8.2空間的基本關(guān)系與公理1平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線2公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行3定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)4直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)范圍：.5直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況6平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)如果兩個不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a.()(2)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線()(3)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于A點，并記作A.()(4)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.()(5)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面()2已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線答案C解析由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab，與已知a、b為異面直線相矛盾3下列命題正確的個數(shù)為()經(jīng)過三點確定一個平面；梯形可以確定一個平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合A0 B1 C2 D3答案C解析經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面，不正確；兩條平行線可以確定一個平面，正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，正確；命題中沒有說清三個點是否共線，不正確4如圖，l，A、B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點的平面記作，則與的交線必通過()A點AB點BC點C但不過點MD點C和點M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根據(jù)公理3可知，M在與的交線上同理可知，點C也在與的交線上5已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點，則下列判斷：MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)其中正確的是_答案解析如圖，取BC的中點O，連接MO、NO，則OMAC，ONBD，在MON中，MNOMON(ACBD)，正確題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點求證：(1)E、C、D1、F四點共面；(2)CE、D1F、DA三線共點思維啟迪(1)兩條相交直線或兩條平行直線確定一個平面；(2)可以先證CE與D1F交于一點，然后再證該點在直線DA上證明(1)連接EF，CD1，A1B.E、F分別是AB、AA1的中點，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四點共面(2)EFCD1，EFCD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA.CE、D1F、DA三線共點思維升華公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)(1)以下四個命題中不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；依次首尾相接的四條線段必共面正確命題的個數(shù)是()A0 B1C2 D3(2)a、b是異面直線，在直線a上有5個點，在直線b上有4個點，則這9個點可確定_個平面答案(1)B(2)9解析(1)假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以正確從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形(2)a、b是異面直線，a上任一點與直線b確定一平面，共5個，b上任一點與直線a確定一平面，共4個，一共9個題型二判斷空間兩直線的位置關(guān)系例2如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由思維啟迪第(1)問，連接MN，AC，證MNAC，即AM與CN共面；第(2)問可采用反證法解(1)不是異面直線理由如下：連接MN、A1C1、AC.M、N分別是A1B1、B1C1的中點，MNA1C1.又A1A綊C1C，A1ACC1為平行四邊形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線(2)是異面直線證明如下：ABCDA1B1C1D1是正方體，B、C、C1、D1不共面假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，與ABCDA1B1C1D1是正方體矛盾假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線思維升華(1)證明直線異面通常用反證法；(2)證明直線相交，通常用平面的基本性質(zhì)，平面圖形的性質(zhì)等；(3)利用公理4或平行四邊形的性質(zhì)證明兩條直線平行(1)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是()AMN與CC1垂直BMN與AC垂直CMN與BD平行DMN與A1B1平行(2)在圖中，G、N、M、H分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號)答案(1)D(2)解析(1)連接B1C，B1D1，則點M是B1C的中點，MN是B1CD1的中位線，MNB1D1，CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1，MNCC1，MNAC，MNBD.又A1B1與B1D1相交，MN與A1B1不平行，故選D.(2)圖中，直線GHMN；圖中，G、H、N三點共面，但M面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH與MN異面所以圖、中GH與MN異面題型三求兩條異面直線所成的角例3空間四邊形ABCD中，ABCD且AB與CD所成的角為30，E、F分別為BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大小思維啟迪取AC中點，利用三角形中位線的性質(zhì)作出所求角解取AC的中點G，連接EG、FG，則EG綊AB，GF綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，EGF(或它的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角AB與CD所成的角為30，EGF30或150.由EGFG知EFG為等腰三角形，當(dāng)EGF30時，GEF75；當(dāng)EGF150時，GEF15.故EF與AB所成的角為15或75.思維升華(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補(bǔ)形平移(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”其中空間選點任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進(jìn)而求解直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90答案C解析如圖，可補(bǔ)成一個正方體，AC1BD1.BA1與AC1所成角的大小為A1BD1.