第6講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1對(duì)數(shù)概念如果axN(a0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底數(shù)N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對(duì)數(shù)式性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：axNxlogaN(a0，且a1)loga10，logaa1，alogaNN(a0，且a1)運(yùn)算法則loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)換底公式logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1時(shí)，y0當(dāng)x1時(shí)，y0當(dāng)0x1時(shí)，y0當(dāng)0x0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng) 判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若MN0，則loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)函數(shù)ylog2x及ylog3x都是對(duì)數(shù)函數(shù)()(4)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函數(shù)()(5)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)且過(guò)點(diǎn)(a，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 函數(shù)yln(1x)的定義域?yàn)?)A(0，1)B0，1)C(0，1D0，1解析：選B.因?yàn)閥ln(1x)，所以解得0x0，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102.所以m210，所以m.答案：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 典例引領(lǐng) (1)(2018沈陽(yáng)市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)函數(shù)f(x)ln(x21)的圖象大致是()(2)(數(shù)形結(jié)合思想)當(dāng)0x時(shí)，4x1時(shí)不滿(mǎn)足條件，當(dāng)0a1時(shí)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在(0，上的圖象，可知f()g()，即2，所以a的取值范圍為(，1)【答案】(1)A(2)B1.若本例(2)變?yōu)椋悍匠?xlogax在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：構(gòu)造函數(shù)f(x)4x和g(x)logax，當(dāng)a1時(shí)不滿(mǎn)足條件，當(dāng)0a1時(shí)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在上的圖象(見(jiàn)例題(2)解析圖象)，可知，只需兩圖象在上有交點(diǎn)即可，則fg，即2loga，則a，所以a的取值范圍為.2.若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁絰2logax0對(duì)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由x2logax0得x2logax，設(shè)f1(x)x2，f2(x)logax，要使x時(shí)，不等式x21時(shí)，顯然不成立；當(dāng)0a1時(shí)，如圖所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1()f2，所以有l(wèi)oga，解得a，所以a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類(lèi)熱點(diǎn)問(wèn)題(1)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解本例(2)充分體現(xiàn)四大數(shù)學(xué)思想，不等式4x0，a1)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()Aa1，c1Ba1，0c1C0a1D0a1，0c1解析：選D.由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得0a0時(shí)是由函數(shù)ylogax的圖象向左平移c個(gè)單位得到的，所以根據(jù)題中圖象可知0c0且a1)的圖象過(guò)兩點(diǎn)(1，0)和(0，1)，則logba_解析：f(x)的圖象過(guò)兩點(diǎn)(1，0)和(0，1)則f(1)loga(1b)0且f(0)loga(0b)1，所以即所以logba1.答案：13已知函數(shù)f(x)關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：?jiǎn)栴}等價(jià)于函數(shù)yf(x)與yxa的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知a1.答案：(1，)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(高頻考點(diǎn))對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是每年高考的必考內(nèi)容之一，多以選擇題或填空題的形式考查，難度低、中、高檔都有高考對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1)比較對(duì)數(shù)值的大??；(2)解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式或方程；(3)對(duì)數(shù)型函數(shù)的綜合問(wèn)題典例引領(lǐng)角度一比較對(duì)數(shù)值的大小 (2018福州市綜合質(zhì)量檢測(cè))已知aln 8，bln 5，cln ln ，則()AabcBacbCcabDcba【解析】因?yàn)閍ln 8，bln 5，clnln，所以aln，bln，clnln.又對(duì)數(shù)函數(shù)yln x 在(0，)上為單調(diào)遞增函數(shù)，由，得lnlnln，所以acb，故選B.【答案】B角度二解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式或方程 若loga(a21)loga2a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，所以a.綜上，a.【答案】C角度三對(duì)數(shù)型函數(shù)的綜合問(wèn)題 已知函數(shù)f(x)loga(x1)loga(1x)，a0，且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性，并予以證明；(3)當(dāng)a1時(shí)，求使f(x)0的x的取值范圍【解】(1)因?yàn)閒(x)loga(x1)loga(1x)，所以解得1x1.故所求函數(shù)的定義域?yàn)閤|1x1(2)f(x)為奇函數(shù)證明如下：由(1)知f(x)的定義域?yàn)閤|1x1時(shí)，f(x)在定義域x|1x0，得1，解得0xlogab的不等式，借助ylogax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a1與0ab的不等式，需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式(3)解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的步驟 通關(guān)練習(xí)1(2017高考全國(guó)卷)函數(shù)f(x)ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)解析：選D.