chēng) 8 BC AC BC AC 即AC BC最小 N A B C B C 直線MN是點(diǎn)B B 的對(duì)稱(chēng)軸 點(diǎn)C C 在對(duì)稱(chēng)軸上 BC B C BC B C 在MN上任取另一點(diǎn)C 連結(jié)BC BC AC B C 例2證明 在 AB C 中 AB AC B C BC AC B C AC B A M BC AC B C AC 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè) 二 一次軸對(duì)稱(chēng) 9 例2變式1 已知 P Q是 ABC的邊AB AC上的點(diǎn) 你能在BC上確定一點(diǎn)R 使 PQR的周長(zhǎng)最短嗎 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè) 二 一次軸對(duì)稱(chēng) 10 例3 如圖 一位將軍騎馬從駐地A出發(fā) 先牽馬去草地OM吃草 再牽馬去河邊ON喝水 最后回到駐地A 問(wèn) 這位將軍怎樣走路程最短 O M N 三 二次軸對(duì)稱(chēng) 一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部 11 例3已知如圖和內(nèi)一點(diǎn) 三 二次軸對(duì)稱(chēng) 一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部 求作 OM上一點(diǎn)B ON上一點(diǎn)C 使AB BC AC最小 作法 1 作點(diǎn)A關(guān)于OM ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A A 12 例3變式1 已知P是 ABC的邊BC上的點(diǎn) 你能在AB AC上分別確定一點(diǎn)Q和R 使 PQR的周長(zhǎng)最短嗎 三 二次軸對(duì)稱(chēng) 一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部 13 例4 如圖 A為馬廄 B為帳篷 將軍某一天要從馬廄牽出馬 先到草地邊某一處牧馬 再到河邊飲馬 然后回到帳篷 請(qǐng)你幫助確定這一天的最短路線 四 二次軸對(duì)稱(chēng) 兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部 14 例4答案 如圖 A是馬廄 B為帳篷 牧馬人某一天要從馬廄牽出馬 先到草地邊某一處牧馬 再到河邊飲馬 然后回到帳篷 請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線 A B C D 四 二次軸對(duì)稱(chēng) 兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部 15 四 二次軸對(duì)稱(chēng) 兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部 例4變式1 已知 MON和MON內(nèi)兩點(diǎn)A B 求作 點(diǎn)C和點(diǎn)D 使得點(diǎn)C在OM上 點(diǎn)D在ON上 且AC CD BD AB最短 16 例4變式2 如圖 OMCN是矩形的臺(tái)球桌面 有黑 白兩球分別位于B A兩點(diǎn)的位置上 試問(wèn)怎樣撞擊白球 使白球A依次碰撞球臺(tái)邊OM ON后 反彈擊中黑球 四 二次軸對(duì)稱(chēng) 兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部 17 A A B B C D M O N 例4變式2 四 二次軸對(duì)稱(chēng) 兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部 18 2 把A B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè) 化折線為直線 將軍飲馬的實(shí)質(zhì) 3 可利用 兩點(diǎn)之間線段最短 加以解決 1 求最短路線問(wèn)題 通過(guò)