又易知A1BD1為正三角形，A1BD160.即BA1與AC1成60的角求解兩條直線所成角問題概念不準(zhǔn)確致誤典例：(5分)過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作()A1條 B2條C3條 D4條易錯分析忽視異面直線所成的角，只找兩條相交直線所成角，沒有充分認(rèn)識正方體中的平行關(guān)系解析如圖，連接體對角線AC1，顯然AC1與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為.聯(lián)想正方體的其他體對角線，如連接BD1，則BD1與棱BC、BA、BB1所成的角都相等，BB1AA1，BCAD，體對角線BD1與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，體對角線A1C、DB1也與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，過A點分別作BD1、A1C、DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線l可以作4條答案D溫馨提醒求空間直線所成的角時，常犯以下錯誤：(1)不能挖掘題中的平行關(guān)系，找不到其所成的角；(2)線多、圖形復(fù)雜、空間想象力不夠，感覺無從下手方法與技巧1主要題型的解題方法(1)要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入法”)(2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上，因此共線2判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點B的直線是異面直線(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面3求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān)，往往可以選在其中一條直線上(線面的端點或中點)利用三角形求解失誤與防范1正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”2不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”條件A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)一、選擇題1若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的()A充分非必要條件B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件答案A解析“兩條直線為異面直線”“兩條直線無公共點”“兩直線無公共點”“兩直線異面或平行”故選A.2若空間三條直線a，b，c滿足ab，bc，則直線a與c()A一定平行B一定相交C一定是異面直線D平行、相交、是異面直線都有可能答案D解析當(dāng)a，b，c共面時，ac；當(dāng)a，b，c不共面時，a與c可能異面也可能相交3設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)答案A解析此題相當(dāng)于一個正方形沿著對角線折成一個四面體，長為a的棱長一定大于0且小于.選A.4四棱錐PABCD的所有側(cè)棱長都為，底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案B解析因為四邊形ABCD為正方形，故CDAB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為PAB.在PAB內(nèi)，PBPA，AB2，利用余弦定理可知cosPAB，故選B.5設(shè)P表示一個點，a、b表示兩條直線，、表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是()Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPbA BC D答案D解析當(dāng)aP時，Pa，P，但a，錯；aP時，錯；如圖，ab，Pb，Pa，由直線a與點P確定唯一平面，又ab，由a與b確定唯一平面，但經(jīng)過直線a與點P，與重合，b，故正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故正確二、填空題6平面、相交，在、內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定_個平面答案1或4解析若過四點中任意兩點的連線與另外兩點的連線相交或平行，則確定一個平面；否則確定四個平面7a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：若ab，bc，則ac；若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；若a平面，b平面，則a，b一定是異面直線；若a，b與c成等角，則ab.上述命題中正確的命題是_(只填序號)答案解析由公理4知正確；當(dāng)a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故不正確；a，b，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故不正確；當(dāng)a，b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故不正確8若兩條異面直線所成的角為60，則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“黃金異面直線對”共有_對答案24解析正方體如圖，若要出現(xiàn)所成角為60的異面直線，則直線為面對角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對的直線有4條，分別是AB，BC，AD，CD，正方體的面對角線有12條，所以所求的黃金異面直線對共有24(對)三、解答題9如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AEEBCFFB21，CGGD31，過E、F、G的平面交AD于點H.(1)求AHHD；(2)求證：EH、FG、BD三線共點(1)解2，EFAC，EF平面ACD，而EF平面EFGH，平面EFGH平面ACDGH，EFGH，ACGH.3.AHHD31.(2)證明EFGH，且，EFGH，EFGH為梯形令EHFGP，則PEH，而EH平面ABD，又PFG，F(xiàn)G平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH、FG、BD三線共點10如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點(1)求四棱錐OABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值的大小解(1)由已知可求得，正方形ABCD的面積S4，所以，四棱錐OABCD的體積V42.(2)連接AC，設(shè)線段AC的中點為E，連接ME，DE，則EMD為異面直線OC與MD所成的角(或其補(bǔ)角)，由已知，可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM為直角三角形，tanEMD.B組專項能力提升(時間：30分鐘)1 l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點l1，l2，l3共面答案B解析當(dāng)l1l2，l2l3時，l1與l3也可能相交或異面，故A不正確；l1l2，l2l3l1l3，故B正確；當(dāng)l1l2l3時，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確；l1，l2，l3共點時，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱，故D不正確2如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；B