等比數(shù)列經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例1等比數(shù)列中，, ,求.思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過已知條件可列出關(guān)于和的二元方程組，解出和，可得；或注意到下標(biāo)，可以利用性質(zhì)可求出、，再求.總結(jié)升華： 列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)利用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；解題過程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零）.舉一反三：【變式1】an為等比數(shù)列，a1=3，a9=768，求a6?！咀兪?】an為等比數(shù)列，an0，且a1a89=16，求a44a45a46的值?！咀兪?】已知等比數(shù)列，若，求。類型二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例2設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.解析：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a10，得S3+S62S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q1.由得，整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q0，得2q6-q3-1=0，從而(2q3+1)(q3-1)=0，因q31，故，所以。舉一反三：【變式1】求等比數(shù)列的前6項(xiàng)和。【變式2】已知：an為等比數(shù)列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【變式3】在等比數(shù)列中，求和類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例3. 等比數(shù)列中，若,求. 舉一反三：【變式1】正項(xiàng)等比數(shù)列中，若a1a100=100; 則lga1+lga2+lga100=_.【變式2】在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_。類型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4在等比數(shù)列中，已知，求。思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前k項(xiàng)和，第2個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，第n個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。舉一反三：【變式1】等比數(shù)列中，公比q=2, S4=1,則S8=_.【變式2】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？【變式3】等比數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù)，若Sn=80, S2n=6560，前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54，求n.【答案】 ，(否則)=80 .(1)=6560.(2)，(2)(1)得：1+qn=82,qn=81.(3)該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，由(3)知q1an為遞增數(shù)列，an為最大項(xiàng)54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得，q=3,n=4.【變式4】等比數(shù)列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 則a5+a6=_.【變式5】等比數(shù)列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32，則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4，則又成等比數(shù)列.求原來的三個(gè)數(shù).思路點(diǎn)撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式.總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d, a, a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為，x, xy。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項(xiàng)a，公比q來解決問題反而簡便。舉一反三：【變式1】一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列.【變式2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個(gè)數(shù)?！咀兪?】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求這四個(gè)數(shù).類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷an是何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過通項(xiàng)公式判斷an類型.【變式2】設(shè)an、bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，Cn=an+bn,證明數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.【證明】設(shè)數(shù)列an、bn的公比分別為p, q，且pq為證Cn不是等比數(shù)列，只需證.,又 pq, a10, b10,即數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.【變式3】判斷正誤：(1)an為等比數(shù)列a7=a3a4；(2)若b2=ac，則a，b，c為等比數(shù)列；(3)an，bn均為等比數(shù)列，則anbn為等比數(shù)列；(4)an是公比為q的等比數(shù)列，則、仍為等比數(shù)列；(5)若a，b，c成等比，則logma，logmb，logmc成等差.類型七：Sn與an的關(guān)系例7已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足，且a1，a3，a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an