高考資源網 你身邊的高考專家 3 1 1方程的根與函數的零點 等價關系 判斷函數零點或相應方程的根的存在性 例題分析 課堂練習 小結 布置作業(yè) 方程 x2 2x 1 0 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 y x2 2x 1 函數 函數的圖象 方程的實數根 x1 1 x2 3 x1 x2 1 無實數根 函數的圖象與x軸的交點 1 0 3 0 1 0 無交點 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 方程ax2 bx c 0 a 0 的根 函數y ax2 bx c a 0 的圖象 判別式 b2 4ac 0 0 0 函數的圖象與x軸的交點 有兩個相等的實數根x1 x2 沒有實數根 x1 0 x2 0 x1 0 沒有交點 兩個不相等的實數根x1 x2 對于函數y f x 我們把使f x 0的實數x叫做函數y f x 的零點 方程f x 0有實數根 函數零點的定義 等價關系 觀察二次函數f x x2 2x 3的圖象 2 1 f 2 0f 1 0f 2 f 1 0 2 1 x 1x2 2x 3 0的一個根 2 4 f 2 0f 2 f 4 0 2 4 x 3x2 2x 3 0的另一個根 觀察對數函數f x lgx的圖象 0 5 1 5 f 0 5 0f 0 5 f 1 5 0 0 5 1 5 x 1lgx 0的一個根 如果函數y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 并且有f a f b 0 那么 函數y f x 在區(qū)間 a b 內有零點 即存在c a b 使得f c 0 這個c也就是方程f x 0的根 注 只要滿足上述兩個條件 就能判斷函數在指定區(qū)間內存在零點 由表3 1和圖3 1 3可知 f 2 0 即f 2 f 3 0 說明這個函數在區(qū)間 2 3 內有零點 由于函數f x 在定義域 0 內是增函數 所以它僅有一個零點 解 用計算器或計算機作出x f x 的對應值表 表3 1 和圖象 圖3 1 3 4 1 3069 1 0986 3 3863 5 6094 7 7918 9 9459 12 0794 14 1972 例題1求函數f x lnx 2x 6的零點個數 練習 1 利用函數圖象判斷下列方程有沒有根 有幾個根 1 x2 3x 5 0 2 2x x 2 3 3 x2 4x 4 4 5x2 2x 3x2 5 2 利用函數的圖象 指出下列函數零點所在的大致區(qū)間 1 f x x3 3x 5 2 f x 2x ln x 2 3 3 f x ex 1 4x 4 4 f x 3 x 2 x 3 x 4 x 有 沒有 有 沒有 有 沒有 有 沒有 1 1 解 令f x x2 3x 5 作出函數f x 的圖象 如下 它與x軸有兩個交點 所以方程 x2 3x 5 0有兩個不相等的實數根 1 x2 3x 5 0 1 2 解 2x x 2 3可化為2x2 4x 3 0 令f x 2x2 4x 3 作出函數f x 的圖象 如下 它與x軸沒有交點 所以方程2x x 2 3無實數根 2 2x x 2 3 1 3 解 x2 4x 4可化為x2 4x 4 0 令f x x2 4x 4 作出函數f x 的圖象 如下 它與x軸只有一個交點 所以方程x2 4x 4有兩個相等的實數根 3 x2 4x 4 1 4 解 5x2 2x 3x2 5可化為2x2 2x 5 0 令f x 2x2 2x 5 作出函數f x 的圖象 如下 它與x軸有兩個交點 所以方程5x2 2x 3x2 5有兩個不相等的實數根 4 5x2 2x 3x2 5 2 1 解 作出函數的圖象 如下 因為f 1 1 0 f 1 5 2 875 0 所以f x x3 3x 5在區(qū)間 1 1 5 上有零點 又因為f x 是 上的減函數 所以在區(qū)間 1 1 5 上有且只有一個零點 2 1 f x x3 3x 5 2 2 解 作出函數的圖象 如下 因為f 3 30 所以f x 2x ln x 2 3在區(qū)間 3 4 上有零點 又因為f x 2x ln x 2 3是 2 上的增函數 所以在區(qū)間 3 4 上有且只有一個零點 2 2 f x 2x ln x 2 3 2 3 解 作出函數的圖象 如下 因為f 0 3 630 所以f x ex 1 4x 4在區(qū)間 0 1 上有零點 又因為f x ex 1 4x 4是 上的增函數 所以在區(qū)間 0 1 上有且只有一個零點 2 3 f x ex 1 4x 4 2 4 解 作出函數的圖象 如下 因為f 4 40 f 2 20 所以f x 3 x 2 x 3 x 4 x在區(qū)間 4 3 3