1 曲線和曲面上的積分 Gauss公式 2 內(nèi)容提要 Gauss公式 Rn中n 1維雙側(cè)閉曲面S的 第 二型 曲面積分和S所圍區(qū)域上的積分之間 的關(guān)系及其對有界區(qū)域的推廣 3 Gauss定理 設(shè) Rn中的有界閉區(qū)域 其邊界 由有限 多個分片光滑雙側(cè)曲面組成 F是定義在 上 的光滑向量場 的方向指向區(qū)域外側(cè) 則 下列Gauss公式成立 其中稱作向量場F的散度 dx x F NdF n i i i 1 n i i i x F F 1 div 4 Gauss定理示意圖 D S N 5 Gauss定理的證明 Gauss定理的一般證明與Green定理的證明 類似 將 分成滿足下列形式的小區(qū)域 k 的并 先在每一個 k上證明定理 然后將結(jié)果 加起來 ni Rxxxxx xxxxx ni niii i ii i ii i k 1 1 111 2 1 其中 6 Gauss定理的證明 續(xù) 這里僅對上面特殊區(qū)域證明定理 設(shè) 由公式右端出發(fā) 對每個 ni Rxxxxx xxxxx ni niii i ii i ii i 1 1 111 2 1 其中 i x x i i i i i dx x F xddx x Fi i i i i 2 1 ni 1 7 Green定理證明 續(xù)1 有微積分基本定理和第二型曲面積分的定義 dNF xdxFxF dx x F xddxdy x F ii ii i ii i i i x x i i i i i i i i i i i 2 1 1 2 8 Gauss定理證明 續(xù)2 對i由1到n求和 就得到Gauss公式 NdFdx x F n i i i 1 9 Gauss公式例1 設(shè)S為Rn中的球面 x r 向量場F x x 計算 F關(guān)于S外側(cè)的第二型曲面積分 解 div F n 因此 n n rBS r n rBn ndxNdF 2 2 0 2 0 10 Gauss公式例2 計算 其中S為四面 體 x y z 1 x 0 y 0 z 0表面的外側(cè) 解 向量場F x 1 y 1 的散度div F 2 及四 面體為 由Gauss公式 3 1 2 dxdydzNdF S S dxdyydzdxdydzx 1 11 Green公式是Gauss公式 平面上逆時針方向的簡單閉曲線的切向量 T T1 T2 與外法向量N N1 N2 的關(guān)系 N1 T2 N2 T1 P Q T Q P N 12 n維分部積分公式 設(shè) 是Rn中的有界分片光滑閉區(qū)域 即 分 片光滑 F是 上的光滑向量場 g是 上的 光滑實值函數(shù) 則 其中 x 是 的單位外法向量場 dxxFxg dxxFxgdxxDgxF div 13 n維分部積分公式 續(xù) 特別F x ek 我們就得到分部積分公式 dxx x f xg dxxfxgdxx x g xf i i i 雁