由x22x80，得x4.因此，函數(shù)f(x)ln(x22x8)的定義域是(，2)(4，)注意到函數(shù)yx22x8在(4，)上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f(x)ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4，)，選D.2若f(x)lg x，g(x)f(|x|)，則g(lg x)g(1)時(shí)，x的取值范圍是_解析：當(dāng)g(lg x)g(1)時(shí)，f(|lg x|)f(1)，由f(x)為增函數(shù)得|lg x|1，從而lg x1，解得0x10.答案：(10，)3已知函數(shù)f(x)loga(8ax)(a0，a1)，若f(x)1在區(qū)間1，2上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)a1時(shí)，f(x)loga(8ax)在1，2上是減函數(shù)，由f(x)1恒成立，則f(x)minloga(82a)1，解之得1a，當(dāng)0a1恒成立，則f(x)minloga(8a)1，即82a4，又0a1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢(shì)；當(dāng)0a0，且a1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，且過(guò)點(diǎn)(a，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限(3)在直線x1的右側(cè)，當(dāng)a1時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當(dāng)0a1時(shí)，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低” 幾個(gè)常用的結(jié)論(1)函數(shù)yloga|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)(2)函數(shù)yax與ylogax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)即若f(x)的圖象上有一點(diǎn)(a，b)，則(b，a)必在其反函數(shù)圖象上(3)函數(shù)f(x)|logax|的定義域?yàn)?0，)，值域?yàn)?，)，在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增 易錯(cuò)防范(1)在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應(yīng)為(0，)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分0a1兩種情況討論(2)在運(yùn)算性質(zhì)logaMlogaM中，要特別注意條件，在無(wú)M0的條件下應(yīng)為logaMloga|M|(N*，且為偶數(shù)) 1函數(shù)y的定義域是()A1，2B1，2)C. D.解析：選D.要使該函數(shù)有意義，需解得：0且a1)的反函數(shù)，且f(2)1，則f(x)()Alog2x BClogxD2x2解析：選A.由題意知f(x)logax，因?yàn)閒(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.3若函數(shù)ya|x|(a0，且a1)的值域?yàn)閥|00，且a1)的值域?yàn)閥|0y1，則0a1，由此可知yloga|x|的圖象大致是A.4(2018河南新鄉(xiāng)模擬)設(shè)a60.4，blog0.40.5，clog80.4，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabcBcbaCcabDbc1，blog0.40.5(0，1)，clog80.4bc.故選B.5(2018河南平頂山模擬)函數(shù)f(x)loga|x1|(a0，a1)，當(dāng)x(1，0)時(shí)，恒有f(x)0，則()Af(x)在(，0)上是減函數(shù)Bf(x)在(，1)上是減函數(shù)Cf(x)在(0，)上是增函數(shù)Df(x)在(，1)上是增函數(shù)解析：選D.由題意，函數(shù)f(x)loga|x1|(a0且a1)，則說(shuō)明函數(shù)f(x)關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x(1，0)時(shí)，恒有f(x)0，即|x1|(0，1)，f(x)0，則0a0，a1)的圖象過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A也在函數(shù)f(x)2xb的圖象上，則f(log23)_解析：由題意得A(2，0)，因此f(2)4b0，b4，從而f(log23)341.答案：17已知2x3，log4y，則x2y的值為_(kāi)解析：由2x3，log4y得xlog23，ylog4log2，所以x2ylog23log2log283.答案：38若函數(shù)f(x)loga21(2x1)在上恒有f(x)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：因?yàn)閤，所以2x1(0，1)，且loga21(2x1)0，所以0a211，解得a1或1a0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值解：(1)因?yàn)閒(1)2，所以loga42(a0，a1)，所以a2.由得1x0且a1)(1)求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性解：(1)由ax10，得ax1，當(dāng)a1時(shí)，x0；當(dāng)0a1時(shí)，x1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0，)；當(dāng)0a1時(shí)，設(shè)0x1x2，則1ax1ax2，故0ax11ax21，所以loga(ax11)loga(ax21)所以f(x1)1時(shí)，f(x)在(0，)上是增函數(shù)類(lèi)似地，當(dāng)0a0，a1)在區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(0，)B(2，)C(1，)D(，)解析：選A.令Mx2x，當(dāng)x時(shí)，M(1，)，f(x)0，所以a1，所以函數(shù)ylogaM為增函數(shù)，又M，因此M的單調(diào)遞增區(qū)間為.又x2x0，所以x0或x.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)2函數(shù)f(x)|log2x|，若0a1b且f(b)f(a)1，則a2b的取值范圍為()A4，)B(4，)C5，)D(5，)解析：選D.畫(huà)出f(x)|log2x|的圖象如圖：因?yàn)?a1b且f(b)f(a)1，所以|log2b|log2a|1，所以log2blog2a1，所以log2(ba)1，所以ab2.所以ya2ba(0a15，所以a2b的取值范圍為(5，)，故選D.3若f(x)lg(x22ax1a)在區(qū)間(，1上遞減，則a的取值范圍為_(kāi)解析：令函數(shù)g(x)x22ax1a(xa)21aa2，對(duì)稱(chēng)軸為xa，要使函數(shù)在(，1上遞減，則有即解得1a0，所以f(x)log2log(2x)log2xlog2(4x2)log2x(log242log2x)log2x(log2x)2.當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，有f(x)min.答案：5已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)logx.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)當(dāng)x0，則f(x)log(x)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)log(x)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)(2)因?yàn)閒(4