1 固體物理補充習題固體物理補充習題 十四系用 十四系用 1 將半徑為 R 的剛性球分別排成簡單立方 簡單立方 sc 體心立方 體心立方 bcc 和面心立方 面心立方 fcc 三種 三種 結構 在這三種結構的間隙中分別填入半徑為 rp rb和 rf的小剛球 試分別求出分別求出 rp R rb R 和 rf R 的最大值最大值 提示提示 每一種每一種晶體結構中都有多種多種不同的間隙位置間隙位置 要比較不同間隙位置的填充情況 2 格常數(shù)為 a 的簡單二維密排晶格二維密排晶格的基矢可以表為 1 a ai 2 13 22 aa aij 1 求出其倒格子基矢 1 b和 2 b 證明倒格子仍為二維密排二維密排格子 2 求出其倒格子原胞的面積 b 3 由N個原子 或離子 所組成的晶體的體積V可以寫為V Nv N r3 其中v為平均一 個 一 個原子 或離子 所占的體積 r為最近鄰原子 或離子 間的距離 是依賴于晶體結構 的常數(shù) 試求下列各種晶體結構的 值 1 sc結構 2 fcc結構 3 bcc結構 4 金剛石金剛石結構 5 NaCl結構 4 設兩原子間的相互作用能可表示為 mn u r rr 其中 第一項為吸引能 第二項為排斥能 n和m均為大于零的常數(shù) 證明 要 使這個兩原子系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡狀態(tài) 必須滿足必須滿足n m 5 設晶體的總相互作用能可表示為 mn AB U r rr 其中 A B m和n均為大于零的常數(shù) r為最近鄰原子間的距離 根據(jù)平衡條件求 1 平衡時平衡時 晶體中最近鄰原子的間距r0和晶體的相互作用能U0 2 設晶體的體積可表為V N r3 其中N為晶體的原子總數(shù) 為體積因子 若平衡時 晶體的體積為V0 證明證明 平衡時晶體的體積壓縮模量體積壓縮模量K為 0 0 9 mnU K V 6 設有一由2N個離子組成的離子晶體 若只計入只計入作近鄰離子近鄰離子間的排斥排斥作用 設兩個離子間 的勢能具有如下的形式 式中 和 為參數(shù) R為最近鄰離子間距 若晶體的Madelung常數(shù)為 最近鄰的離子 數(shù)為Z 求平衡時平衡時晶體總相互作用勢能總相互作用勢能的表達式 7 由N個原子組成的一維一維單原子晶體 格波方程為 cos n xAtnaq 若其端點固定端點固定 1 證明所形成的格波具有駐波駐波性質 格波方程可表為 sinsin n xAnaqt 最近鄰間 最近鄰以外 e r 2 e e R R 2 u r 2 2 利用邊界條件xN 0 求q的分布密度分布密度和波數(shù)的總數(shù)波數(shù)的總數(shù) 3 將所得結果與周期性邊界條件周期性邊界條件所得的結果進行比較并討論之 8 由2N個 設N很大 帶電荷 q的正負離子相間排列相間排列的一維晶體鏈 最近鄰之間的排斥 能為B Rn 1 試證在平衡時 晶體鏈的互作用能為 2 0 00 2ln21 1 4 Nq U R Rn 2 若晶體被壓縮 使 00 1RR 設 1 證明在晶體被壓縮過程中 外力對 每一個一個離子所做的功的主項主項平均為 2 1 2c 其中 2 00 1ln2 4 nq c R 9 由N個原子組成的一維單原子鏈 近鄰原子間的相互作用能可表為 126 4u r xx 其中x為近鄰原子間距 試求 1 平衡時的近鄰原子間距x0與相互作用能u0 2 若只考慮近鄰原子間近鄰原子間的相互作用 求原子鏈的彈性模量K 10 若一維單原子鏈的格波方程取為 n xAcontnaq 證明 1 格波的總能量為 2 2 1 11 Em 22 n nn nn dx xx dt 這里m為原子質量 為恢復力 系數(shù) 求和指標n遍及所有原子 2 每個原子每個原子的時間平均時間平均總能量 22 1 1 2 EmA 11 質量分別為M和m 設M m 的兩種原子以a和 1 3a相間排成如圖所示的一維晶體鏈 若只考慮近鄰原子間的彈性相互作用 設相 鄰原子間的恢復力系數(shù)同為 1 寫出每種原子的動力學方程式 2 寫出格波方程式 3 導出色散關系式 12 在坐標紙上畫出二維正方晶格二維正方晶格的前五個前五個布里 