3 3 2三角變換與解三角形 2 正弦 余弦定理與三角形面積的綜合問題例1在 ABC中 A 60 c a 1 求sinC的值 2 若a 7 求 ABC的面積 3 解題心得正弦定理和余弦定理是解三角形時用到的兩個重要定理 其作用主要是將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為純邊或純角的關(guān)系 使問題得以解決 4 對點訓(xùn)練1在 ABC中 角A B C所對的邊分別為a b c 且滿足2acosB 2c b 1 求角A 解 1 由2acosB 2c b及正弦定理 得2sinAcosB 2sinC sinB 而sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 2cosAsinB sinB 5 2 ABC是等邊三角形 理由如下 6 例2已知在 ABC中 D是BC上的點 AD平分 BAC ABD的面積是 ADC面積的2倍 7 2 因為S ABD S ADC BD DC 所以BD 在 ABD和 ADC中 由余弦定理知AB2 AD2 BD2 2AD BDcos ADB AC2 AD2 DC2 2AD DCcos ADC 因為cos ADB cos ADC 所以 2 得AB2 2AC2 3AD2 BD2 2DC2 6 由 1 知AB 2AC 所以AC 1 解題心得對于在四邊形中解三角形的問題或把一個三角形分為兩個三角形來解三角形的問題 分別在兩個三角形中列出方程 組成方程組 通過加減消元或者代入消元 求出所需要的量 對于含有三角形中的多個量的已知等式 化簡求不出結(jié)果 需要依據(jù)題意應(yīng)用正弦 余弦定理再列出一個等式 由此組成方程組通過消元法求解 8 對點訓(xùn)練2 2017江蘇無錫一模 15 在 ABC中 a b c分別為角A B C的對邊 若acosB 3 bcosA 1 且A B 1 求邊c的長 2 求角B的大小 解由 組成的方程組得2c2 8c 即c 4 9 10 正弦 余弦定理與三角變換的綜合 例3 2017天津 文15 在 ABC中 內(nèi)角A B C所對的邊分別為a b c 已知asinA 4bsinB ac a2 b2 c2 1 求cosA的值 2 求sin 2B A 的值 11 12 解題心得三角形有三條邊三個角共六個元素 知道其中三個 其中至少知道一條邊 可求另外三個 若題目要求的量是含三角形內(nèi)角及常數(shù)的某種三角函數(shù)值 在解題時往往先通過正 余弦求出內(nèi)角的三角函數(shù)值再應(yīng)用和角公式及倍角公式通過三角變換求得結(jié)果 13 對點訓(xùn)練3 2017河北衡水中學(xué)二模 文17 在 ABC中 內(nèi)角A B C的對邊分別為a b c 已知4cos2 4sinBsinC 3 1 求A 2 若 bc 4 cosA accosB a2 b2 求 ABC的面積 14 15 正弦 余弦定理與三角變換及三角形面積的綜合 例4 2017山西孝義考前熱身 文17 在 ABC中 角A B C所對的邊分別為a b c 且滿足2acsinB a2 b2 c2 1 求角C的大小 2 若bsin A acosB 且b 求 ABC的面積 16 2 bsin A acosB sinBsinA sinAcosB 解題心得在解三角形中 若已知條件是由三角形的邊及角的正弦 余弦函數(shù)構(gòu)成的 解題方法通常是通過正弦定理 余弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角的正弦 使已知條件變成了純粹的角的正弦 余弦函數(shù)關(guān)系 這樣既實現(xiàn)了消元的目的 又可利用三角變換化簡已