淵區(qū)圖形 13 由N個原子組成的一維一維 鏈長為L 二維二維 面積為S 和三維三維 體積為V 簡單晶格晶體 設格 波的平均傳播速度為c 應用 Debye 模型分別分別計算 1 晶格振動的模式密度g 2 截止頻率 m 3 Debye溫度 D 4 晶格熱容CV 5 晶體的零點振動能E0 用N和 m表示 14 由N個質量為m的原子組成的一維單原子鏈一維單原子鏈 近鄰原子間距為a 相互作用的力常數(shù)為 用格波模型格波模型求 1 晶格振動的模式密度g 2 晶體的零點能E0 a a 3 1 m M n 1 n 1 n n n 1 n 1 3 3 晶格的熱容量CV 15 在高溫下 kBT m 試用 Debye 模型模型求三維簡單晶格頻率從0到 m中總總的平均聲 子數(shù) 已知晶體體積為V 格波的傳播速度為c 16 在高溫下 T D 根據(jù) Debye 理論理論證明由N個原子組成的d維晶體的晶格熱容為 1 一維 CV NkB 1 1 36 2 D T 2 二維 CV 2NkB 1 1 24 2 D T 3 三維 CV 3NkB 1 1 20 2 D T 17 Gr neisen常數(shù) 1 證明頻率為 i的聲子模式的自由能為 ln 2 2 i B B k Tsh k T 2 以 表示體積相對改變 那么單位體積晶體的自由能可以表為 2 1 E ln 2 22 i B i B TBk Tsh k T 其中B為體積彈性模量 假設 i q 與體積的依賴關系為 其中 為Gr neisen 常數(shù) 如果將 看作與模式無關 證明當 1 22 i i i B Bcth k T 時 F相對于 為極小 18 已知三維晶體在q 0附近一支光學波一支光學波的色散關系為 222 0 xxyyzz qA qA qA q 其中Ax Ay Az為大于零的常數(shù) 試求這支光學波這支光學波的模式密度g 的表達式 19 在 Debye 近似近似下證明T 0時 三維晶體中一個原子的均方位移均方位移為 2 2 23 3 8 D R c 其中 為晶體的質量密度 c為聲速 D為Debye截止頻率 提示 提示 一個格波的平均能量可參考補充題10 2 及T 0時一個格波的能量 1 2 E 20 對于Cu 形成一個Schottky空位所需的能量為1 2 eV 形成一個間隙原子的能量為4 eV 在接近熔點時 1300 K 試估算晶體中空位的濃度和間隙原子的濃度 并比較這兩種濃度 的數(shù)量級差數(shù)量級差 21 若晶體中原子的總數(shù)為N 間隙位置的總數(shù)為N 形成一個Frenkel缺陷所需的能量為 uf 在一定的溫度下 平衡時晶體中有nf個Frenkel缺陷 試由 F nf T 0 導出平衡時 Frenkel缺陷數(shù)目的表達式 設nf N N 22 已知1100 C時 碳在 Fe中的擴散系數(shù)D 6 7 10 7 cm2 s 若保持表面表面處碳的濃度不變濃度不變 要得到d 1 mm厚的滲碳層 碳的濃度為表面處的一半 問在此溫度下需要擴散多長時 間 erf 0 500 0 52050 erf 0 477 0 50005 4 23 設有某種簡單立方晶體 熔點為800 C 由熔點結晶后 晶粒大小為L 1 m的立方體 晶格常數(shù)a 4 10 10 m 求結晶后每個晶粒中的空位數(shù) 已知空位的形成能為1 eV 若 晶體在高溫形成的空位 降到室溫后聚集到一個晶面上 形成一個空位園片 以致引起晶 體內部的崩塌 結果將轉變?yōu)楹畏N形式的晶格缺陷 求出此時每個晶粒中的位錯密度位錯密度 24 證明在T 0 K時 金屬中自由電子氣的狀態(tài)方程為 PV5 3 const 這里P為電子氣的 壓強 V為金屬的體積 已知Cu的電子密度n 8 45 1022 cm 3 計算Cu中電子氣的壓 強為多少個大氣壓 提示提示 利用熱力學第一定律 25 證明T 0時自由電子氣的體積彈性模量 10 9 U K V 這里U為自由電子的總能量 V為 金屬的體積 若已知鉀的電子密度為1 4 1022 cm 3 求鉀的體積彈性模量 26 在長為L的一維金屬鏈中共有N個自由電子 在T 0 K時 求 1 電子的能態(tài)密度N E 2 晶體鏈的費米能級EF0 3 一個電子的平均能量E 27 假設每個銅原子貢獻一個一個自由電子 試計算室溫 300 K 下電子氣體電子氣體的熱容量 并將所 得結果與銅的總熱容量總熱容量24 J mol K的數(shù)值進行比較 已知銅的原子量為63 5 密度為 8 9 g cm3 28 證明電子密度為n的二維自由電子氣的化學勢可由下式給出 Tk T n m k T B B l n expl n exp 2 1 其中m為電子質量 29 在低溫下 金屬鉀摩爾熱容量的實驗結果可表為 C 2 08T 2 57T3 10 3 J mol K 試求 1 鉀的Debye溫度 D 2 Fermi溫度TF 3 在Fermi面上一摩爾金屬的電子能態(tài)密度N EF0 30 已知Cu的電子密度為n 8 45 1022 cm 3 Debye溫度 D 315 K 1 求當T為何值時 電子熱容等于晶格熱容 2 計算T 300 K時一摩爾Cu的電子順磁磁化率 31 利用Sommerfeld展開式證明 在kBT EF0時一個一個自由電子的平均動能平均動能近似為 2 20 12 5 1 5 3 F F T T EE 32 已知Na為bcc結構 晶格常數(shù)為a 4 28 10 10 m 1 用自由電子模型計算其Hall系數(shù)RH 2 設有一長方形Na晶片 長為 寬為5 mm 厚為1 mm 若沿晶片長邊方向通以100 mA 的電流 并將其置于0 1 T的磁場中 磁場方向垂直于晶片 求Hall電壓VH的大小 33 若一維晶體勢為 其中a 2d 用近自由電子近似求前兩個不為零不為零的能隙能隙 V x 0 na x n 1 a d U0 n 1 a d x n 1 a 5 34 一維周期場中電子波函數(shù) k x 應當滿足Bloch定理 若晶格常數(shù)為a 電子波函數(shù)為 1 sin k x x a 2 3 cos k x xi a 3 k xf xa 4 k xif xa 試求電子在這些狀態(tài)中的簡約波矢簡約波矢和廣延波矢廣延波矢 35 分別分別求出二維正方晶格二維正方晶格簡約區(qū)中沿 M 和 XZM 軸自由電子能量函數(shù)En k 能量最低能量最低的 前四條曲線前四條曲線的表達式表達式 畫出其示意圖示意圖并給出各曲線的簡并度各曲線的簡并度 36 分別分別求出簡單立方晶格簡單立方晶格簡約區(qū)中沿 X 軸 即方向 和 R 軸 即方向 自由電子能量函數(shù)En k 能量最低能量最低的前五條曲線前五條曲線的表達式表達式 畫出其示意圖示意圖并給出各曲線的 簡并度 各曲線的 簡并度 37 由同種原子組成的二維密排結構二維密排結構晶體 原子間距為a 作圖畫出其前三個布里淵區(qū)前三個布里淵區(qū)圖形 并求 1 每個原子有一個價電子時的費米半徑kF 2 第一布里淵區(qū)的內切圓半徑k1 3 內切圓為費米圓時的電子濃度 1 即平均每個原子的價電子數(shù) 4 每個原子有兩個兩個價電子時的費米半徑 畫出簡約區(qū)中近自由電子近似的費米面圖形 38 分別求fcc和bcc結構中第一布里淵區(qū)的外接球外接球為費米球時各自各自所對應的電子濃度電子濃度 平均 每個原子的自由電子數(shù) 若分別有一fcc和bcc結構的三價三價金屬 那么 其第一布里淵區(qū) 的電子是否已完全填滿 39 設有晶格常數(shù)為a 2a和3a的簡單正交晶體 求 1 第一布里淵區(qū)體積 b并畫出其圖形 2 在自由電子近似下 費米面費米面與第一布里淵區(qū)邊界面分別相切分別相切時所對應的各電子濃度各電子濃度 即 電子 原子比 1 2和 3 3 費米面費米面為與第一布里淵區(qū)各邊界面同時相切同時相切的橢球面時所對應的電子濃度電子濃度 即電子 原 子比 123 40 分別求出晶格常數(shù)為a的面心立方面心立方和體心立方體心立方第一布里淵區(qū)內切球內切球所對應的飽和電子濃 度 飽和電子濃 度 f和 b 41 分別分別求出體心立方晶格體心立方晶格簡約區(qū)中沿 H 即軸 和 P 即軸 自由電子能量 函數(shù)En k 能量最低的前五條曲線前五條曲線的表達式表達式 畫出其示意圖示意圖并給出